Семинары

29.05 Disease progression models

Link to Zoom

Conference ID: 812 6896 9014.  Password: brain   

Speaker: Boris A. Gutman, PhD, Assistant Professor of Biomedical Engineering, Armour College of Engineering, Illinois Institute of Technology

As humans, we like to predict all manner of things, not least of them being our physical health. And while there is much excitement in the world of artificial intelligence about the ever-improving accuracy with which we can predict things, we are often less concerned with domain-specific relevance and utility of the prediction. Simple binary questions such as “does this patient have disease X?” or even “will the patient acquire disease X in Y years?” have proven less interesting to basic researchers and health professionals than “how quickly will the patient’s health deteriorate?”, “when and in what order will future symptoms appear?” and “what are the connections among the observable biomarkers and between biomarkers and symptom onset?”

Disease progression models (DPMs) attempt to answer the more interesting questions. In this talk, we will focus on applications of DPMs to brain imaging and neurodegenerative disease. I will go over some recent imaging-DPM developments from simple Bayesian models describing temporal biomarker order to differential equation models linking brain structure, connectivity and prior neurobiological knowledge to dynamically predict the course of an individual’s neurodegeneration.

15.05 Теорема Квиллена-МакКорда и ее вариации

Link to Zoom

Идентификатор конференции: 883 7845 5118 Пароль: 008694

Докладчик – Виталий Гузеев, студент факультета математики НИУ ВШЭ.

Аннотация.  Частный случай теоремы Квиллена А (известный как теорема Квиллена-МакКорда) позволяет доказывать гомотопическую эквивалентность частично упорядоченных множеств при определенных условиях. Джонатан Бармак в статье 2000-го года приводит доказательство этой теоремы, использующее интересный объект - цилиндр отображения частично-упорядоченных множеств.
В докладе будет разобрано это доказательство, а также аналогичное доказательство гомологической версии теоремы Квиллена. Требуемые для понимания топологические конструкции будут объяснены в ходе доклада. 
Докладчик также расскажет о приближенной гомологической версии теоремы Квиллена, - гипотетическом обобщении этой теоремы на устойчивые гомологии, и предложит подход к ее доказательству. Подход основан на идеях Бармака и технике спектральных последовательностей. Похожие соображения можно найти в статье Govc, Skraba, An Approximate Nerve Theorem 2017 года, но,кажется, что их можно естественным образом обобщить.

Теорема Квиллена может быть интересна с прикладной точки зрения, поскольку ее можно использовать для понижения размерности данных с сохранением их гомотопического типа. Получить версию этой теоремы для устойчивых гомологий кажется довольно естественной задачей.

15.05 Topological data analysis on neuroimaging data

10:30, working meeting with Seonjeong Park, Visiting Assistant Professor at the Department of Mathematical Sciences, KAIST (Korea Advanced Institute of Science & Technology)

In this talk, we discuss an application of the topological data analysis tool, Mapper, to the brain functional connectivity data from ADHD patients. This talk is based on joint work with Kyeong et al, published in Plos One.

08.05 Многомерные расширители

Link to Zoom

Идентификатор конференции: 820 9694 0694  Пароль: 019388

Докладчик – Константин Голубев, постдок департамента математики Швейцарской высшей технической школы Цюриха (ETH Zürich).

Аннотация.  Графы-расширители и, в частности Рамануджановы графы, обладают многими экстремальными комбинаторными свойствами (расширение, смешивание, хроматическое число). Эти свойства тесно связаны со спектральными и геометрическими свойствами графов. Многие результаты теории графов-расширителей нашли применения в других областях математики и компьютерных науках. Последние годы идут активные исследования по обобщению теории графов-расширителей в высшие размерности - на гиперграфы и симплициальные комплексы. В своей лекции Константин расскажет о некоторых результатах из этой области: раскрасках и когомологическом расширении, а также об их приложениях в экстремальной комбинаторике и компьютерных науках. 

24.04 Канонические формы = диаграммы персистентности

Link to Zoom

Идентификатор конференции: 831 7726 5045.    Пароль: 011699

Докладчик – Сергей Александрович Баранников, Сколтех, Paris Diderot University

Аннотация.  Фильтрованный комплекс над полем F приводится линейными преобразованиями, сохраняющими фильтрацию, к так называемой канонической форме, то есть к канонически определенной прямой сумме фильтрованных комплексов двух типов: одномерных фильтрованных комплексов с тривиальным дифференциалом: d(e_{t_i})=0 и двумерных фильтрованных комплексов с тривиальными гомологиями: d(e_{s_j})=e_{r_j}. В докладе будет разобрано доказательство этой теоремы, которое впервые было опубликована в работе докладчика 1994 года “Framed Morse and its invariants“ Adv. in Sov. Math, 21:93-115. В этой работе эти инварианты, называемые канонической формой фильтрованного комплекса, были применены к комплексам Морса, которые вычисляют sublevel гомологии функций. 
Начиная с середины 2000-х годов эти инварианты получили широкое применение в прикладной математике под именем «persistence diagrams» или  «persistence barcodes». Вышеупомянутый результат в прикладной математике обычно называется Persistence homology Main (or Structure, or Principal) Theorem.
Любопытно, что в прикладной математике в наиболее раннем исследовании по этим инвариантам также рассматривались в качестве основного примера фильтрованного комплекса именно комплексы Морса, в частном случае многообразий размерности 2. 
В качестве примеров фильтрованных комплексов часто возникают другие всевозможные комплексы (Чеха, симплициальные, кубические и т.д.) для гомологий топологического пространства, на котором задана вещественная функция. 
Последние годы в качестве функции в приложениях часто берётся функция на евклидовом пространстве, заданная евклидовым расстоянием до облака точек. 
В настоящее время существует более 10 разных софтверных платформ, посвящённых вычислению этих инвариантов. В основе этих платформ лежит алгоритм приведения фильтрованного комплекса к канонической форме, описанный в работе докладчика при доказательстве упомянутой теоремы. 

Кроме доказательства теоремы и алгоритма мы разберём также некоторые их приложения в чистой и прикладной математике. 

17.04 Факторизация торических отображений и поиск общего подразбиения треугольника

Link to Zoom

Conference ID: 856 7022 5298.    Password: 012143 

Докладчик – Александр Перепечко, научный сотрудник ИППИ и МФТИ.

Аннотация.  В 1978 году Тадао Ода выдвинул гипотезу о сильной факторизации морфизмов торических многообразий:

Любое торическое (т.е. эквивариантное) бирациональное отображение между двумя полными гладкими торическими многообразиями X и Y раскладывается в композицию цепочки торических раздутий и цепочки торических стягиваний (операций, обратных к раздутиям).

Комбинаторно полное торическое многообразие описывается полным веером рациональных полиэдральных конусов, а раздутие - подразбиением этого веера. Известно, что любое торическое бирациональное отображение описывается цепочкой таких подразбиений и обратных к ним - это слабая факторизация. Гипотеза Оды же гласит, что можно их упорядочить, произведя сначала все подразбиения, а потом - обратные операции. В частности, для вееров многообразий X и Y существует общее подразбиение, описывающее отображение между многообразиями.

В трёхмерном случае гипотеза сводится к существованию общего подразбиения у любой пары подразбиений треугольника (т.е. двумерного симплекса). В 2009 году в работе Сильвы и Кару (arXiv:0911.4693) был предложен алгоритм, который гипотетически всегда находит общее подразбиение. Мы опишем, как устроены подразбиения треугольника, соответствующие раздутиям трёхмерных торических многообразий, и разберём данный алгоритм.

На практике этот алгоритм можно упростить, и задача поиска наименьшего общего подразбиения вычислительно сложна. Теоретически, общее подразбиение могло бы служить секретом, восстанавливаемым по паре заданных подразбиений. Я предлагаю слушателям обратную задачу: придумать эффективный алгоритм подбора по случайным образом сгенерированному секрету такой пары подразбиений, чтобы секрет являлся их наименьшим общим подразбиением. Подобный алгоритм дал бы одностороннюю функцию, возможно, пригодную для нужд криптографии. 

10.04 The random simplicial complexes and toric topology

Link to Zoom

03.04 Фуллерены и торическая топология

Link to Zoom

Докладчик – Николай Юрьевич Ероховец, доцент Механико-математического факультета МГУ

Аннотация.  В докладе планируется дать краткий обзор математической теории фуллеренов и её связи с торической топологией.

Фуллерен - этот трёхмерный простой выпуклый многогранник, все грани которого являются пятиугольниками и шестиугольниками. Такие многогранники моделируют сферические молекулы углерода, за открытие которых в 1996 году была дана Нобелевская премия по химии.
Одной из основных задач метематической теории фуллеренов является перечисление фуллеренов и структурирование их множества. Из результатов Тёрстона следует, что число фуллеренов с n вершинами растёт как n^9. Известны несколько эффективных методов перечисления фуллеренов. Один из них основывается на операциях роста, переводящих комбинаторый многогранник в другой многогранник с большим числом граней заменой диска на его поверхности другим диском с большим числом граней и такой же комбинаторной окрестностью границы. В докладе будет рассказано, как при помощи таких операций построить любой фуллерен.

Торическая топология сопоставляет каждому простому n-мерному выпуклому многограннику с m гипергранями (m+n)-мерное момент-угол многообразие с действием m-мерого компактного тора T^m, пространство орбит которого совпадает с многогранником. Оказывается, многообразия, отвечающие фуллеренам, являются когомологически жёсткими: если градуированные кольца когомологий момент-угол многообразий двух трёхмерных многогранников, один из которых фуллерен, изоморфны, то многообразия эквивариантно диффеоморфны, а многогранники комбанаторно эквивалентны. Вторая часть доклада будет посвящена этому результату.

27.03 О честном делении и делении без зависти

Link to Zoom

Докладчик – Гаянэ Юрьевна Панина, ведущий научный сотрудник Факультета математики и компьютерных наук СПбГУ и Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Аннотация.  Представим себе, что r воров украли ожерелье с драгоценными камнями разных сортов и хотят поделить его, во-первых, честно (каждый сорт камней должен быть поделен строго поровну), а во-вторых, без зависти, то есть, с учетом индивидуальных предпочтений воров. Мы обсудим такие вопросы: каково минимальное число разрезов, гарантированно позволяющее такое деление? Можно ли при данном числе разрезов попросить вдобавок честность еще в каком-нибудь смысле?

Как ни странно, этот круг задач решается исключительно топологическими методами. Здесь работают степень отображения, обобщение теоремы Борсука-Улама, теорема Брауэра, эквивариантные препятствия (впрочем, до препятствий дело не дойдет).

Гаянэ Юрьевна расскажет и историю задачи (работы N. Alon, D. Gale), и свою недавнюю совместную работу с D. Jojic и  R. Zivaljevic.

Для понимания доклада достаточно знать, что такое действие группы Z_n, симплициальный комплекс, связность.

20.03 Гиперболические нейронные сети

Докладчик - Максим Кочуров, студент 2 курса магистерской программы Сколтеха «Науки о данных»

Аннотация. В докладе будет рассмотрено применение гиперболической геометрии к задачам машинного обучения. Мы обсудим, когда от гиперболического пространства есть польза, когда нет, и как работать с ним в контексте нейронных сетей. Доклад будет охватывать такие задачи, как представления для графов, NLP, работа с изображениями. Будет приведен обзор статей и результатов, отвечающих на вопрос: когда и чем может быть полезна геометрия Лобачевского в машинном обучении.

13.03 Обзор методов оптимизации на многообразиях

Докладчик - Сергей Козлуков, студент 2 курса совместной магистерской программы Сколтеха и ВШЭ «Статистическая теория обучения»

Аннотация. В докладе обсуждается оптимизация на многообразиях с точки зрения задач глубокого обучения, в частности обучения неевклидовых представлений.

Конкретно, кратко рассматривается Риманов градиентный спуск, обсуждается статья Octavian Ganea и Gary Becigneul, "Adaptive Riemannian Optimization Methods", обобщающая адаптивные схемы оптимизации на случай product manifold.

06.03 Теория вложенных графов в приложении к manifold learning

Докладчик - Максим Бекетов, выпускник МФТИ и Сколтеха, сотрудник Archeads Inc

Аннотация. Задача manifold learning состоит в том, чтобы, имея (достаточно большое) облако точек, сэмплированных с некоторого многообразия (вложенного в объемлющее пространство), восстановить это многообразие. Два самых популярных подхода к этой задаче – персистентные гомологии и анализ лапласианов графов – со своими преимуществами и недостатками, работают в общем случае. Докладчик расскажет про другой, недавний и довольно несложный подход, работающий в частном случае, когда искомое многообразие двумерно: вкратце, нужно приблизить плоскостями окрестности точек-представителей из данного облака и понять, как эти окрестности “склеены” между собой. В последнем нам помогут инструменты теории вложенных (в поверхности) графов, а именно rotation systems – циклические порядки вложений ребер, инцидентных вершине. Максим напомнит классификацию двумерных многообразий, а также геометрический смысл SVD-разложения, потому предварительных знаний не потребуется; и покажет результаты численных экспериментов авторов метода (код есть в открытом доступе).

Стоит отметить, что обобщения данного метода на многообразия более высоких размерностей пока нет – докладчик расскажет, почему этого, кажется, не всегда можно сделать уже для размерности три.

28.02 Топологические методы в робототехнике: задачи и алгоритмы

Докладчик -Анастасия Варава (Postdoctoral researcher) и Владислав Полянский (PhD student), KTH Royal Institute of Technology (Стокгольм, Швеция)

Аннотация. Понятие конфигурационного пространства является одним из ключевых в формализации многих задач робототехники. Простые топологические свойства конфигурационных пространств, такие как линейная связность, компактность, односвязность, играют важную роль в планировании движения роботов. При разработке прикладных алгоритмов важно учитывать такие особенности этой области как большие объемы и плохое качество входных данных, необходимость принимать решения в реальном времени и гарантировать безопасность действий робота для окружающей среды и пользователей.

В этом докладе будут рассмотрены некоторые вычислительные задачи, возникающие в прикладных сценариях: аппроксимация многомерных конфигурационных пространств, восстановление их линейно-связных компонент и кластеризация путей в двумерных пространствах. Также докладчики представят некоторые алгоритмы для решения этих задач, основанные на методах вычислительной геометрии и топологии.

Во второй части доклада будет представлен новый алгоритм, позволяющий аппроксимировать диаграммы Вороного и проводить анализ в триангуляциях Делоне в многомерных пространствах без их полного явного построения. В число возможных приложений этого алгоритма входит вычисление конфигурационных пространств для дальнейшего изучения их топологических свойств.

21.02 Магнитудные функции и магнитудные гомологии

Докладчик -Владислав Черепанов, аспирант мехмата МГУ, научный сотрудник лаборатории

Аннотация. В докладе будет введено понятие магнитудной функции метрического пространства на основе работ Т.Лейнстера. Эта функция позволяет определить объем компактного подмножества евклидова пространства, а в случае графов - кодирует нетривиальную комбинаторную информацию. Будут сформулированы основные свойства магнитудных функций и разобраны показательные примеры, объясняющие, какие именно характеристики метрического пространства эти функции позволяют улавливать.

Далее будут определены магнитудные гомологии метрического пространства. Оказывается, что равенство нулю первых магнитудных гомологий является критерием выпуклости компакта в евклидовом пространстве. Определенная с помощью магнитудных гомологий эйлерова характеристика метрического пространства оказывается формально равна магнитудной функции. Таким образом, магнитудные гомологии можно рассматривать как категорификацию магнитудной функции. Если позволит время, разберем общее понятие магнитуды обогащенной категории и обсудим его свойства. 

13.02 Открытые задачи в песочных моделях

Докладчик - Никита Сергеевич Калинин, доцент департамента математики НИУ ВШЭ Санкт-Петербург, старший научный сотрудник Международной лаборатории теории игр и принятия решений

Аннотация. Рассмотрим граф, в каждой вершине которого находится целое неотрицательное число песчинок. Назовём обвалом следующую операцию: если в некоторой вершине число песчинок больше или равно её степени, переместим из этой вершины по одной песчинке в каждого из её соседей. Если граф конечный и связный, в нём есть стоки (то есть вершины, где попадающий туда песок исчезает), то любая последовательность обвалов приводит к стабильному состоянию системы: то есть к состоянию, где невозможно сделать обвал ни в одной вершине.

Песочную модель определили несколько раз в разных контекстах, но наибольшую известность она приобрела как модель так называемой самоорганизующейся критичности. Мы обсудим базовые свойства песочной модели, а также те вопросы о ней, которые докладчику кажутся наиболее интересными и перспективными.

30.01 Метод Mapper как возможный подход к получению мультипараметрической устойчивости

Докладчик - Баларам Усов, студент математического факультета

Аннотация.  Метод Mapper был предложен Гуннаром Карлссоном и другими исследователями [Gurjeet Singh, Facundo Mémoli, Gunnar Carlsson, 2007] как способ низкоразмерного представления данных. Идея Mapper-а довольно прямолинейна и отсылает к простым классическим топологическим конструкциям, но, несмотря на это, метод оказался довольно успешным и нашел применение в массе разных интересных приложений. Тем не менее, сами создатели указывают, что Mapper является довольно сподручным (ad-hoc) средством репрезентации данных и не годится как самостоятельный инструмент для понижения размерности. Докладчик планирует рассказать содержание алгоритма, некоторые детали его реализации, продемонстрировав его работу на нескольких датасетах. После этого планируется обсудить как из репрезентаций данных, получаемых Mapper-ом довольно естественно, возникают мультифильтрации на комплексе Вьеториса-Рипса. Оставшееся время будет посвящено рассказу про устойчивые гомологии таких мультифильтраций [Heather Harrington, Nina Otter, Hal Schenk, Ulrike Tillmann, 2019], а также про то, как они могут возникнуть в недавно изобретенной архитектуре топологических автоэнкодеров [Michael Moor, Max Horn, Bastian Rieck, Karsten Borgwardt, 2019]. Хотя пока это лишь идея, есть надежда, что Mapper может найти новое неожиданное применение.