09.01 2026 года прошел очередной Семинар "Нелинейные явления в человекомерных системах"
Тема: Случайные процессы с нелинейным шумом
Докладчик: Лубашевский И.А., д.ф.-м.н., проф., департамент математики НИУ ВШЭ
Что просто — то просто, что сложно — то открытая проблема
В классическом описании случайных процессов интенсивность шума которых зависит от самой случайной величины, центральное место занимает построение стохастических интегралов, например, интегралов Ито или Стратоновича. В докладе обсуждался альтернативный вариант описания случайных процессов этого типа на основе формализма бесконечно малых. Общим является то, что промежуточная точка элементарного шага определяет как величину стохастического интеграла так и вклад в перемещение блуждающей частицы со стороны случайной компоненты.
В первой части доклада, используя этот формализм, достаточно просто выводятся известные формулы взаимного преобразования процессов различного типа (Ито, Стратоновича, Ханги-Климонтовича), правила замены переменных, а также кратко излагается суть фазовых переходов индуцированных шумом. Как итог, на примере соответствующих уравнений Фоккера-Планка, демонстрируется что физическими характеристиками случайных процессов являются (1) величина регулярного дрейфа, (2) интенсивность шума и (3) положение вышеупомянутой точки элементарного шага случайного блуждания.
Во второй части доклада, обсуждались случайные процессы в средах с границами и построение соответствующих граничных условий. Ключевой идеей является то, что такие процессы имеют свойства, которые проявляются только на границах сред и которые не могут быть описаны на развитом формализме случайных интегралов, стохастических дифференциальных уравнений, или уравнения Фоккера-Планка, что подтверждается эффектом Кикоина-Носкова. В итого обсуждается гипотеза тензорного описания промежуточной точки элементарного шага случайного блуждания как формализ способный учесть такие свойства.
1. Mahnke, R. Kaupužs, J., Lubashevsky, I. Physics of Stochastic Processes: How Randomness Acts in Time, 2009, Wiley
2. Hijikata, K., Lubashevsky, I., Vazhenin, A. Markovian Random Walks on Square Lattice with Constant Non-Symmetric Diffusion Coefficients, 2015, Proceedings of the 46th ISCIE International Symposium on Stochastic Systems Theory and Its Applications, Kyoto, Nov. 1-2, 2014, p. 213-218.
3. Lubashevsky, I. Towards Multi-Dimensional Nonlinear Langevin Equation, 2014, Proceedings of the 45th ISCIE International Symposium on Stochastic Systems Theory and Its Applications, Okinawa, Nov. 1-2, 2013, p. 278-283.
