Семинары

Speaker: Rade Živaljević, Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts

The problem of deciding if a given triangulation of a sphere is realizable as the boundary sphere of a simplicial, convex polytope is known as the “Simplicial Steinitz problem”. This is an example of a problem of geometric combinatorics which links together areas of mathematics as distant as toric topology, combinatorial optimization, convex polytopes, algebraic geometry, topological combinatorics, discrete and computational geometry, etc. It is known (by indirect and non-constructive arguments) that a vast majority of triangulated spheres are “non-polytopal”, in the sense that they are not combinatorially isomorphic to the boundary of a convex polytope. This holds, in particular, for Bier spheres Bier(K) (named after Thomas Bier), the (n-2)-dimensional, combinatorial spheres on 2n-vertices, constructed with the aid of simplicial complexes K on n vertices. Emphasizing connections with polyhedral products and toric topology, we review "hidden geometry” of Bier spheres by describing their natural geometric realizations, compute their volume, describe an effective criterion for their “strong polytopality”, and associate to Bier(K) a natural coarsening Fan(K) of the Braid fan. We also establish a connection of Bier spheres of maximal volume with recent generalizations of the classical Van Kampen-Flores theorem and clarify the role of Bier spheres in the theory of generalized permutohedra.

16.12, 18:10 Искусственный интеллект и машинное обучение в разработке интеллектуальных устройств в медицине

Ссылка на Zoom

Идентификатор конференции: 842 3505 0433

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик: Александра Бернадотт (МГУ, МИСиС)

В докладе будут представлены математические и инженерные особенности разработки интеллектуальных устройств в медицине. Представлены аспекты ИИ, другие алгоритмы машинного обучения, математическое моделирование для разработки устройств. В докладе будет дана практическая иллюстрация применения методов в виде разработок докладчицы — интеллектуального роботизированного устройства для эндоваскулярной нейрохирургии и нейроинтерфейса для адаптации людей с ограниченными возможностями.16:15

09.12, 18:10 Предельная концентрация значений хроматического числа случайного графа Эрдеша-Реньи

Ссылка на Zoom

Идентификатор конференции: 895 5046 0770

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик: Дмитрий Шабанов (ведущий научный сотрудник МЛ АТиП)

Случайный граф в биномиальной модели G(n,p) (случайный граф в модели Эрдеша--Реньи) начиная с конца 50-х годов прошлого века является одним из основных объектов изучения вероятностной комбинаторики. И одним из первых вопросов, поставленных П. Эрдешем был вопрос об асимптотическом поведении хроматического числа случайного графа G(n,p). В 1991 году Т. Лучаком было доказано, что при не слишком быстро растущем произведении np хроматическое число случайного графа сконцентрировано в двух соседних значениях, которые, однако, были неизвестны. Мы представим свои последние результаты, в которых эти значения были найдены для почти всех функций p=p(n) вплоть до o(n^{-3/4}).

18.11, 18:10 Cup products of the cohomology of 4-dimensional toric orbifolds

Meeting ID:824 8521 9929

Speaker: Tse Leung So (Postdoctoral Fellow at Western University, Canada)

This is joint work with Xin Fu (Ajou University) and Jongbaek Song (KIAS).

Toric orbifolds are fundamental objects in toric topology, but the ring structures of their cohomologies are largely unknown. Even though the cohomology of a toric orbifold can be identified with the quotient ring of a subring of the Stanley-Reisner ring if it is concentrated in even degrees, it is difficult to compute the cup products and put it into practice.

In this project we focused on 4-dimensional toric orbifolds $X$ that satisfy a local smoothness condition, and computed their cohomology rings. In particular, we used topological methods to construct an additive basis of $H^*(X)$, called the cellular basis, that exhibits certain nice properties. Combining it with the algebraic model of $H^*(X)$ we derived a formula for calculating the cup products of the basis elements in terms of characteristic vectors.

11.11, 18:10 Внешние биллиарды вне правильных многоугольников

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Идентификатор конференции: 844 6848 1145

Докладчик: А.Я.Канель-Белов (профессор Бар-Иланского университета, Израиль)

Рассмотрим многоугольник $\Gamma$. Из точки $p$ на плоскости проведем касательную (т.е. опорную прямую) к $M$ и отразим $p$ относительно точки касания. Такое преобразование называется {\it преобразованием внешнего биллиарда}. При последовательном применении такой операции, точка может оказаться {\it периодической} (т.е. вернуться в какой-то момент в себя), {\it апериодической} (никогда не вернуться в себя), а также {\it вырожденной} (внешний биллиард можно применить конечное число раз).

Особое место занимает случай, когда $\Gamma$ есть правильный $n$-угольник. В случаях $n=3,4,6$ ситуация проста (апериодических траекторий нет); также ситуация была исследована для случая $n=5$ и, частично, $n=10$ (апериодическая точка есть, но периодические точки образуют множество полной меры). Автором были получены результаты для случаев $n=8,12,10$. Р.Шварц, основываясь на компьютерных экспериментах, высказал предположение, что только для случаев $n=5,10,8,12$, по-видимому, есть точное самоподобие, которое позволяет полностью описать периодические структуры и найти апериодические точки. Шварц проводил эксперименты для случая $n=7$, и самоподобие найти не удалось.

Тем не менее, более глубокий компьютерный анализ дал возможность установить, что в случае $n=7$ самоподобие все-таки существует. С его помощью, легко показать существование апериодической точки. Более того, оказывается, что существует континуально большое множество различных замыканий апериодических орбит - явление, не имеющее места в ранее исследованных случаях.

В докладе пойдет речь о компьютерном доказательстве существования самоподобия и, как следствие, апериодической точки, а также о том, каковы могут быть дальнейшие шаги в изучении как случая n=7, так и других случаев.

28.10, 18:10 Рост и базисы в алгебраических операдах

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Идентификатор конференции: 871 5830 7489

Докладчик: Д.И.Пионтковский (с.н.с., профессор департамента математики ФЭН НИУ ВШЭ)

Рассмотрим алгебраическую операду P, заданную конечным набором соотношений (тождеств). Если соотношения близки к мономиальным (т.е. имеющим вид «длинная композиция операций равна нулю») или составляют базис Гребнера, вопрос о построении базиса операды и вычисления размерности ее компонент сводится к перечислению планарных деревьев, избегающих определенных шаблонов -- поддеревьев из фиксированного набора. Производящие функции размерностей компонент P(n) таких операд оказываются при определенных условиях (а именно, для несимметрических операд) алгебраическими и даже рациональными. В этом случае деревья перечисляются интересными классами формальных языков. Более сложные (дифференциально алгебраические) производящие функции возникают в более общем случае симметрических операд. Мы обсудим полученные результаты и открытые вопросы, связанные как с алгеброй, так и с перечислительной комбинаторикой деревьев.

В докладе будут использованы совместные результаты с А. Хорошкиным и А. Черкасовым.

21.10, 18:10 A quadratic estimation for the Kühnel conjecture

Location: room G 410, Pokrovsky Boulevard, 11

Speaker: S. Dzhenzher (MIPT) and A. Skopenkov (MIPT)

The classical Heawood inequality states that if the complete graph $K_n$ on $n$ vertices is embeddable in the sphere with $g$ handles, then $g\geqslant\dfrac{(n-3)(n-4)}{12}$. A higher-dimensional analogue of the Heawood inequality is the K\"uhnel conjecture. In a simplified form it states that \emph{for every integer $k>0$ there is $c_k>0$ such that if the union of $k$-faces of $n$-simplex embeds into the connected sum of $g$ copies of the Cartesian product $S^k\times S^k$ of two $k$-dimensional spheres, then $g\geqslant c_k n^{k+1}$}. For $k>1$ only linear estimates were known. We present a quadratic estimate $g\geqslant c_kn^2$. The proof is based on beautiful and fruitful interplay between geometric topology, combinatorics and linear algebra.

30.09, 18:10 Алгебра граф-эквивариантных когомологий проективного расслоения над GKM-графом

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. Т905

Докладчик: Г.Д.Соломадин (постдок МЛ АТиП)

В работе [1] Гийомина, Сабатини и Зары с использованием GKM-теоремы описан модуль граф-эквивариантных когомологий над H*(B) для любого GKM-расслоения E -> B. Этот результат даёт комбинаторное доказательство эквивариантной теоремы Лере-Хирша с рациональными коэффициентами в частном случае, когда GKM-расслоение соответствует проективизации комплексного топологического T-расслоения с условием GKM, где T есть компактный тор.

Структура H*(B)-алгебры с целыми коэффициентами и формула типа Бореля-Хирцебруха для проективизации графа с некомпактными ребрами (graph with legs) при выполнении GKM-условия были получены в недавней работе [2] докладчика совместно с С.Куроки (arXiv:2207.11380). Эти результаты обобщают результаты из работы [1] в случае проективных GKM-расслоений.

В докладе будет рассказано о необходимых определениях и доказательстве теоремы типа Бореля-Хирцебруха из работы [2].

15.07, 18:10 Spectral clustering of combinatorial fullerene isomers based on their facet graph structure

Meeting ID:998 175 7123

Speaker: Artur Bille (PhD student at Ulm University, Germany)

After Curl, Kroto and Smalley were awarded 1996 the Nobel Prize in chemistry, fullerenes have been subject of much research. One part of that research is the prediction of a fullerene's stability using topological descriptors. It was mainly done by considering the distribution of the twelve pentagonal facets on its surface. With regard to real-world applications, calculations mostly were performed on all isomers of $C_{40}, C_{60}$ and $C_{80}$. We extend this range, and analyse the spectra of $C_n$ for all feasible $n\leq 150$, and the limit case when $n$ goes to infinity. We suggest a novel method for the classification of combinatorial fullerene isomers using spectral graph theory. The classification presupposes an invariant scheme for the facets based on the Schlegel diagram. The main idea is to find clusters of isomers by constructing a graph invariant using the eigenvalues of matrices representing fullerene graphs. This invariant leads to a linear order within the set of all fullerenes.

10.06, 18:10 Матричная одиссея: от задач вычислительной алгебры к торической топологии и обратно.

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Идентификатор конференции: 998 175 7123

Докладчик: А.А.Айзенберг (с.н.с. международной лаборатории алгебраической топологии и ее приложений ФКН НИУ ВШЭ)

Вопрос: для каких типов разреженных симметричных матриц существует алгоритм асимптотической диагонализации?

В поисках ответа мы прошли долгий и увлекательный путь через каскады Морса-Смейла, градиентную оптимизацию на многообразиях, торическую топологию, спектральные последовательности гомотопических копределов, графы безразличия, матроиды, ядра конечных топологий и пучки модулей.

В процессе мы поняли, как использовать геометрические решетки в качестве локальной комбинаторной модели торических действий, придумали многомерное обобщение графов Кэли и Шрайера, и поняли, как использовать пространства состояний обобщенных пятнашек на графах для описания комбинаторики многих многообразий, включая грассманианы.

Вопрос о диагонализующем алгоритме в итоге свелся к вычислению гомологий симплициальных комплексов с миллионами симплексов и когомологий пучков на частично упорядоченных множествах. Необходимый для доказательства минимум был посчитан на лабораторной станции, но есть планы масштабировать вычисления до суперкомпьютера Вышки.

Какой же ответ на вопрос из начала аннотации? Вы узнаете на докладе. Хотя, вообще говоря, ответ довольно предсказуемый. Но это именно тот случай, когда путь важнее цели. Путь пройден не до конца: связь топологической сложности многообразий с действием тора и алгоритмической сложности задачи диагонализации можно развивать во многих направлениях, как вычислительных, так и теоретических, и об этом тоже будет рассказано.

Доклад по результатам работ с В.Бухштабером, М.Масудой, Г.Соломадиным, К.Сорокиным и В.Черепановым.

20.05, 13:10 Mathematical AI for molecular data analysis

Meeting ID:998 175 7123

Speaker: Kelin Xia (Assistant Professor, School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore)

Artificial intelligence (AI) based molecular data analysis has begun to gain momentum due to the great advancement in experimental data, computational power and learning models. However, a major issue that remains for all AI-based learning models is the efficient molecular representations and featurization. Here we propose advanced mathematics based molecular representations and featurization (or feature engineering). Molecular structures and their interactions are represented as various simplicial complexes (Rips complex, Neighborhood complex, Dowker complex, and Hom-complex), hypergraphs, and Tor-algebra-based models. Molecular descriptors are systematically generated from various persistent invariants, including persistent homology, persistent Ricci curvature, persistent spectral, and persistent Tor-algebra. These features are combined with machine learning and deep learning models, including random forest, CNN, RNN, Transformer, BERT, and others. They have demonstrated great advantage over traditional models in drug design, material informatics and chemical informatics.

15.04,18:10 Parameterized Vietoris-Rips Filtrations via Covers

Link to Zoom

Meeting ID: 860 7775 1824

Speaker: Bradley Nelson (William H. Kruskal Instructor in the Department of Statistics at the University of Chicago)

A challenge in computational topology is to deal with large filtered geometric complexes built from point cloud data such as Vietoris-Rips filtrations. This has led to the development of schemes for parallel computation and compression which restrict simplices to lie in open sets in a cover of the data. We extend the method of acyclic carriers to the setting of persistent homology to give interleavings between the persistent homology of Vietoris-Rips filtrations restricted to covers and the full construction. We show how these filtrations can be used to study data over a base space and use our results to guide the selection of covers of data.

08.04, 13:00 Configuration space of Moebius Kaleidocycle

Link to Zoom

Meeting ID: 869 2093 0113

Please contact Anastasiya Kamyshanova (akamyshanova@hse.ru) to recieve the password

Speaker: Shizuo Kaji (Professor at the Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University, Japan)

The configuration of points in the Euclidean space has long been a research topic in geometry and topology, sometimes in relation to the analysis of mechanical linkages. In this talk, we consider the configuration of lines in the Euclidean space, which provides a model for a certain type of mechanical linkage. The linkage is also popular as an origami toy and called Kaleidocycle. We see how geometry and topology help to analyse Kaleidocycles; in particular, we construct

- a rare example of a single degree-of-freedom underconstrained linkage, which we have named the Moebius Kaleidocycle

- a motion of a Kaleidocycle governed by some integrable systems, and show it preserves a discretised total elastic energy.

We will discuss a wide range of open problems.

25.03, 18:10 Simplicial complexes of polyomino tilings

Meeting ID: 976 1355 2747

Please contact Anastasiya Kamyshanova (akamyshanova@hse.ru) to recieve the password.

Speaker: Djordje Baralić (Deputy Communications Director at Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts)

A polyomino is a collection of squares of equal size arranged with coincident sides. Firstly introduced by Martin Gardner in 50's they quickly attracted wide interest beside recreational mathematics. We assign a simplicial complex to the problem of regular tiling of a finite region in a square by polyominoes from a given finite set of shapes. It turns out that both combinatorics and topology of these complexes are interesting. Particularly we showed that in some cases they have homotopy type of the wedge of spheres. F vectors of the complexes reveal us some information on partial tilings.

18.03, 18:10 Path homology and join of digraphs

Meeting ID: 974 3950 5315

Please contact Anastasiya Kamyshanova (akamyshanova@hse.ru) to recieve the password.

Speaker: A.A.Grigor'yan (Professor of Mathematics, Bielefeld University, Germany)

In this talk I'll introduce the path homology theory of digraphs and present Künneth-like formulas for homology groups of joins of digraphs.

17.02, 18:10 Wasserstein Stability for Persistence

Meeting ID: 962 3218 9709

Please contact Anastasiya Kamyshanova (akamyshanova@hse.ru) to recieve the password.

Speaker: Primoz Skraba (Queen Mary University of London)

In this talk, I will introduce a result on Wasserstein stability for persistence. Wasserstein or optimal transport distances have been used in applications of topological data analysis for some amount of time but have been missing a stability proof. I will present an elementary proof in the case of finite complexes, which also provides a simple proof of bottleneck stability, followed by a discussion of applications and generalizations. In particular, I will discuss the algebraic version of stability as well as discuss open questions. This is joint work with Katharine Turner.

10.02, 18:10 О броуновских мостах на деревьях и супердеревьях

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик: Сергей Нечаев (Центр Понселе (CNRS, Москва) и Физический Институт (РАН Москва)).

Аннотация. В докладе будет рассмотрена статистика броуновских мостов на графах двух классов: деревья ж и "супердеревьях" (деревьях, у которых валентность линейно растет с удалением от корня). Супердеревья, известные также под названием "факториальные деревья", появляются как среднеполевая модель в представлении Эдельмана-Думитриу ансамблей случайных матриц. Будет показано, что в зависимости от соотношения длины броуновского моста и числа поколений дерева, есть фазовый переход в поведении флуктуации - от обычной гауссовой статистики к статистике КПЗ (Кардара-Паризи-Занга).

12.11, 18:00 Topological Data Analysis can be enough for Classification

Meeting ID: 843 0961 6713

Please contact Anastasiya Kamyshanova (akamyshanova@hse.ru) to recieve the password

Speaker: Rolando Kindelan Nuñez, University of Chile, PhD student

Topological Data Analysis (TDA) is an emergent field that aims to discover topological information hidden in a dataset. TDA tools have been commonly used to create filters and topological descriptors to improve Machine Learning (ML) methods. We propose an algorithm that applies TDA directly to multi-class classification problems, without any further ML stage, showing advantages for imbalanced datasets. The proposed algorithm builds a filtered simplicial complex on the dataset. Persistent Homology (PH) is applied to guide the selection of a sub-complex where unlabeled points obtain the label with the majority of votes from labeled neighboring points. We select 8 datasets with different dimensions, degrees of class overlap, and imbalanced samples per class. On average, the proposed TDABC method was better than KNN and weighted-KNN. It behaves competitively with Local SVM and Random Forest baseline classifiers in balanced datasets, and it outperforms all baseline methods classifying entangled and minority classes.

22.10, 18:10 1/x power-law in a close proximity of the Bak–Tang–Wiesenfeld sandpile

Meeting ID: 899 0332 5272

Please contact Anastasiya Kamyshanova (akamyshanova@hse.ru) to recieve the password.

Speaker: Sasha Shapoval, professor, Big Data and Information Retrieval School, Faculty of Computer Science, HSE

A cellular automaton constructed by Bak, Tang, and Wiesenfeld (BTW) in 1987 to explain the 1/f noise was recognized by the community for the theoretical foundations of self-organized criticality (SOC). Their conceptual work gave rise to various scientific areas in statistical physics, mathematics, and applied fields. The BTW core principles are based on steady slow loading and an instant huge stress-release. Advanced models, extensively developed far beyond the foundations for 34 years to successfully explain SOC in real-life processes, still failed to generate truncated 1/x probability distributions. This is done here through returning to the original BTW model and establishing its larger potential than the state-of-the-art expects. We establish that clustering of the events in space and time together with the core principles revealed by BTW lead to approximately 1/x power-law in the size-frequency distribution of model events.

24.09,18:00 О свойствах эллиптических кривых над конечными полями; Применение алгоритмов машинного обучения для предсказания свойств эллиптических кривых над конечными полями;

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. R 205

Докладчик: Константин Сорокин, стажёр-исследователь МЛ алгебраической топологии и её приложений

Название: О свойствах эллиптических кривых над конечными полями

Аннотация: В своем докладе Константин кратко опишет необходимую теорию для понимания, как ведут себя эллиптические над конечными полями и полем рациональных чисел, что такое комплексное умножение и кондуктор. Будет рассказано о дзета-функции на кривой и как она применима в задачах предсказания свойств кривой при помощи алгоритмов машинного обучения.

Докладчик: Андрей Зайцев, студент ОП Прикладной анализ данных, 3-й курс

Название: Применение алгоритмов машинного обучения для предсказания свойств эллиптических кривых над конечными полями

Аннотация: Применение вычислительных алгоритмов к определению свойств алгебраичских кривых - важная в приложениях проблема. Одним из них является является наличие определённого комплексного умножения на эллиптических кривых. В докладе будет освещено, как при помощи конечного числа членов разложения соответствующей кривой модулярной формы в ряд Фурье, можно предсказать с высокой точностью наличие или отсутствие комплексного умножения. Будут описаны несколько методов классификации и их эффективность в приложении к этой задаче.

17.09, 18:10 Разработка алгоритма поиска нейронов поворотов головы ; Изучение графа коннектома C.Elegans топологическими методами и с помощью моделирования процесса обвала песчаных куч

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. R 205

Докладчик: Ярослав Коробов, магистрант Анализа данных в биологии и медицине

Название: Разработка алгоритма поиска нейронов поворотов головы

Аннотация: В гиппокампе млекопитающего есть множество различно специализированных нейронов. В частности, на основании данных, полученных однофотонным минископом при изучении активности в отделе гиппокампа CA1, ранее были отобразны кандидаты в нейроны места. Наша цель по этим же данным отобрать кандидатов в нейроны поворота головы и сравнить пересечение множеств специаоизированных нейронов. Для реализации этого был разработан алгоритм, позволяющий определять поворот головы мыши, о котором и будет доклад Ярослава.

Докладчик: : Ксения Шилова, студент ОП Программная инженерия факультета компьютерных наук

Название: Изучение графа коннектома C.Elegans топологическими методами и с помощью моделирования процесса обвала песчаных куч

В работе построены кривые Бетти для графа коннектома и случайного графа того же размера для гомологий симплициальных комплексов размерности 0,1 и 2, и для гомологий путей размерности 0 и 1. Также случайный граф и граф структурного коннектома сравниваются с помощью модели песчаных куч - динамической модели, где каждая вершина графа может накапливать некоторое количество песчинок, а ребра графа - переносить их от вершины к вершине в случае обвала песчаной кучи.

04.06, 18:10 Metric and Topological Approaches to Network Data Analysis

Meeting ID: :839 6788 5298

Please contact Anastasiya Kamyshanova (akamyshanova@hse.ru) to recieve the password.

Speaker: Samir Chowdhury (Stanford University)

Statistical and mechanistic models are crucial in studying dynamic neurobiological processes. Often these models can be translated into (possibly directed) graphs, and being able to efficiently perform statistical learning on sets of these graphs may be of crucial interest to clinicians and researchers alike. While network science approaches have been immensely useful in this regard, we expect that novel methodologies will provide answers to inference and prediction problems beyond those that have been introduced in the literature. To this end, we develop a framework that associates generalized metric space structures to graphs, and further embeds these structures in a global pseudometric space equipped with rich theoretical and practical properties. As an application, we show how to incorporate path homology--an algebro-topological descriptor of directed graphs--into a persistence framework that inherits stability and convergence properties from this pseudometric. We conclude by describing how this pseudometric further admits geometry-aware, practically-computable relaxations via the theory of optimal transport.

28.05, 18:10 Hodge Laplacian via Random Walks on Simplicial Complexes

Meeting ID: : 892 5830 5301

Please contact Anastasiya Kamyshanova (akamyshanova@hse.ru) to recieve the password.

Speaker: Gabor Lippner (Department of Mathematics, Northeastern University)

It is well-known that the simple random walk on a graph is closely related to the normalized Laplace operator, and that this connection yields interesting applications to data analysis - PageRank type methods, for instance. I will explain a way to define a random walk on simplicial complexes that relates to the higher order (aka Hodge) Laplacians in a similar — albeit somewhat more complicated — manner. This, in turn, can be used to devise methods to analyze data that is naturally represented as a simplicial complex.

21.05, 18:10 Как построить поверхность, обладающую метрикой с заданной симметрией?

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. R 505

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик: Антон Шейкин, старший преподаватель кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского государственного университета.

Аннотация. Основной предмет изучения в общей теории относительности, как и во многих других областях науки - геометрия (псевдо)римановых пространств, задаваемая метрикой. Для того чтобы лучше представить и понять свойства того или иного пространства, зачастую бывает полезно нарисовать поверхность в каком-либо объемлющем пространстве, обладающую такой метрикой - иными словами, построить изометрическое вложение. Однако поиск явного вида таких поверхностей оказывается очень нетривиальной задачей. К счастью, задача сильно упрощается, если изучаемое (псевдо)риманово пространство обладает достаточно богатой симметрией (что и реализуется во многих интересных случаях). Я расскажу о методе поиска поверхностей с заданной метрикой, основанном на теоретико-групповом анализе симметрий этой метрики, разберу пару примеров использования этого метода в задачах теории гравитации и опишу его возможные обобщения.

13.05, 18:10 A Higher-Dimensional Generalization of the Heawood Theorem on Embeddings of Graphs into Surfaces

11 Pokrovsky Bulvar, Pokrovka Complex, room R 408

Link to Zoom

Please contact Anastasiya Kamyshanova (akamyshanova@hse.ru) to recieve the password.

Speaker: Eugene Kogan (HSE) and Arkadiy Skopenkov (MIPT and IUM)

We present a short well-structured exposition of the 2019 Patak-Tancer higher-dimensional generalization of the Heawood inequality for embeddings of graphs into surfaces. This exposition clarifies the relation of the Patak-Tancer proof to earlier known results. This exposition is accessible to non-specialists in the field.

A simplified version of the Patak-Tancer result is as follows.

Theorem. If the union of k-dimensional faces of the n-dimensional simplex PL embeds into the connected sum of g copies of the Cartesian product S^k \times S^k of two k-dimensional spheres, then g is at least (n-2k-1)/(k+2).

14.05, 18:10 Гомологии путей орграфов

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. R 408

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик: Юрий Владимирович Муранов (University of Warmia and Mazury in Olsztyn, Poland).

Аннотация. Для произвольного множества мы вводим понятие комплекса путей, которое является естественным обобщением понятия симплициального комплекса. Путь на множестве задается последовательностью точек этого множества, а комплекс путей является набором путей, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Затем мы определяем гомологии комплекса путей так, что симплициальные гомологии являются гомологиями путей.

Любой ориентированный граф естественно задает комплекс путей, в котором допустимые пути идут вдоль ориентированных ребер, что приводит нас к теории гомологий орграфов. Гомологии орграфов удовлетворяют свойствам аналогичным аксиомам Стинрода --- Эйленберга и ведут себя "правильно" по отношению к различным топологическим конструкциям. В частности, группы гомологий путей функториальны и гомотопически инвариантны.

Мы также обсудим другие теории гомологий на категории орграфов и представим несколько нетривиальных примеров и нерешенных задач.

30.04,18:30 О числах на баркоде строгой функции Морса

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. R 408

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик – Михаил Тёмкин, аспирант факультета математики ВШЭ и стажер-исследователь МЛ АТиП

Аннотация. Функция Морса f на многообразии М называется строгой, если все её критические значения попарно различны. Несколько более общо рассматривается фильтрованное топологическое пространство, у которого соседние члены отличаются, с точностью до гомотопической эквивалентности, на приклейку клетки. Фильтрация подуровней для строгой функции Морса обладает этим свойством. Для фиксированного поля коэффициентов F определено разложение Баранникова - каноническое спаривание некоторых критических точек функции f, имеющих соседние индексы. Это разложение в случае произвольных фильтраций известно в топологическом анализе данных как диаграмма устойчивости.

Михаил расскажет о новой конструкции, которая сопоставляет каждой паре Баранникова (то есть по сути полоске в баркоде) число (т.е. элемент поля F), определённое с точностью до знака. Оказывается, что если гомологии многообразия М над F такие же, как у сферы, то произведение всех чисел не зависит от f. Далее будут рассмотрены гомологии со скрученными коэффициентами - объект, позволяющий, в частности, определить кручение Райдемайстера многообразия.

Наконец, будет вкратце рассказано о связи теории Баранникова и теории кручений: имеется способ определить скрученное разложение Баранникова и доказать, что произведение всех чисел на диаграмме совпадает с кручением Райдемайстера. В частности, произведение не зависит от функции f.

Пререквизитов нет; доклад основан на совместной работе с доцентом факультета математики ВШЭ Петром Евгеньевичем Пушкарём.

23.04,18:10 Пространства толерантности: обзор

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. R 611

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик – Алексей Брониславович Сосинский (НМУ)

Аннотация. Пространство толерантности X_R - это множество X с фиксированным рефлексивным симметричным бинарным отношением на нем; мы пишем xRy если x,y\in X находятся в этом отношении. Толерантность формализует идею похожести, или близости, или приближенного равенства. Основные примеры: метрическое пространство с M_R с отношением
xRy <=> d(x,y) < \epsilon,
где \epsilon - фиксированное ("малое") число, и топологическое пространство T_\omega с отношением
x\omega y <=> существует U\in\Omega, x,y\in U,
где \Omega - фиксированное ("мелкое") покрытие пространства T.

Идея толерантности принадлежит Пуанкаре [1905], но формальное определение независимо придумал Зиман [1966]; он же ввел (по мнению докладчика очень неудачный) термин "tolerance space".

В докладе Алексей Брониславович расскажет про:
1) историю, идеологию и актуальность вопроса;
2) технику работы в категории пространств толерантности;
3) теорию гомологий пространств толерантности;
4) гомотопии пространств толерантности;
5) почти решения уравнений;
6) толеоморфизм и принцип трех каналов (если позволит время).

09.04, 18:10 Разветвленные накрытия многообразий над сферами

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик – Дмитрий Владимирович Гугнин (МГУ, МИАН им. Стеклова, ВШЭ)

Аннотация. В размерности большей 2 теория разветвленных накрытий многообразий родилась с классической работы Александера 1920 года, в которой доказывалось существование кусочно-линейного разветвленного накрытия произвольного ориентируемого PL многообразия над сферой той же размерности. Однако, для многообразий размерности n в очень естественной и явной конструкции Александера степень данного разветвленного накрытия всегда больше n!. Возник вопрос, можно ли и насколько можно понизить эту степень d(n) для всех многообразий данной размерности n.

В случае n=2, гиперэллиптические поверхности дают тривиальный ответ d(2)=2. Знаменитая теорема, доказанная в 1974 году независимо Хилденом, Хиршем и Монтезиносом, утверждает d(3)=3. В 1995 году Пиергаллини доказал, что d(4)=4. Для n>=5 даже для n-мерного тора T^n до сих пор не построено его разветвленное накрытие над сферой степени d=n. Нижняя оценка d(n)>=n следует из замечательной теоремы Берстейна-Эдмондса 1978 года, утверждающей что для любого разветвленного накрытия ориентируемых многообразий f:X^n --> Y^n выполнено deg(f)>= L(X)/L(Y), здесь L(Z) --- это рациональная когомологическая длина пространства Z.

В докладе Дмитрий расскажет о своей недавней конструкции, которая в частном случае дает явное алгебраическое разветвленное накрытие произвольного прямого произведения сфер S^{m_1}xS^{m_2}x...xS^{m_k} над m-сферой, m=m_1+...+m_k, степени 2^{k-1}. Также будет рассказано о малоизвестной конструкции Арнольда (1997 год или даже раньше) алгебраического разветвленного накрытия CP^n над S^{2n} степени 2^{n-1}.

Помимо этих явных конструкций будет рассказано о некоторых отрицательных результатах, но для более узкого класса разветвленных накрытий, а именно тех, которые возникают как проекции на факторпространства несвободных действий конечных групп на многообразиях при условии, что эти факторпространства являются топологическими многообразиями.

26.03, 18:10 Комплексы турниров и флаговые комплексы

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик – Алексей Рухович, аспирант СколТеха, стажер-исследователь МЛ АТиП. Доклад основан на совместной работе с А.Айзенбергом

Аннотация. Комплекс турниров ориентированного графа был введен в работе D.Govc, R.Levi и J.Smith как комбинаторный объект, отражающий каузальную структуру связей мозга. Легко показать, что структура этого комплекса не зависит от ориентации ребер графа, а зависит лишь от количества ребер между каждой парой вершин. Таким образом, можно забыть про направления ребер, и обобщить понятие флагового комплекса на графы с кратными ребрами - мультиграфы.

В докладе будет рассказано, как находить гомотопический тип флагового комплекса мультиграфа, будут сформулированы обобщения и открытые вопросы на эту тему.

12.03, 18:10 Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик - Небалуев Сергей Иванович, доцент кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, механико-математический факультет, Саратовский Национальный Исследовательский Государственный Университет им. Н.Г. Чернышевского.

Аннотация. Английский математик Зиман (Zeeman E.C. The topology of brain and visual perception, in The Topology of 3-Manifolds, M.K. Fort(ed): 240-256.), изучая работу зрительного анализатора, предложил наиболее общую математическую модель понятия схожести. Идея Зимана заключалась в том, что при максимально абстрактном и широком подходе отношение схожести объектов должно удовлетворять лишь двум свойствам: оно должно быть рефлексивным и симметричным. Такие бинарные отношения Зиман назвал отношениями толерантности. А пару, состоящую из множества и заданного на этом множестве отношения толерантности, Зиман определил как толерантное пространство (или пространство толерантности).
Всестороннее обсуждение и исследование проблемы дискретизации, т.е. способа, как переходить от непрерывных континуальных структур к их дискретному описанию, имеется в очень важной работе Зимана и Бьюнемана (Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг. в сб. На пути к теоретической биологии. - М. : мир, 1970). Статья Зимана и Бьюнемана привлекла внимание многих математиков, интересующихся моделированием работы мозга и других сложных систем, так как она содержала целый ряд принципиальных программных идей. В докладе будет рассказано, какой алгебро-топологический аппарат удается определить для толерантных пространств. Доклад будет посвящен изложению теории толерантной гомотопии и толерантных гомологий. Основные темы: толерантные гомологии, толерантная гомотопия, проблемы дискретизации, толерантные накрытия, толерантные расслоения и высшие гомотопические группы, спектральные последовательности, толерантные теоремы Гуревича.

05.03, 18:10 Теорема о покрытии шапочек

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик – Александр Полянский, лаборатория комбинаторных и геометрических структур МФТИ

Аннотация. Шапочкой радиуса \alpha на единичной сфере S называется множество точек, которые находятся на сферическом расстоянии не более \alpha от некоторой фиксированной точки сферы. Набор K шапочек называется неразделимым, если не существует гиперплоскости, проходящей через центр сферы, которая не пересекала бы ни одну из шапочек и при этом разделяла бы множество шапочек на два непустых множества. Мы доказали, что если дан неразделимый набор шапочек с суммой радиусов равной \beta < π/2, то этот набор можно покрыть одной шапочкой радиуса \beta.

Это утверждение является сферическим аналогом так называемой теоремы Гудмана-Гудмана о покрытии кругов кругом, а также усилением гипотезы Фейеш Тота, доказанной докладчиком в совместной работе с Цзяном.

25.02, 18:00 Топологические автокодировщики

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик – Максим Бекетов, стажёр-исследователь МЛ АТиП

Аннотация. Топологические автокодировщики TopoAE – это архитектура автокодировщиков (семейства генеративных моделей машинного обучения), относительно недавно предложенная М. Муром и другими (arxiv.org/abs/1906.00722), успешно сохраняющая некоторые топологические характеристики выучиваемых данных. Такое сохранение топологии достигается введением штрафа за отличие устойчивых гомологий входных данных от их образа в латентном пространстве автокодировщика (на выходе кодировщика). Мы ознакомимся с результатами авторов на некоторых датасетах, а также обсудим некоторые ограничения этого подхода. Предварительного знания устройства автокодировщиков или устойчивых гомологий не потребуется, доклад подразумевает напоминание основных понятий.

18.02, 18:00 Эквивалентные определения гомологий группы

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории.

Докладчик – Федор Павутницкий, научный сотрудник (постдок) МЛ АТиП

Аннотация. Доклад планируется как неформальное введение в гомологическую теорию групп с симплициальным уклоном. Мы обсудим различные подходы к понятию гомологий группы в топологическом и алгебраическом аспекте, связанные конструкции и задачи. Увидим, как с помощью языка симплициальной теории гомотопий показать эквивалентность этих подходов. В заключение попробуем понять, можно ли изложенную идеологию перенести на другие категории алгебраических объектов.

11.02, 18:10 Использование геометрических праеров для задачи сегментации глиобластом

Пароль необходимо запросить у менеджера лаборатории

Докладчик – Анвар Курмуков, стажёр-исследователь МЛ алгебраической топологии и её приложений ФКН НИУ ВШЭ

Аннотация. Будет рассмотрена задача сегментации глиобластом на МРТ изображениях головного мозга. Современные методы компьютерного зрения эффективно решают различные задачи анализа данных медицинской визуализации. Однако в задаче сегментации глиобластом возникает так называемая проблема Domain shift, когда снимки полученные с различных томографов обладают различными характеристиками (размеры вокселей, распределение яркостей). Задача дополнительно осложняется “шумом” в разметке, источником которого являются изменяющихся протоколы лечения и несогласованность экспертов-разметчиков. Один из возможных подходов к решению этой проблемы - использование какого-то геометрического праера (как на форму, так и на расположение опухоли). Предлагается обсудить, как в зависимости от дефектов сегментации такой праер может быть основан на устойчивых гомологиях (persistent homology) и/или на геометрических модходах (geometric deep learning).

28.01, 18:10 Задача подсчета количества целых точек в k-модулярных симплексах и близких полиэдрах