Дополнительные главы теории вероятностей
Преподаватель факультатива
Расписание:
По понедельникам
Время: с 18.10 до 21.00
3 модуль
27.01 – ауд. G119
С 03.02 по 10.02 – ауд. G119
17.02 – ауд. G110
C 24.02 по 23.03 – ауд. G119
4 модуль
С 06.04 по 08.06 – ауд. G119
Курс посвящен изучению различных вероятностных моделей, относящихся к теории случайных процессов. Будут рассмотрены классические модели, как с дискретным, так и непрерывным временем, а также их применения в вероятностной комбинаторике. От слушателей потребуется знание базового курса теории вероятностей (в любом варианте). Примерное содержание и темы курса:
1. Простейшее случайное блуждание на прямой.
Вероятность возвращения в исходную точку в симметричном и несимметричном случае, среднее время проводимое блужданием в нуле, закон повторного логарифма, случайное блуждание в многомерных пространствах.
2. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона.
Уравнение для вероятности вырождения ветвящегося процесса, теорема о корнях данного
уравнения, общее число частиц в ветвящемся процессе. 3. Случайные графы.
Биномиальная модель случайного графа, фазовый переход в случайном графе, теорема о гигантской компоненте связности, связность случайного графа.
4. Марковские цепи.
Марковские цепи с дискретным временем, стационарные распределения и эргодическая теорема, классификация состояний марковской цепи, критерий возвратности состояния, задача о «разборчивой невесте» - марковский подход.
5. Пуассоновский процесс.
Пуассоновский процесс как простейшая модель массового обслуживания, процессы восстановления, явная конструкция пуассоновского процесса, модель страхования Крамера- Лундберга.
6. Процесс броуновского движения.
Броуновское движение как вероятностная модель хаотического движения, два эквивалентных определения броуновского движения, основные свойства траекторий броуновского движения, моменты остановки, строго марковское свойство и принцип отражения.
7. Мартингалы.
Мартингалы, теорема об остановке (невозможность разумной выигрышной стратегии при игре с «нулевой суммой»), мартингальный подход к задаче о разорении игрока, теорема об остановке для непрерывного времени, оценка вероятности разорения в модели страхования Крамера-Лундберга.
8. Энтропия.
Энтропия случайной величины и вектора, условная энтропия, их основные свойства. Неравенство Ширера. Применение энтропии в комбинаторике: теорема Кана о числе независимых множеств в регулярном двудольном графе.
20.01 в 18.10 я в аудитории R308 состоится презентация по Факультативу ФКН - Дополнительным главам теории вероятностей.