Семинар лаборатории

Покровский бульвар 11, аудитория R206, 18:10.

Для конечного псевдометрического пространства X фильтрация Виеториса-Рипса представляет собой последовательность R(X,t) вложенных флаговых симплициальных комплексов, ассоциированных с X. Симплициальные гомологии комплексов R(X,t) используются для определения основных персистентных модулей в топологическом анализе данных - персистентных гомологий пространства X.

В торической топологии рассматривается более тонкий гомологический инвариант симплициального комплекса K - биградуированные гомологии момент-угол-комплекса ZK, ассоциированного с K. Момент-угол-комплекс ZK представляет собой пространство с действием тора, составленное из произведений дисков и окружностей, параметризованных симплексами в K. На ZK задано биградуированное клеточное разбиение, и соответствующие биградуированные группы гомологий H_{-i,2j}(ZK) содержат гомологии H_n(K) в качестве прямого слагаемого. Алгебраически биградуированные модули гомологии H_{-i,2j}(ZK) являются биградуированными компонентами Tor-модулей кольца Стэнли-Райснера k[K] и могут быть представлены в виде суммы приведённых симплициальных групп гомологии всех полных подкомплексов K_I в K.

На основе биградуированных гомологий момент-угол-комплексов ZR(X,t), связанных с фильтрацией Вьеториса-Рипса {R(X,t)}, можно определить биградуированные персистентные модули и биградуированные бар-коды облака точек (набора данных) X. Простые примеры показывают, что биградуированные персистентные гомологии могут различать облака точек, которые неразличимы обычными персистентными гомологиями.

Двойные гомологии HH*(ZK) определяются как гомологии цепного комплекса CH*(ZK)=(H*(ZK),d'), получаемого путём введения второго дифференциала d'  на биградуированных гомологиях ZK. Биградуированные двойные гомологии существенно меньше, чем обычные биградуированные гомологии момент-угол-комплексов, и поэтому могут быть более доступными с вычислительной точки зрения. Что более важно, модули персистентных гомологий, определённые на основе биградуированных двойных гомологий фильтрации Вьеториса-Рипса, обладают свойством стабильности, т.е., грубо говоря, устойчивости к малым изменениям входных данных.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория D109, 12:00-13:30

Многообразия Грассмана – фундаментальный объект алгебраической топологии и её приложений в разных областях
математики и математической физики. В докладе мы сосредоточимся на вполне неотрицательных грассманианах, т.е. подмножествах грассманианов, все координаты Плюккера которого неотрицательны, а именно на описании его клеточной структуры и компактификациях "позитроидных" клеток. Доклад построен на недавних работах трех авторов: P. Galashin, S. N. Karp, and T. Lam,  в которых они подтверждают гипотезу Постникова о том, что замыкание каждой клетки внутри вполне неотрицательного грассманиана гомеоморфно шару.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория D109, 12:00-13:30

Я расскажу про метод, изложенный в статье K.Iriye и D.Kishimoto, с помощью которого позднее K.Iriye доказал, что момент-угол комплекс, приведённый в статье F.Fan, L.Chen, J.Ma и X.Wang, действительно является связной суммой произведений сфер (где одно из слагаемых является произведением трёх сфер). Этот метод можно применить для доказательства аналогичных утверждений, что будет также сделано на докдаде. Например, таким образом можно понять гомотопический тип момент-угол комплекса, соответствующего сфере Брюкнера, а также серии трёхмерных симплициальных сфер специального вида.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория D109, 12:00-13:30.

Гомотопические свойства квазиторических и неособых торических многообразий тесно связаны со свойствами соответствующих момент-угол-комплексов и пространств Дэвиса-Янушкевича; эти топологические пространства соответствуют симплициальным комплексам. Л.Стэнтоном и докладчиком недавно был получен прогресс в описании соответствующих пространств петель: в частности, в случае флаговых комплексов удается выразить гомотопические группы торических пространств через гомотопические группы сфер.
 
Мы обсудим 1) гомотопический тип пространств петель, их гомологии и гомотопические группы, 2) связанные задачи комбинаторной гомологической алгебры и 3) подходы к их решению.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория D109, 12:00-13:30.

Онлайн, 13:30.

(по совместной текущей работе с М. Бекетовым и Г. Магаем)

Нашей изначальной мотивацией было изучение топологии пространства взвешенных ацикличных орграфов на заданном множестве вершин мощности n. У этого пространства есть потенциальное применение в задаче поиска оптимальной нейронной архитектуры (neural architecture search), известной в области автоматического машинного обучения. Хотя основной результат, как оказалось, был доказан в работах как минимум двух различных коллективов (Бьорнер-Велкер и, независимо, Боуц), мы собрали их результаты воедино и доказали обобщение их результатов, которое, на первый взгляд, не имеет отношения к исходной задаче. 

Рассмотрим покрытие сферы размерности d-1 набором замкнутых полусфер, который вместе с любой полусферой содержит антиподальную к ней полусферу. Теорема о нерве к такому покрытию не применима, потому что пересечения замкнутых полусфер бывают нестягиваемыми. Мы доказываем, что нерв такого покрытия гомотопически эквивалентен букету (2d-2)-мерных сфер. Заметим, что если полусферы открытые, то теорема о нерве применима, и нерв гомотопен (d-1)-мерной сфере.

Этот результат связан с рядом сюжетов, про некоторые я постараюсь рассказать.
1) Если в качестве покрытия взять полусферы, центрированные в системе корней типа A, то восстанавливаются результаты Бьорнера-Велкера и Боуца. 
2) В частности, из их результатов (а значит и нашего) следует описание гомотопического типа решетки всех топологий на заданном конечном множестве. В предыдущих работах мы такого замечания не смогли найти, хотя решетка всех топологий - объект важный и хорошо изученный с точки зрения комбинаторики.
3) Нервы покрытия сферы открытыми полусферами - это класс симплициальных комплексов, комбинаторно двойственных по Александеру к нерв-комплексам многогранников. Это следует из двойственности Гейла. В частности, существует интересный выпуклый (непростой) многогранник, который "кодирует циклы" в орграфах.
4) Результат о покрытиях сферы замкнутыми полусферами квантифицирует и отчасти объясняет некоторые странные экспериментальные феномены, с которыми мы столкнулись, вычисляя устойчивые гомологии регулярных облаков точек на многообразиях.

Онлайн, 12:00.

В рамках доклада мы поговорим о началах спектральной теории дискретных систем, таких как гиперграфы и симплициальные коплексы, а также (немного) о случайных симплициальных комплексах и о многообразии явлений, возникающих при их изучении.

Место проведения:  Покровский бульвар,  д.11, стр. 6, ауд. G-303, 12:00.

В рамках доклада мы поговорим о известных математических подходах к теории сознания и архитектуры некоторых естественных нейронных сетей, какие результаты эти гипотезы дают на практике и о том, как к этим идеям пришли.  Мы обсудим направления наших исследований в этой области и некоторые новые результаты.

Место проведения:  Покровский бульвар,  д.11, стр. 6, ауд. G-503, 12:00.

Трансформерные модели играют важнейшую роль в глубоком машинном обучении. Ключевым элементом архитектуры таких моделей является, в свою очередь, механизм внимания. Часть этого механизма - матрица внимания - может быть рассмотрена как матрица инцидентности некоторого графа или флагового комплекса. В докладе будет показано, что геометрические и топологические свойства графов и флаговых комплексов, построенных по матрицам внимания трансформеров, несут в себе много полезной информации и могут отражать интересные свойства и модели, и данных. Будет показано, как эти свойства можно использовать для решения прикладных задач, связанных с обработкой текста и звука - в частности, для задачи распознавания искусственно сгенерированных текстов и речи. Далее будет рассказано про анализ еще одной важной части внутренних представлений трансформера - вложений токенов (частей слов) на его последнем слое. Оказывается, что если рассмотреть совокупность этих вложений как облако точек и подсчитать внутреннюю (фрактальную) размерность такого облака, то на основе этой размерности также можно построить сильный и устойчивый детектор искусственно сгенерированных текстов.

Место проведения:  Покровский бульвар,  д.11, стр. 6, ауд. G-303, 12:00.

В течение доклада мы обсудим несколько подходов к восстановлению топологии физического пространства непосредственно из нейронных активностей области CA1 гиппокампа во время свободной пространственной навигации. В своих умозаключениях мы отпирания на идеи теории Когнитома для описания сознания. В наших экспериментах мыши помещались в различные новые для них лабиринты с различными топологиями. Параллельно с этим регистрировались их двигательные и нейронные активность. Я расскажу о том, как мы попробовали различные подходы для отбора клеток места и обсужу методики понижения размерностей и восстановления топологии из полученных данных, в частности, комплексы из временных рядов (по сути, нерв-теорема) и многомерные облака точек. Всё это я снабжу необходимыми математическими пояснениями и иллюстрациями.

Место проведения:  Покровский бульвар,  д.11, стр. 6, ауд. G-303, 12:00.

Генеративное моделирование – раздел машинного обучения, посвященный задаче генерации новых “правдоподобных” выборок разных естественных данных (чаще всего – изображений) после обучения модели на большой обучающей выборке. По сути такие модели – а сегодня все успешные такие модели основаны на глубоких нейросетях – занимаются аппроксимацией выборочного распределения некоторой параметризованной (нейросетью) плотностью. Все это происходит, конечно, в пространстве (евклидовом) высокой размерности, где лежат данные. Широко известна гипотеза (manifold hypothesis) о том, что “естественные” данные в таких пространстах (признаков) лежат вблизи каких-то (вложенных в это пространство) многообразий – если многообразие существенно меньшей размерности, чем объемлющее пространство – это может давать выигрыш в работе с такими данными. (Не говоря уже о том, что изучение таких многообразий может пролить свет на структуру данных.) В последнее время сформировалось целое направление исследований, посвященных генеративному моделированию на многообразиях: как для данных, когда их многообразие-носитель заведомо известно (сферы / торы / многообразия Штифеля); так и для случая, когда это многообразие “выучивается” (аппроксимируется нейросетью) из самих данных (следующим шагом “выучивается” плотность распределения данных “на многообразии / вблизи него”). Диссертационные исследования докладчика в основном следуют второму направлению. Будут вкратце рассказаны основные идеи современных моделей генеративного моделирования (вариационные автокодировщики и нормализующие потоки), а затем успехи (и неуспехи) этих моделей в данной задаче. Будет также рассказано о некоторых недавних находках, касающихся представления “многообразия данных” нейросетью, очень важных в контексте данной задачи, и о задумках по улучшению этих результатов.

Online talk, 20:00. Link to Zoom

Let Aⁿ⁺¹ = Cⁿ⁺¹/Γ be a principally polarised abelian variety. The space of holomorphic sections of its canonical line bundle L is one-dimensional and generated by the classical Riemann θ-function. According to the Andreotti-Mayer theorem (1967), for a generic principally polarised abelian variety, the theta divisor Θⁿ ⊂ Aⁿ⁺¹ given by θ(z,τ) = 0 is a smooth irreducible algebraic variety of general type.

The talk is focused on the following result of Buchstaber-Veselov (2020), which is based on the construction of the Chern-Dold character in the theory of complex cobordism (Buchstaber, 1970):

The exponential generating series of the complex cobordism classes of the theta divisors [Θⁿ], n = 0, 1, 2, . . . , realizes the exponential of the formal group law of geometric cobordisms.

We will discuss applications of this result to well-known problems in algebraic topology and algebraic geometry, including the hitherto open Milnor-Hirzebruch problem (1958) on Chern numbers of irreducible smooth algebraic varieties.

Место проведения:  Покровский бульвар,  д.11, стр. 6, ауд. G-303, 12:00.

Задача о случайном блуждании с непрерывным временем на одномерном клеточном комплексе представляет большой интерес. В докладе мы обсудим функцию подсчета количества блуждающих точек в некоторый момент времени, ее аппроксимацию и некоторые приложения.

Место проведения:  Большой Власьевский пер., 11, ауд. 310, 17:30.

Пусть тор T непрерывно действует на топологическом пространстве X. "Прокручивания вдоль координатных окружностей" задают набор дифференцирований на коцепном комплексе для X. Это позволяет построить ряд высших когомологических операций в когомологиях X. Горески, Коттвиц и Макферсон связали эти операции с дифференциалами в спектральной последовательности расслоения X -> X_T -> BT. Таким образом, они являются препятствиями к эквивариантной формальности.

Я дам обзор результатов Горески-Коттвица-МакФерсона и Франца (для произвольных действий), а также Амелотта-Бриггса (для стандартного действия тора на момент-угол комплексе). Также я объясню связь с двойными когомологиями момент-угол комплексов в смысле Лимонченко-Панова-Сонга-Стэнли.

Место проведения:  Покровский бульвар,  д.11, стр. 6, ауд. G-303, 12:00.

В докладе будет во-первых, представлена разработка экосистемы для нейрохирургических операций Левша: особенности системной архитектуры, анализа данных, симуляции данных сосудов мозга; во-вторых, проект по нейрореабилитации Гиперкортекс на основе неинвазивного интерфейса: описание проекта, методика, алгоритм подбора словаря для управления движением, особенности вычислительной нагрузки и способы снизить нагрузку; в-третьих, решение задачи экспоненциального взрыва для одного класса регулярных языков в контексте задач кибербезопасности.

Место проведения:  Покровский бульвар,  д.11, стр. 6, ауд. G-114, 12:00
В докладе будет во-первых, представлена разработка экосистемы для нейрохирургических операций Левша: особенности системной архитектуры, анализа данных, симуляции данных сосудов мозга; во-вторых, проект по нейрореабилитации Гиперкортекс на основе неинвазивного интерфейса: описание проекта, методика, алгоритм подбора словаря для управления движением, особенности вычислительной нагрузки и способы снизить нагрузку; в-третьих, решение задачи экспоненциального взрыва для одного класса регулярных языков в контексте задач кибербезопасности.

Место проведения:  Большой Власьевский пер., 11, ауд. 310, 17:30.

Я расскажу о маломерных образующих SU-бордизмов с действием тора, образующих в с_1-сферических бордизмах и их связи с родом Кричевера.

Место проведения:  Покровский бульвар,  д.11, стр. 6, ауд. D-501, 12:00.

Доклад посвящен ключевым понятиям и конструкциям теории n-значных  групп. В центре внимания будут фундаментальные результаты математики, которые получили новое развитие в рамках в этой теории. Мы обсудим приложения в нескольких направлениях исследований и актуальные нерешенные задачи.

Место проведения:  Большой Власьевский пер., 11, ауд. 310, 17:30.

Классическая теорема Кадеишвили утверждает существование структуры A_∞-алгебры на когомологиях H(A) DG-алгебры A такой, что A становится A_∞-квазиизоморфной H(A) с этой структурой. Так как в мульпликативных спектральных последовательностях при переходе от одного листа к последующему берутся когомологии DG-алгебр, возникает естественный вопрос о взаимосвязи спектральных последовательностей с высшими гомотопическими структурами. В литературе эта проблема получила относительно скромное внимание. Первая конструкция подобного рода была рассмотрена С. В. Лапиным, однако он не дал никакого строгого определения A_∞-обогащений. Оно позднее было разработано в работе E.  Herscovich, " A_∞-algebras, spectral sequences and exact couples" на основе биградуированных деформаций A_∞-алгебр. В докладе будет дан обзор этой работы. В качестве основного примера  A_∞-обогащений, как показал Herscovich, выступают последовательности, ассоциированные с фильтрованными A_∞-алгебрами.

Место проведения:  Большой Власьевский пер., 11, ауд. 310, 17:30 (совместно с лабораторией алгебраической топологии и ее приложений ФКН ВШЭ продолжает работу в НМУ).

В докладе мы обсудим модули устойчивости (persistence modules), происходящие из двойных гомологий и их свойства стабильности.

На биградуированных когомологиях момент-угол-комплекса Z_K  имеется структура коцепного комплекса CH*(Z_K), получаемая введением нового дифференциала d' в разложении Хохстера Tor-алгебры кольца граней симплициального комплекса K. Когомологии комплекса CH*(Z_K) называются двойными когомологиями, HH*(Z_K). Их можно отождествить со вторыми двойными когомологиями бикомплекса, получаемого введением второго дифферениала d' в комплекс Косюля кольца граней K.

Двойные гомологии HH*(Z_K) также представляют интерес с точки зрения устойчивых гомологий и других модулей устойчивости (persistence modules) в топологическом анализе данных. Двойные устойчивые гомологии и соответствующие им биградуированные бар-коды обладают свойством устойчивости отностительно метрики Громова-Хаусдорффа и метрики Вассерштейна на бар-кодах, в отличие от обычных биградуированных устойчивых гомологий момент-угол-комплексов.

Место проведения:  Покровский бульвар,  д.11, стр. 6, ауд. G-303, 15:00.

Доклад посвящен ключевым понятиям и конструкциям теории n-значных  групп. В центре внимания будут фундаментальные результаты математики, которые получили новое развитие в рамках в этой теории. Мы обсудим приложения в нескольких направлениях исследований и актуальные нерешенные задачи.

Место проведения:  Большой Власьевский пер., 11, ауд. 310, 17:30 (совместно с лабораторией алгебраической топологии и ее приложений ФКН ВШЭ продолжает работу в НМУ).

На биградуированных когомологиях момент-угол-комплекса Z_K  имеется структура коцепного комплекса CH*(Z_K), получаемая введением нового дифференциала d' в разложении Хохстера Tor-алгебры кольца граней симплициального комплекса K. Когомологии комплекса CH*(Z_K) называются двойными когомологиями, HH*(Z_K). Их можно отождествить со вторыми двойными когомологиями бикомплекса, получаемого введением второго дифферениала d' в комплекс Косюля кольца граней K.

Двойные гомологии HH*(Z_K) также представляют интерес с точки зрения устойчивых гомологий и других модулей устойчивости (persistence modules) в топологическом анализе данных. Двойные устойчивые гомологии и соответствующие им биградуированные бар-коды обладают свойством стабильности отностительно метрики Громова-Хаусдорффа и метрики Вассерштейна на бар-кодах, в отличие от обычных биградуированных устойчивых гомологий момент-угол-комплексов. Об этом пойдёт речь во второй части доклада.

Место проведения:  Большой Власьевский пер., 11, ауд. 310, 17:30 (совместно с лабораторией алгебраической топологии и ее приложений ФКН ВШЭ продолжает работу в НМУ).

Доклад посвящен многообразиям, получаемым из склейки идеальных прямоугольных многогранников. Такие многообразия оказываются тесно связанными с вещественными момент-угол комплексами. В качестве базового примера рассматривается универсальное абелево накрытие над идеальным октаэдром. Для этого нам понадобится многообразие, склеенное из 4 октаэдров при помощи шахматной раскраски.  Также будет дано описание дифференциальной градуированной алгебры коцепей и кольца когомологий для вещественного момент-угол комплекса, полученное  Li Cai.

The problem of deciding if a given triangulation of a sphere is realizable as the boundary sphere of a simplicial, convex polytope is known as the “Simplicial Steinitz problem”. This is an example of a problem of geometric combinatorics which links together areas of mathematics as distant as toric topology, combinatorial optimization,  convex polytopes, algebraic geometry, topological combinatorics, discrete and computational geometry, etc. It is known (by indirect and non-constructive arguments) that a vast majority of triangulated spheres are “non-polytopal”, in the sense that they are not combinatorially isomorphic to the boundary of a convex polytope. This holds, in particular, for Bier spheres Bier(K) (named after Thomas Bier), the (n-2)-dimensional, combinatorial spheres on 2n-vertices, constructed with the aid of simplicial complexes  K on  n  vertices. Emphasizing connections with polyhedral products and toric topology, we review  "hidden geometry” of Bier spheres by describing their natural geometric realizations, compute their volume, describe an effective criterion for their “strong polytopality”, and associate to Bier(K) a natural coarsening Fan(K) of the Braid fan.  We also establish a connection of Bier spheres of maximal volume with recent generalizations of the classical Van Kampen-Flores theorem and clarify the role of Bier spheres in the theory of generalized permutohedra.

В докладе будут представлены математические и инженерные особенности разработки интеллектуальных устройств в медицине. Представлены аспекты ИИ, другие алгоритмы машинного обучения, математическое моделирование для разработки устройств. В докладе будет дана практическая иллюстрация применения методов в виде разработок докладчицы — интеллектуального роботизированного устройства для эндоваскулярной нейрохирургии и нейроинтерфейса для адаптации людей с ограниченными возможностями.

Случайный граф в биномиальной модели G(n,p) (случайный граф в модели Эрдеша--Реньи) начиная с конца 50-х годов прошлого века является одним из основных объектов изучения вероятностной комбинаторики. И одним из первых вопросов, поставленных П. Эрдешем был вопрос об асимптотическом поведении хроматического числа случайного графа G(n,p). В 1991 году Т. Лучаком было доказано, что при не слишком быстро растущем произведении np хроматическое число случайного графа сконцентрировано в двух соседних значениях, которые, однако, были неизвестны. Мы представим свои последние результаты, в которых эти значения были найдены для почти всех функций p=p(n) вплоть до o(n^{-3/4}).

This is joint work with Xin Fu (Ajou University) and Jongbaek Song (KIAS).

Toric orbifolds are fundamental objects in toric topology, but the ring structures of their cohomologies are largely unknown. Even though the cohomology of a toric orbifold can be identified with the quotient ring of a subring of the Stanley-Reisner ring if it is concentrated in even degrees, it is difficult to compute the cup products and put it into practice.

In this project we focused on 4-dimensional toric orbifolds $X$ that satisfy a local smoothness condition, and computed their cohomology rings. In particular, we used topological methods to construct an additive basis of $H^*(X)$, called the cellular basis, that exhibits certain nice properties. Combining it with the algebraic model of $H^*(X)$ we derived a formula for calculating the cup products of the basis elements in terms of characteristic vectors.

Рассмотрим многоугольник $\Gamma$. Из точки $p$ на плоскости проведем касательную (т.е. опорную прямую) к $M$ и отразим $p$ относительно точки касания. Такое преобразование называется {\it преобразованием внешнего биллиарда}. При последовательном применении такой операции, точка может оказаться {\it периодической} (т.е. вернуться в какой-то момент в себя), {\it апериодической} (никогда не вернуться в себя), а также {\it вырожденной} (внешний биллиард можно применить конечное число раз). 

Особое место занимает случай, когда $\Gamma$ есть правильный $n$-угольник. В случаях $n=3,4,6$ ситуация проста (апериодических траекторий нет); также ситуация была исследована для случая $n=5$ и, частично, $n=10$ (апериодическая точка есть, но периодические точки образуют множество полной меры). Автором были получены результаты для случаев $n=8,12,10$. Р.Шварц, основываясь на компьютерных экспериментах, высказал предположение, что только для случаев $n=5,10,8,12$, по-видимому, есть точное самоподобие, которое позволяет полностью описать периодические структуры и найти апериодические точки. Шварц проводил эксперименты для случая $n=7$, и самоподобие найти не удалось.

Тем не менее, более глубокий компьютерный анализ дал возможность установить, что в случае $n=7$ самоподобие все-таки существует. С его помощью, легко показать существование апериодической точки. Более того, оказывается, что существует континуально большое множество различных замыканий апериодических орбит - явление, не имеющее места в ранее исследованных случаях.

В докладе пойдет речь о компьютерном доказательстве существования самоподобия и, как следствие, апериодической точки, а также о том, каковы могут быть дальнейшие шаги в изучении как случая n=7, так и других случаев.

Рассмотрим алгебраическую операду P, заданную конечным набором соотношений (тождеств). Если соотношения близки к мономиальным (т.е. имеющим вид «длинная композиция операций равна нулю») или составляют  базис Гребнера, вопрос о построении базиса операды и вычисления размерности ее компонент сводится к перечислению планарных деревьев, избегающих определенных шаблонов -- поддеревьев из фиксированного набора. Производящие функции размерностей компонент P(n) таких операд оказываются при определенных условиях (а именно, для несимметрических операд) алгебраическими и даже рациональными. В этом случае деревья перечисляются интересными классами формальных языков. Более сложные (дифференциально алгебраические) производящие функции возникают в более общем случае симметрических операд.  Мы обсудим полученные результаты и открытые вопросы, связанные как с алгеброй, так и с перечислительной комбинаторикой деревьев. 

В докладе будут использованы совместные результаты с А. Хорошкиным и А. Черкасовым.

Location: room G 410, Pokrovsky Boulevard, 11

The classical Heawood inequality states that if the complete graph $K_n$ on $n$ vertices is embeddable in the sphere with $g$ handles, then g≥(n-3)(n-4)/12. A higher-dimensional analogue of the Heawood inequality is the Kühnel conjecture. In a simplified form it states that "for every integer $k>0$ there is $c_k>0$ such that if the union of $k$-faces of $n$-simplex embeds into the connected sum of $g$ copies of the Cartesian product $S^k\times S^k$ of two $k$-dimensional spheres, then $g ≥ c_k n^{k+1}$". For $k>1$ only linear estimates were known. We present a quadratic estimate $g ≥ c_k n^2$. The proof is based on beautiful and fruitful interplay between geometric topology, combinatorics and linear algebra.

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. Т905

В работе [1] Гийомина, Сабатини и Зары с использованием GKM-теоремы описан модуль граф-эквивариантных когомологий над H*(B) для любого GKM-расслоения E -> B. Этот результат даёт комбинаторное доказательство эквивариантной теоремы Лере-Хирша с рациональными коэффициентами в частном случае, когда GKM-расслоение соответствует проективизации комплексного топологического T-расслоения с условием GKM, где T есть компактный тор.

Структура H*(B)-алгебры с целыми коэффициентами и формула типа Бореля-Хирцебруха для проективизации графа с некомпактными ребрами (graph with legs) при выполнении GKM-условия были получены в недавней работе [2] докладчика совместно с С.Куроки (arXiv:2207.11380). Эти результаты обобщают результаты из работы [1] в случае проективных GKM-расслоений.

В докладе будет рассказано о необходимых определениях и доказательстве теоремы типа Бореля-Хирцебруха из работы [2].

Link to Zoom

After Curl, Kroto and Smalley were awarded 1996 the Nobel Prize in chemistry, fullerenes have been subject of much research. One part of that research is the prediction of a fullerene's stability using topological descriptors. It was mainly done by considering the distribution of the twelve pentagonal facets on its surface. With regard to real-world applications, calculations mostly were performed on all isomers of $C_{40}, C_{60}$ and $C_{80}$. We extend this range, and analyse the spectra of $C_n$ for all feasible $n\leq 150$, and the limit case when $n$ goes to infinity. We suggest a novel method for the classification of combinatorial fullerene isomers using spectral graph theory. The classification presupposes an invariant scheme for the facets based on the Schlegel diagram. The main idea is to find clusters of isomers by constructing a graph invariant using the eigenvalues of matrices representing fullerene graphs. This invariant leads to a linear order within the set of all fullerenes.

Вопрос: для каких типов разреженных симметричных матриц существует алгоритм асимптотической диагонализации? 

В поисках ответа мы прошли долгий и увлекательный путь через каскады Морса-Смейла, градиентную оптимизацию на многообразиях, торическую топологию, спектральные последовательности гомотопических копределов, графы безразличия, матроиды, ядра конечных топологий и пучки модулей. 

В процессе мы поняли, как использовать геометрические решетки в качестве локальной комбинаторной модели торических действий, придумали многомерное обобщение графов Кэли и Шрайера, и поняли, как использовать пространства состояний обобщенных пятнашек на графах для описания комбинаторики многих многообразий, включая грассманианы. 

Вопрос о диагонализующем алгоритме в итоге свелся к вычислению гомологий симплициальных комплексов с миллионами симплексов и когомологий пучков на частично упорядоченных множествах. Необходимый для доказательства минимум был посчитан на лабораторной станции, но есть планы масштабировать вычисления до суперкомпьютера Вышки. 

Какой же ответ на вопрос из начала аннотации? Вы узнаете на докладе. Хотя, вообще говоря, ответ довольно предсказуемый. Но это именно тот случай, когда путь важнее цели. Путь пройден не до конца: связь топологической сложности многообразий с действием тора и алгоритмической сложности задачи диагонализации можно развивать во многих направлениях, как вычислительных, так и теоретических, и об этом тоже будет рассказано.

Доклад по результатам работ с В.Бухштабером, М.Масудой, Г.Соломадиным, К.Сорокиным и В.Черепановым.

Artificial intelligence (AI) based molecular data analysis has begun to gain momentum due to the great advancement in experimental data, computational power and learning models. However, a major issue that remains for all AI-based learning models is the efficient molecular representations and featurization. Here we propose advanced mathematics based molecular representations and featurization (or feature engineering). Molecular structures and their interactions are represented as various simplicial complexes (Rips complex, Neighborhood complex, Dowker complex, and Hom-complex), hypergraphs, and Tor-algebra-based models. Molecular descriptors are systematically generated from various persistent invariants, including persistent homology, persistent Ricci curvature, persistent spectral, and persistent Tor-algebra. These features are combined with machine learning and deep learning models, including random forest, CNN, RNN, Transformer, BERT, and others. They have demonstrated great advantage over traditional models in drug design, material informatics and chemical informatics.

A challenge in computational topology is to deal with large filtered geometric complexes built from point cloud data such as Vietoris-Rips filtrations. This has led to the development of schemes for parallel computation and compression which restrict simplices to lie in open sets in a cover of the data. We extend the method of acyclic carriers to the setting of persistent homology to give interleavings between the persistent homology of Vietoris-Rips filtrations restricted to covers and the full construction. We show how these filtrations can be used to study data over a base space and use our results to guide the selection of covers of data.

The configuration of points in the Euclidean space has long been a research topic in geometry and topology, sometimes in relation to the analysis of mechanical linkages. In this talk, we consider the configuration of lines in the Euclidean space, which provides a model for a certain type of mechanical linkage. The linkage is also popular as an origami toy and called Kaleidocycle. We see how geometry and topology help to analyse Kaleidocycles; in particular, we construct

- a rare example of a single degree-of-freedom underconstrained linkage, which we have named the Moebius Kaleidocycle

- a motion of a Kaleidocycle governed by some integrable systems, and show it preserves a discretised total elastic energy.

We will discuss a wide range of open problems.

A polyomino is a collection of squares of equal size arranged with coincident sides. Firstly introduced by Martin Gardner in 50's they quickly attracted wide interest beside recreational mathematics. We assign a simplicial complex to the problem of regular tiling of a finite region in a square by polyominoes from a given finite set of shapes. It turns out that both combinatorics and topology of these complexes are interesting. Particularly we showed that in some cases they have homotopy type of the wedge of spheres. F vectors of the complexes reveal us some information on partial tilings.

In this talk I'll introduce the path homology theory of digraphs and present Künneth-like formulas for homology groups of joins of digraphs.

In this talk, I will introduce a result on Wasserstein stability for persistence. Wasserstein or optimal transport distances have been used in applications of topological data analysis for some amount of time but have been missing a stability proof.  I will present an elementary proof in the case of finite complexes, which also provides a simple proof of bottleneck stability, followed by a discussion of applications and generalizations. In particular, I will discuss the algebraic version of stability as well as discuss open questions. This is joint work with Katharine Turner.

В докладе будет рассмотрена статистика броуновских мостов на графах двух классов: деревья ж и "супердеревьях" (деревьях, у которых валентность линейно растет с удалением от корня). Супердеревья, известные также под названием "факториальные деревья", появляются как среднеполевая модель в представлении Эдельмана-Думитриу ансамблей случайных матриц. Будет показано, что в зависимости от соотношения длины броуновского моста и числа поколений дерева, есть фазовый переход в поведении флуктуации - от обычной гауссовой статистики к статистике КПЗ (Кардара-Паризи-Занга).

Topological Data Analysis (TDA) is an emergent field that aims to discover topological information hidden in a dataset. TDA tools have been commonly used to create filters and topological descriptors to improve Machine Learning (ML) methods. We propose an algorithm that applies TDA directly to multi-class classification problems, without any further ML stage, showing advantages for imbalanced datasets. The proposed algorithm builds a filtered simplicial complex on the dataset. Persistent Homology (PH) is applied to guide the selection of a sub-complex where unlabeled points obtain the label with the majority of votes from labeled neighboring points. We select 8 datasets with different dimensions, degrees of class overlap, and imbalanced samples per class. On average, the proposed TDABC method was better than KNN and weighted-KNN. It behaves competitively with Local SVM and Random Forest baseline classifiers in balanced datasets, and it outperforms all baseline methods classifying entangled and minority classes.

A cellular automaton constructed by Bak, Tang, and Wiesenfeld (BTW) in 1987 to explain the 1/f noise was recognized by the community for the theoretical foundations of self-organized criticality (SOC). Their conceptual work gave rise to various scientific areas in statistical physics, mathematics, and applied fields. The BTW core principles are based on steady slow loading and an instant huge stress-release. Advanced models, extensively developed far beyond the foundations for 34 years to successfully explain SOC in real-life processes, still failed to generate truncated 1/x probability distributions. This is done here through returning to the original BTW model and establishing its larger potential than the state-of-the-art expects. We establish that clustering of the events in space and time together with the core principles revealed by BTW lead to approximately 1/x power-law in the size-frequency distribution of model events.

В своем докладе Константин кратко опишет необходимую теорию для понимания, как ведут себя эллиптические над конечными полями и полем рациональных чисел, что такое комплексное умножение и кондуктор. Будет рассказано о дзета-функции на кривой и как она применима в задачах предсказания свойств кривой при помощи алгоритмов машинного обучения.

Применение вычислительных алгоритмов к определению свойств алгебраичских кривых - важная в приложениях проблема. Одним из них является является наличие определённого комплексного умножения на эллиптических кривых. В докладе будет освещено, как при помощи конечного числа членов разложения соответствующей кривой модулярной формы в ряд Фурье, можно предсказать с высокой точностью наличие или отсутствие комплексного умножения. Будут описаны несколько методов классификации и их эффективность в приложении к этой задаче.

В гиппокампе млекопитающего есть множество различно специализированных нейронов. В частности, на основании данных, полученных однофотонным минископом при изучении активности в отделе гиппокампа CA1, ранее были отобразны кандидаты в нейроны места. Наша цель по этим же данным отобрать кандидатов в нейроны поворота головы и сравнить пересечение множеств специаоизированных нейронов. Для реализации этого был разработан алгоритм, позволяющий определять поворот головы мыши.

В работе построены кривые Бетти для графа коннектома и случайного графа того же размера для гомологий симплициальных комплексов размерности 0,1 и 2, и для гомологий путей размерности 0 и 1. Также случайный граф и граф структурного коннектома сравниваются с помощью модели песчаных куч - динамической модели, где каждая вершина графа может накапливать некоторое количество песчинок, а ребра графа - переносить их от вершины к вершине в случае обвала песчаной кучи.

Statistical and mechanistic models are crucial in studying dynamic neurobiological processes. Often these models can be translated into (possibly directed) graphs, and being able to efficiently perform statistical learning on sets of these graphs may be of crucial interest to clinicians and researchers alike. While network science approaches have been immensely useful in this regard, we expect that novel methodologies will provide answers to inference and prediction problems beyond those that have been introduced in the literature. To this end, we develop a framework that associates generalized metric space structures to graphs, and further embeds these structures in a global pseudometric space equipped with rich theoretical and practical properties. As an application, we show how to incorporate path homology--an algebro-topological descriptor of directed graphs--into a persistence framework that inherits stability and convergence properties from this pseudometric. We conclude by describing how this pseudometric further admits geometry-aware, practically-computable relaxations via the theory of optimal transport.

It is well-known that the simple random walk on a graph is closely related to the normalized Laplace operator, and that this connection yields interesting applications to data analysis - PageRank type methods, for instance. I will explain a way to define a random walk on simplicial complexes that relates to the higher order (aka Hodge) Laplacians in a similar — albeit somewhat more complicated — manner. This, in turn, can be used to devise methods to analyze data that is naturally represented as a simplicial complex.

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. R 505, 18:10.

Основной предмет изучения в общей теории относительности, как и во многих других областях науки - геометрия (псевдо)римановых пространств, задаваемая метрикой. Для того чтобы лучше представить и понять свойства того или иного пространства, зачастую бывает полезно нарисовать поверхность в каком-либо объемлющем пространстве, обладающую такой метрикой - иными словами, построить изометрическое вложение. Однако поиск явного вида таких поверхностей оказывается очень нетривиальной задачей. К счастью, задача сильно упрощается, если изучаемое (псевдо)риманово пространство обладает достаточно богатой симметрией (что и реализуется во многих интересных случаях). Я расскажу о методе поиска поверхностей с заданной метрикой, основанном на теоретико-групповом анализе симметрий этой метрики, разберу пару примеров использования этого метода в задачах теории гравитации и опишу его возможные обобщения.

11 Pokrovsky Bulvar, Pokrovka Complex, room R 408, 18:10

We present a short well-structured exposition of the 2019 Patak-Tancer higher-dimensional generalization of the Heawood inequality for embeddings of graphs into surfaces. This exposition clarifies the relation of the Patak-Tancer proof to earlier known results. This exposition is accessible to non-specialists in the field.

A simplified version of the Patak-Tancer result is as follows.

Theorem. If the union of k-dimensional faces of the n-dimensional simplex PL embeds into the connected sum of g copies of the Cartesian product S^k \times S^k of two k-dimensional spheres, then g is at least (n-2k-1)/(k+2).

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. R 408, 18:10.

Для произвольного множества мы вводим понятие комплекса путей, которое является естественным обобщением понятия симплициального комплекса. Путь на множестве задается последовательностью точек этого множества, а комплекс путей является набором путей, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Затем мы определяем гомологии комплекса путей так, что симплициальные гомологии являются гомологиями путей.

Любой ориентированный граф естественно задает комплекс путей, в котором допустимые пути идут вдоль ориентированных ребер, что приводит нас к теории гомологий орграфов. Гомологии орграфов удовлетворяют свойствам аналогичным аксиомам Стинрода --- Эйленберга и ведут себя "правильно" по отношению к различным топологическим конструкциям. В частности, группы гомологий путей функториальны и гомотопически инвариантны.

Мы также обсудим другие теории гомологий на категории орграфов и представим несколько нетривиальных примеров и нерешенных задач.

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. R 408, 18:30.

Функция Морса f на многообразии М называется строгой, если все её критические значения попарно различны. Несколько более общо рассматривается фильтрованное топологическое пространство, у которого соседние члены отличаются, с точностью до гомотопической эквивалентности, на приклейку клетки. Фильтрация подуровней для строгой функции Морса обладает этим свойством. Для фиксированного поля коэффициентов F определено разложение Баранникова - каноническое спаривание некоторых критических точек функции f, имеющих соседние индексы. Это разложение в случае произвольных фильтраций известно в топологическом анализе данных как диаграмма устойчивости.

Михаил расскажет о новой конструкции, которая сопоставляет каждой паре Баранникова (то есть по сути полоске в баркоде) число (т.е. элемент поля F), определённое с точностью до знака. Оказывается, что если гомологии многообразия М над F такие же, как у сферы, то произведение всех чисел не зависит от f. Далее будут рассмотрены гомологии со скрученными коэффициентами - объект, позволяющий, в частности, определить кручение Райдемайстера многообразия.

Наконец, будет вкратце рассказано о связи теории Баранникова и теории кручений: имеется способ определить скрученное разложение Баранникова и доказать, что произведение всех чисел на диаграмме совпадает с кручением Райдемайстера. В частности, произведение не зависит от функции f.

Пререквизитов нет; доклад основан на совместной работе с доцентом факультета математики ВШЭ Петром Евгеньевичем Пушкарём.

Место проведения: Покровский бульвар, 11, ауд. R 611, 18:10

Пространство толерантности X_R - это множество X с фиксированным рефлексивным симметричным бинарным отношением на нем; мы пишем xRy если x,y\in X находятся в этом отношении. Толерантность формализует идею похожести, или близости, или приближенного равенства. Основные примеры: метрическое пространство с M_R с отношением
xRy <=> d(x,y) < \epsilon,
где \epsilon - фиксированное ("малое") число, и топологическое пространство T_\omega с отношением
x\omega y <=> существует U\in\Omega, x,y\in U,
где \Omega - фиксированное ("мелкое") покрытие пространства T.

Идея толерантности принадлежит Пуанкаре [1905], но формальное определение независимо придумал Зиман [1966]; он же ввел (по мнению докладчика очень неудачный) термин "tolerance space".

В докладе Алексей Брониславович расскажет про:
1) историю, идеологию и актуальность вопроса;
2) технику работы в категории пространств толерантности;
3) теорию гомологий пространств толерантности;
4) гомотопии пространств толерантности;
5) почти решения уравнений;
6) толеоморфизм и принцип трех каналов (если позволит время).

В размерности большей 2 теория разветвленных накрытий многообразий родилась с классической работы Александера 1920 года, в которой доказывалось существование кусочно-линейного разветвленного накрытия произвольного ориентируемого PL многообразия над сферой той же размерности. Однако, для многообразий размерности n в очень естественной и явной конструкции Александера степень данного разветвленного накрытия всегда больше n!. Возник вопрос, можно ли и насколько можно понизить эту степень d(n) для всех многообразий данной размерности n.

В случае n=2, гиперэллиптические поверхности дают тривиальный ответ d(2)=2. Знаменитая теорема, доказанная в 1974 году независимо Хилденом, Хиршем и Монтезиносом, утверждает d(3)=3. В 1995 году Пиергаллини доказал, что d(4)=4. Для n>=5 даже для n-мерного тора T^n до сих пор не построено его разветвленное накрытие над сферой степени d=n. Нижняя оценка d(n)>=n следует из замечательной теоремы Берстейна-Эдмондса 1978 года, утверждающей что для любого разветвленного накрытия ориентируемых многообразий f:X^n --> Y^n выполнено deg(f)>= L(X)/L(Y), здесь L(Z) --- это рациональная когомологическая длина пространства Z.

В докладе Дмитрий расскажет о своей недавней конструкции, которая в частном случае дает явное алгебраическое разветвленное накрытие произвольного прямого произведения сфер S^{m_1}xS^{m_2}x...xS^{m_k} над m-сферой, m=m_1+...+m_k, степени 2^{k-1}. Также будет рассказано о малоизвестной конструкции Арнольда (1997 год или даже раньше) алгебраического разветвленного накрытия CP^n над S^{2n} степени 2^{n-1}.

Помимо этих явных конструкций будет рассказано о некоторых отрицательных результатах, но для более узкого класса разветвленных накрытий, а именно тех, которые возникают как проекции на факторпространства несвободных действий конечных групп на многообразиях при условии, что эти факторпространства являются топологическими многообразиями.

Комплекс турниров ориентированного графа был введен в работе D.Govc, R.Levi и J.Smith как комбинаторный объект, отражающий каузальную структуру связей мозга. Легко показать, что структура этого комплекса не зависит от ориентации ребер графа, а зависит лишь от количества ребер между каждой парой вершин. Таким образом, можно забыть про направления ребер, и обобщить понятие флагового комплекса на графы с кратными ребрами - мультиграфы.

В докладе будет рассказано, как находить гомотопический тип флагового комплекса мультиграфа, будут сформулированы обобщения и открытые вопросы на эту тему. Доклад основан на совместной работе с А.Айзенбергом.

Английский математик Зиман (Zeeman E.C. The topology of brain and visual perception, in The Topology of 3-Manifolds, M.K. Fort(ed): 240-256.), изучая работу зрительного анализатора, предложил наиболее общую математическую модель понятия схожести. Идея Зимана заключалась в том, что при максимально абстрактном и широком подходе отношение схожести объектов должно удовлетворять лишь двум свойствам: оно должно быть рефлексивным и симметричным. Такие бинарные отношения Зиман назвал отношениями толерантности. А пару, состоящую из множества и заданного на этом множестве отношения толерантности, Зиман определил как толерантное пространство (или пространство толерантности).
Всестороннее обсуждение и исследование проблемы дискретизации, т.е. способа, как переходить от непрерывных континуальных структур к их дискретному описанию, имеется в очень важной работе Зимана и Бьюнемана (Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг. в сб. На пути к теоретической биологии. - М. : мир, 1970). Статья Зимана и Бьюнемана привлекла внимание многих математиков, интересующихся моделированием работы мозга и других сложных систем, так как она содержала целый ряд принципиальных программных идей. В докладе будет рассказано, какой алгебро-топологический аппарат удается определить для толерантных пространств. Доклад будет посвящен изложению теории толерантной гомотопии и толерантных гомологий. Основные темы: толерантные гомологии, толерантная гомотопия, проблемы дискретизации, толерантные накрытия, толерантные расслоения и высшие гомотопические группы, спектральные последовательности, толерантные теоремы Гуревича.

Шапочкой радиуса \alpha на единичной сфере S называется множество точек, которые находятся на сферическом расстоянии не более \alpha от некоторой фиксированной точки сферы. Набор K шапочек называется неразделимым, если не существует гиперплоскости, проходящей через центр сферы, которая  не пересекала бы ни одну из шапочек и при этом разделяла бы множество шапочек на два непустых множества. Мы доказали, что если дан неразделимый набор шапочек с суммой радиусов равной \beta < π/2, то этот набор можно покрыть одной шапочкой радиуса \beta.

Это утверждение является сферическим аналогом так называемой теоремы Гудмана-Гудмана о покрытии кругов кругом, а также усилением гипотезы Фейеш Тота, доказанной докладчиком в совместной работе с Цзяном.

Топологические автокодировщики TopoAE – это архитектура автокодировщиков (семейства генеративных моделей машинного обучения), относительно недавно предложенная М. Муром и другими (arxiv.org/abs/1906.00722), успешно сохраняющая некоторые топологические характеристики выучиваемых данных. Такое сохранение топологии достигается введением штрафа за отличие устойчивых гомологий входных данных от их образа в латентном пространстве автокодировщика (на выходе кодировщика). Мы ознакомимся с результатами авторов на некоторых датасетах, а также обсудим некоторые ограничения этого подхода. Предварительного знания устройства автокодировщиков или устойчивых гомологий не потребуется, доклад подразумевает напоминание основных понятий.

Доклад планируется как неформальное введение в гомологическую теорию групп с симплициальным уклоном. Мы обсудим различные подходы к понятию гомологий группы в топологическом и алгебраическом аспекте, связанные конструкции и задачи. Увидим, как с помощью языка симплициальной теории гомотопий показать эквивалентность этих подходов. В заключение попробуем понять, можно ли изложенную идеологию перенести на другие категории алгебраических объектов.

Будет рассмотрена задача сегментации глиобластом на МРТ изображениях головного мозга. Современные методы компьютерного зрения эффективно решают различные задачи анализа данных медицинской визуализации. Однако в задаче сегментации глиобластом возникает так называемая проблема Domain shift, когда снимки полученные с различных томографов обладают различными характеристиками (размеры вокселей, распределение яркостей). Задача дополнительно осложняется  “шумом” в разметке, источником которого являются изменяющихся протоколы лечения и несогласованность экспертов-разметчиков. Один из возможных подходов к решению этой проблемы - использование какого-то геометрического праера (как на форму, так и на расположение опухоли). Предлагается обсудить, как в  зависимости от дефектов сегментации такой праер может быть основан на устойчивых гомологиях (persistent homology) и/или на геометрических модходах (geometric deep learning).

Рассмотрим симплекс, заданный системой вида A x <= b, где A и b - есть целочисленные матрица и вектор. Симплекс называется k-модулярным если абсолютная величина ранговых миноров матрицы A ограничена числом k. На докладе будет показано, что задача подсчета целых точек внутри k-модулярных симплексов разрешима за полиномиальное время, если фиксировать k. Также в докладе будут рассмотрены возможные обобщения этого факта и различные частные случаи, допускающие более эффективные алгоритмы решения.

A dynamical system of points moving along the edges of a metric graph is a discrete dynamical system. For the set of such systems that can be constructed from a given set of commensurable edges with fixed lengths, it is shown that there always exists a system consisting of a bead graph with vertex degrees not greater than three that demonstrates the longest stabilization time in such a set.

I am going to talk about algorithms for computing the bottleneck and Wasserstein distances between persistence diagrams (and their implementation in a software package called Hera). Both distances are defined in terms of a graph matching problem (bottleneck matching and min-cost maximum matching, for bottleneck and Wasserstein cases, respectively). Moreover, the graphs in this case are geometric, i.e., the weight of each edge is the distance between the points of two diagrams. It turns out that one can speed up classical combinatorial algorithms for solving these matching problems by using data structures from computational geometry.

(По совместной работе с Дмитрием Андриановым и Виталием Титовым.) В докладе рассматривается проблема автоматического совмещения пространственных объектов на разномасштабных картах одной и той же местности. Для решения поставленной задачи предлагается использовать методы топологического анализа данных. Исходными данными алгоритма являются пространственные объекты, которые могут быть получены с карт разных масштабов и подвержены искажениям. Персистентная гомология позволяет идентифицировать общую структуру таких объектов в виде топологических особенностей. Основными топологическими особенностями в исследовании являются компоненты связности и пустоты объектов. Разработан алгоритм сравнения баркодов пространственных данных, который позволяет найти общую структуру объектов. Алгоритм базируется на анализе данных из баркода. Показаны результаты исследований работы алгоритма. Проведенные эксперименты подтвердили высокое качество предложенного алгоритма. Отражены преимущества предложенного подхода с аналогами при совмещении объектов, которые подвержены значительной деформации при масштабировании, а также при искажениях. Также рассматривается применение поставленной задачи для поиска объектов на растровых снимках. В качестве примера показано использование персистентной гомологии для поиска газовых подрывов на космических снимках Арктики.

The increasing use of eye-tracking in modern cognitive and clinical psychology, neuroscience and ophthalmology requires new methods of objective quantitative analysis of complex eye movements data. In their work, the authors use topological data analysis (TDA) to extract a new type of features of eye movements to differentiate between two eye movements groups, obtained upon the presentation of two different stimuli images – a human face, shown straight and rotated for 180 degrees, which corresponds to the processing of the normal and unusual visual information respectively. Experimental evidence shows that the proposed topology-based features have more discriminative power over the generally accepted features of eye movements, allowing to separate provided different stimuli with good accuracy. Moreover, the concatenation of the topology-based and region of interest fixation ratios features further improves the performance of the classification task, showing the complementariness of the proposed topological features to the existing ones. The authors believe that the new class of features is able to serve as a valuable addition for the eye-tracking data-based medical diagnosis of mental and neurological disorders and ophthalmological diseases.

Rational homotopy theory tells us that simply connected spaces, up to rational homotopy equivalence, may be classified algebraically by means of rational cocommutative coalgebras (Quillen) or in the finite type case by rational dg commutative algebras (Sullivan). Goerss and Mandell proved versions of these results for fields of arbitrary characteristic by means of simplicial cocommutative coalgebras and E-infinity algebras, respectively. The algebraic structures in these settings are considered up to quasi-isomorphism.
In this talk, I will describe how to extend these results to spaces with arbitrary fundamental group. The key new observation is that the homotopy cocommutative coalgebraic structure of the chains on a space determines the fundamental group in complete generality. The corresponding algebraic notion of weak equivalence between coalgebras is drawn from Koszul duality. The end goal of this program is to completely understand homotopy types in terms of algebraic “chain level” structure. This is joint work with M. Zeinalian and F. Wierstra.

Мы расскажем о современных подходах к изучению топологии многообразий данных, а также представим нашу работу по построению информативных топологических представлений текстов, основанных на нейросетевых вложениях. Нейросетевая модель BERT позволяет каждому небольшому тексту сопоставить многомерный вектор, отражающий смысл текста. Оказалось, что если вместо него в задачах классификации использовать значительно меньший объем информации, полученной из топологии нейросети в BERT, классификация будет столь же или даже более эффективной. Тут возникает ряд новых задач, которые могут быть интересны аспирантам и студентам.

Покровский бульвар 11, ауд. D211, 18:10

We explain why the problem of extendability of simplicial maps is interesting to computer scientists. In particular, we illustrate the relation to polygonal lines in the plane, to words in finite alphabets, and to realizability of hypergraphs in higher-dimensional space.We present a short proof of the Čadek-Krčál-Matoušek-Vokřínek-Wagner 2013 result from the title (in the following form due to Filakovský-Wagner-Zhechev, 2020).For any fixed integer l>1 there is no algorithm recognizing the extendability of the identity map of the wedge Y of two l-dimensional spheres to a PL map from X to Y for a given 2l-dimensional simplicial complex X containing a subdivision of Y as a given subcomplex.
 In this talk topological concepts are exposed in the way interesting and accessible to non-specialists, in particular, to computer science students.

В данной работе предлагается алгоритм построения циклических заполняющих пространство кривых. Одно из таких построений приводит к семейству пространственных заполняющих кривых для любой размерности (Н-кривые). Они сравниваются с кривыми Гильберта в смысле кластеризующего свойства, и оказывается, что построенные кривые оказываются очень близки или даже немного лучше кривых Гильберта. В то же время, их построение проще, а вычисление существенно быстрее.

Многие знают, что такое оператор Лапласа на пространстве гладких функций, но не все знают, что аналогичный оператор можно определить и на цепном комплексе. Именно такой оператор часто возникает, когда мы хотим понять структуру симплициального комплекса. Например, подсчет чисел Бетти можно свести к вопросу о поиске определенных собственных значений лапласиана. К аналогичному вопросу можно свести и выявление в гомологиях симплициального комплекса порождающих циклов.«Классификация представлений колчанов и представлений с коммутативными ограничениями».

Теория колчанов неожиданным образом проникла в множество разделов математики от теории представлений и матричных задач до теории персистентности. В своем рассказе Никита опишет мотивацию использования колчанов в топологическом анализе данных, представит классические результаты классификации представлений и достаточно новые результаты о классификации с ограничениями. В качестве последних будут рассмотрены колчаны специального типа - так называемые "лесенки".

Базовая задача звучит так: пусть есть случайный вектор xi на евклидовом пространстве V со средним ноль и матрицей ковариацией s (положительно определенная матрица). Мы хотим оценить s по независимой выборке x_1,...,x_d из V. Такая оценка обычно ищется из минимизации некоторой целевой функции. Есть два классических примера:

1) На основе гауссовского распределения.

2) На основе эллиптического распределения.

Самый важный показатель — минимальный размер выборки для существования и единственности минимума. В первом случае — это n, во втором — n + 1.

Обычно в задачах d сильно меньше n и приходится рассматривать дополнительные условия на распределение. Например, xi живет в тензорном произведении V\otimes U (dim V = n и dim U = m), центрирована, а матрица ковариации имеет вид s = p⊗q. В этом случае элементы выборки x_1,...,x_d можно рассматривать как матрицы. Как оказалось, в обоих случаях оценку на размер выборки можно улучшить и граница становится m/n + n/m. Данные оценки уже не улучшаемые.

Сам вопрос о наличии нетривиальной оценки в случае тензорного произведения оставался открытым почти 20 лет. Обзор событий и подробную информацию о задачах, использующих тензорное произведение, можно найти в статье

I. Soloveychik, D. Trushin, Gaussian and robust Kronecker product covariance estimation: Existence and uniqueness, Journal of Multivariate Analysis 149 (2016), 92-113.

В докладе будет рассказано о задаче минимизации и о тех методах, которые пригодились при ее решении. Если позволит время, докладчик расскажет про другие вариации этой задачи с добавлением условия Дыма-Гохберга.

TDA quantifies topological shapes hidden in unorganized data such as clouds of unordered points. In the 0-dimensional case the distance-based persistence is determined by a single-linkage (SL) clustering of a finite set in a metric space. Equivalently, the 0D persistence captures only edge-lengths of a Minimum Spanning Tree (MST). Both SL dendrogram and MST are unstable under perturbations of points. We define the new stable-under-noise mergegram, which outperforms previous isometry invariants on a classification of point clouds by PersLay.

Открытие клеток места, кодирующих воспоминания о пространстве в гиппокампе, стало важным моментом для нейробиологии и породило множество исследований на стыке математики и биологии. Я расскажу о том, как мы обрабатывали данные нейронной активности, как выделяли предполагаемые нейроны места и что получилось при попытке восстановить топологию пространства на основании полученных данных.

Вычислительный оптимальный транспорт — сфера достаточно популярная в приложениях, в частности, к машинному обучению. Я расскажу про подход к задаче о нахождении барицентров Вассерштейна, одной из задач, которая возникает в этой сфере, который связан с привВычислительный оптимальный транспорт и поиск барицентров Вассерштейнаедением задачи к, казалось бы, более сложному классу седловых задач.

Старая задача в алгебраической топологии - описание коэффициентов экспоненты формальной группы комплексных кобордизмов. Имеется гипотеза Бухштабера о явном виде этих коэффициентов. Мы хотим численно проверить (или опровергнуть) эту гипотезу, написав программу для подсчета характеристических чисел торических многообразий, основанную на дифференцировании многочлена объема.

Clique graphs whose edges are oriented are referred to in the combinatorics literature as tournaments. We consider a family of semi-simplicial sets, that we refer to as “tournaplexes", whose simplices are tournaments. In particular, given a directed graph G, we associate with it a “flag tournaplex" which is a tournaplex containing the directed flag complex of G, but also the geometric realisation of cliques that are not directed. We define several types of filtration on tournaplexes, and exploiting persistent homology, we observe that filtered flag tournaplexes provide finer means of distinguishing graph dynamics than the directed flag complex. We then demonstrate the power of those ideas by applying them to graph data arising from the Blue Brain Project’s digital reconstruction of a rat’s neocortex.

In 1996, Michael Freedman, famous for the results in the classification of 4-manifolds, decided to apply its methods in image processing. He and his co-author employed a curious method of altering the matrix of the district wavelet transform, instead of introducing the usual window, to reduce Gibbs (edge) effects. This method is based on a deep theory behind the classification result, specifically, an enhancement of the famous Kirby torus trick. I would like to explain these methods, and their extension by Freedman to quantum computing.

Методы персистентной топологии появились в связи с разработкой инструментария для анализа больших данных. Они направлены на вычисление классических алгебро-топологических инвариантов последовательностей вложенных симплициальных комплексов. В первой части доклада будут представлены результаты об инвариантах торической топологии в этой проблематике. Вторая часть доклада будет посвящена построению характеристик для семейств графов.

Классические и новые характеристики являются функциями на множествах графов и симплициальных комплексов. Для случайных графов и комплексов эти характеристики становятся случайными величинами. В ряде работ по вероятностной топологии рассматривается вероятностное пространство случайных d-мерных симплициальных комплексов. В докладе будет введена новая целочисленная случайная величина на этом пространстве – вещественное число Бухштабера.

Будут рассказаны как результаты вычислений, так и оценки и свойства этой случайной величины.

Назовём свободной деформационной ретракцией строгую деформационную ретракцию, для которой выполнено $f_t f_s = f_\max(t,s)$. Д.Р. Исбелл (Isbell, 1964) показал, что для двумерных компактных полиэдров существование свободной деформационной ретракции на точку эквивалентно сдавливаемости на точку. Конструкция Берштейна-Коэна-Конелли (Berstein, Cohen, Connelly, 1978) показывает, что для полиэдров размерности больше четырёх это неверно: существуют свободно деформационно ретрагируемые на точку несдавливаемые полиэдры. В совместной работе с Сергеем Мелиховым докладчик доказал, что если потребовать от свободной деформационной ретракции кусочно-линейность, то её существование эквивалентно сдавливаемости.

В первой части доклада Алексей напомнит определения сдавливания, приведет примеры и расскажет чем это понятие интересно. Во второй части доклада будет обсуждаться основная часть доказательства эквивалентности кусочно-линейной свободной ретрагируемости и сдавливаемости.

As humans, we like to predict all manner of things, not least of them being our physical health. And while there is much excitement in the world of artificial intelligence about the ever-improving accuracy with which we can predict things, we are often less concerned with domain-specific relevance and utility of the prediction. Simple binary questions such as “does this patient have disease X?” or even “will the patient acquire disease X in Y years?” have proven less interesting to basic researchers and health professionals than “how quickly will the patient’s health deteriorate?”, “when and in what order will future symptoms appear?” and “what are the connections among the observable biomarkers and between biomarkers and symptom onset?”

Disease progression models (DPMs) attempt to answer the more interesting questions. In this talk, we will focus on applications of DPMs to brain imaging and neurodegenerative disease. I will go over some recent imaging-DPM developments from simple Bayesian models describing temporal biomarker order to differential equation models linking brain structure, connectivity and prior neurobiological knowledge to dynamically predict the course of an individual’s neurodegeneration.

Частный случай теоремы Квиллена А (известный как теорема Квиллена-МакКорда) позволяет доказывать гомотопическую эквивалентность частично упорядоченных множеств при определенных условиях. Джонатан Бармак в статье 2000-го года приводит доказательство этой теоремы, использующее интересный объект - цилиндр отображения частично-упорядоченных множеств.
В докладе будет разобрано это доказательство, а также аналогичное доказательство гомологической версии теоремы Квиллена. Требуемые для понимания топологические конструкции будут объяснены в ходе доклада. 
Докладчик также расскажет о приближенной гомологической версии теоремы Квиллена, - гипотетическом обобщении этой теоремы на устойчивые гомологии, и предложит подход к ее доказательству. Подход основан на идеях Бармака и технике спектральных последовательностей. Похожие соображения можно найти в статье Govc, Skraba, An Approximate Nerve Theorem 2017 года, но,кажется, что их можно естественным образом обобщить.

Теорема Квиллена может быть интересна с прикладной точки зрения, поскольку ее можно использовать для понижения размерности данных с сохранением их гомотопического типа. Получить версию этой теоремы для устойчивых гомологий кажется довольно естественной задачей.

Графы-расширители и, в частности Рамануджановы графы, обладают многими экстремальными комбинаторными свойствами (расширение, смешивание, хроматическое число). Эти свойства тесно связаны со спектральными и геометрическими свойствами графов. Многие результаты теории графов-расширителей нашли применения в других областях математики и компьютерных науках. Последние годы идут активные исследования по обобщению теории графов-расширителей в высшие размерности - на гиперграфы и симплициальные комплексы. В своей лекции Константин расскажет о некоторых результатах из этой области: раскрасках и когомологическом расширении, а также об их приложениях в экстремальной комбинаторике и компьютерных науках.

Фильтрованный комплекс над полем F приводится линейными преобразованиями, сохраняющими фильтрацию, к так называемой канонической форме, то есть к канонически определенной прямой сумме фильтрованных комплексов двух типов: одномерных фильтрованных комплексов с тривиальным дифференциалом: d(e_{t_i})=0 и двумерных фильтрованных комплексов с тривиальными гомологиями: d(e_{s_j})=e_{r_j}. В докладе будет разобрано доказательство этой теоремы, которое впервые было опубликована в работе докладчика 1994 года “Framed Morse and its invariants“ Adv. in Sov. Math, 21:93-115. В этой работе эти инварианты, называемые канонической формой фильтрованного комплекса, были применены к комплексам Морса, которые вычисляют sublevel гомологии функций. 
Начиная с середины 2000-х годов эти инварианты получили широкое применение в прикладной математике под именем «persistence diagrams» или  «persistence barcodes». Вышеупомянутый результат в прикладной математике обычно называется Persistence homology Main (or Structure, or Principal) Theorem.
Любопытно, что в прикладной математике в наиболее раннем исследовании по этим инвариантам также рассматривались в качестве основного примера фильтрованного комплекса именно комплексы Морса, в частном случае многообразий размерности 2. 
В качестве примеров фильтрованных комплексов часто возникают другие всевозможные комплексы (Чеха, симплициальные, кубические и т.д.) для гомологий топологического пространства, на котором задана вещественная функция. 
Последние годы в качестве функции в приложениях часто берётся функция на евклидовом пространстве, заданная евклидовым расстоянием до облака точек. 
В настоящее время существует более 10 разных софтверных платформ, посвящённых вычислению этих инвариантов. В основе этих платформ лежит алгоритм приведения фильтрованного комплекса к канонической форме, описанный в работе докладчика при доказательстве упомянутой теоремы. 
Кроме доказательства теоремы и алгоритма мы разберём также некоторые их приложения в чистой и прикладной математике. 

В 1978 году Тадао Ода выдвинул гипотезу о сильной факторизации морфизмов торических многообразий:Любое торическое (т.е. эквивариантное) бирациональное отображение между двумя полными гладкими торическими многообразиями X и Y раскладывается в композицию цепочки торических раздутий и цепочки торических стягиваний (операций, обратных к раздутиям).
Комбинаторно полное торическое многообразие описывается полным веером рациональных полиэдральных конусов, а раздутие - подразбиением этого веера. Известно, что любое торическое бирациональное отображение описывается цепочкой таких подразбиений и обратных к ним - это слабая факторизация. Гипотеза Оды же гласит, что можно их упорядочить, произведя сначала все подразбиения, а потом - обратные операции. В частности, для вееров многообразий X и Y существует общее подразбиение, описывающее отображение между многообразиями.
В трёхмерном случае гипотеза сводится к существованию общего подразбиения у любой пары подразбиений треугольника (т.е. двумерного симплекса). В 2009 году в работе Сильвы и Кару (arXiv:0911.4693) был предложен алгоритм, который гипотетически всегда находит общее подразбиение. Мы опишем, как устроены подразбиения треугольника, соответствующие раздутиям трёхмерных торических многообразий, и разберём данный алгоритм.
На практике этот алгоритм можно упростить, и задача поиска наименьшего общего подразбиения вычислительно сложна. Теоретически, общее подразбиение могло бы служить секретом, восстанавливаемым по паре заданных подразбиений. Я предлагаю слушателям обратную задачу: придумать эффективный алгоритм подбора по случайным образом сгенерированному секрету такой пары подразбиений, чтобы секрет являлся их наименьшим общим подразбиением. Подобный алгоритм дал бы одностороннюю функцию, возможно, пригодную для нужд криптографии. 

In the talk we are going to introduce several models of random simplicial complexes and review some of the most known results in stochastic topology. We will emphasize a model of the random complexes inspired by Erdos-Renyi model of the random graph. In this model, the random d-complex Y_d(n,p) is defined as a simplicial complex on the vertex set [n] which contains the complete (d-1)-skeleton of the simplex on n vertices and each possible d-dimensional face appears independently with probability p.
Toric topology studies toric spaces from various point of view. One of the crucial constructions from toric topology is a functorial assignment a topological space with an action of torus to a simplicial complex, known as the polyhedral product functor. The results coming from toric topology open new way for studying various topological and combinatorial features of the random complexes in the context of stochastic topology. We are going to explain some of these ideas and some of recent results in this direction. Particularly, we are going to establish the law of large numbers for the bigraded Betti numbers of Y_d (n, p).
The talk is based on a joint work with Vlada Limic.

В докладе планируется дать краткий обзор математической теории фуллеренов и её связи с торической топологией.
Фуллерен - этот трёхмерный простой выпуклый многогранник, все грани которого являются пятиугольниками и шестиугольниками. Такие многогранники моделируют сферические молекулы углерода, за открытие которых в 1996 году была дана Нобелевская премия по химии.
Одной из основных задач метематической теории фуллеренов является перечисление фуллеренов и структурирование их множества. Из результатов Тёрстона следует, что число фуллеренов с n вершинами растёт как n^9. Известны несколько эффективных методов перечисления фуллеренов. Один из них основывается на операциях роста, переводящих комбинаторый многогранник в другой многогранник с большим числом граней заменой диска на его поверхности другим диском с большим числом граней и такой же комбинаторной окрестностью границы. В докладе будет рассказано, как при помощи таких операций построить любой фуллерен.
Торическая топология сопоставляет каждому простому n-мерному выпуклому многограннику с m гипергранями (m+n)-мерное момент-угол многообразие с действием m-мерого компактного тора T^m, пространство орбит которого совпадает с многогранником. Оказывается, многообразия, отвечающие фуллеренам, являются когомологически жёсткими: если градуированные кольца когомологий момент-угол многообразий двух трёхмерных многогранников, один из которых фуллерен, изоморфны, то многообразия эквивариантно диффеоморфны, а многогранники комбанаторно эквивалентны. Вторая часть доклада будет посвящена этому результату.

Link to Zoom

Представим себе, что r воров украли ожерелье с драгоценными камнями разных сортов и хотят поделить его, во-первых, честно (каждый сорт камней должен быть поделен строго поровну), а во-вторых, без зависти, то есть, с учетом индивидуальных предпочтений воров. Мы обсудим такие вопросы: каково минимальное число разрезов, гарантированно позволяющее такое деление? Можно ли при данном числе разрезов попросить вдобавок честность еще в каком-нибудь смысле?Как ни странно, этот круг задач решается исключительно топологическими методами. Здесь работают степень отображения, обобщение теоремы Борсука-Улама, теорема Брауэра, эквивариантные препятствия (впрочем, до препятствий дело не дойдет).

Гаянэ Юрьевна расскажет и историю задачи (работы N. Alon, D. Gale), и свою недавнюю совместную работу с D. Jojic и  R. Zivaljevic.

Для понимания доклада достаточно знать, что такое действие группы Z_n, симплициальный комплекс, связность.

В докладе будет рассмотрено применение гиперболической геометрии к задачам машинного обучения. Мы обсудим, когда от гиперболического пространства есть польза, когда нет, и как работать с ним в контексте нейронных сетей. Доклад будет охватывать такие задачи, как представления для графов, NLP, работа с изображениями. Будет приведен обзор статей и результатов, отвечающих на вопрос: когда и чем может быть полезна геометрия Лобачевского в машинном обучении.

В докладе обсуждается оптимизация на многообразиях с точки зрения задач глубокого обучения, в частности обучения неевклидовых представлений.

Конкретно, кратко рассматривается Риманов градиентный спуск, обсуждается статья Octavian Ganea и Gary Becigneul, "Adaptive Riemannian Optimization Methods", обобщающая адаптивные схемы оптимизации на случай product manifold.

Задача manifold learning состоит в том, чтобы, имея (достаточно большое) облако точек, сэмплированных с некоторого многообразия (вложенного в объемлющее пространство), восстановить это многообразие. Два самых популярных подхода к этой задаче – персистентные гомологии и анализ лапласианов графов – со своими преимуществами и недостатками, работают в общем случае. Докладчик расскажет про другой, недавний и довольно несложный подход, работающий в частном случае, когда искомое многообразие двумерно: вкратце, нужно приблизить плоскостями окрестности точек-представителей из данного облака и понять, как эти окрестности “склеены” между собой. В последнем нам помогут инструменты теории вложенных (в поверхности) графов, а именно rotation systems – циклические порядки вложений ребер, инцидентных вершине. Максим напомнит классификацию двумерных многообразий, а также геометрический смысл SVD-разложения, потому предварительных знаний не потребуется; и покажет результаты численных экспериментов авторов метода (код есть в открытом доступе).

Стоит отметить, что обобщения данного метода на многообразия более высоких размерностей пока нет – докладчик расскажет, почему этого, кажется, не всегда можно сделать уже для размерности три.

Понятие конфигурационного пространства является одним из ключевых в формализации многих задач робототехники. Простые топологические свойства конфигурационных пространств, такие как линейная связность, компактность, односвязность, играют важную роль в планировании движения роботов. При разработке прикладных алгоритмов важно учитывать такие особенности этой области как большие объемы и плохое качество входных данных, необходимость принимать решения в реальном времени и гарантировать безопасность действий робота для окружающей среды и пользователей.

В этом докладе будут рассмотрены некоторые вычислительные задачи, возникающие в прикладных сценариях: аппроксимация многомерных конфигурационных пространств, восстановление их линейно-связных компонент и кластеризация путей в двумерных пространствах. Также докладчики представят некоторые алгоритмы для решения этих задач, основанные на методах вычислительной геометрии и топологии.

Во второй части доклада будет представлен новый алгоритм, позволяющий аппроксимировать диаграммы Вороного и проводить анализ в триангуляциях Делоне в многомерных пространствах без их полного явного построения. В число возможных приложений этого алгоритма входит вычисление конфигурационных пространств для дальнейшего изучения их топологических свойств.

 В докладе будет введено понятие магнитудной функции метрического пространства на основе работ Т.Лейнстера. Эта функция позволяет определить объем компактного подмножества евклидова пространства, а в случае графов - кодирует нетривиальную комбинаторную информацию. Будут сформулированы основные свойства магнитудных функций и разобраны показательные примеры, объясняющие, какие именно характеристики метрического пространства эти функции позволяют улавливать.

Далее будут определены магнитудные гомологии метрического пространства. Оказывается, что равенство нулю первых магнитудных гомологий является критерием выпуклости компакта в евклидовом пространстве. Определенная с помощью магнитудных гомологий эйлерова характеристика метрического пространства оказывается формально равна магнитудной функции. Таким образом, магнитудные гомологии можно рассматривать как категорификацию магнитудной функции. Если позволит время, разберем общее понятие магнитуды обогащенной категории и обсудим его свойства. 

Рассмотрим граф, в каждой вершине которого находится целое неотрицательное число песчинок. Назовём обвалом следующую операцию: если в некоторой вершине число песчинок больше или равно её степени, переместим из этой вершины по одной песчинке в каждого из её соседей. Если граф конечный и связный, в нём есть стоки (то есть вершины, где попадающий туда песок исчезает), то любая последовательность обвалов приводит к стабильному состоянию системы: то есть к состоянию, где невозможно сделать обвал ни в одной вершине.

Песочную модель определили несколько раз в разных контекстах, но наибольшую известность она приобрела как модель так называемой самоорганизующейся критичности. Мы обсудим базовые свойства песочной модели, а также те вопросы о ней, которые докладчику кажутся наиболее интересными и перспективными.

Метод Mapper был предложен Гуннаром Карлссоном и другими исследователями [Gurjeet Singh, Facundo Mémoli, Gunnar Carlsson, 2007] как способ низкоразмерного представления данных. Идея Mapper-а довольно прямолинейна и отсылает к простым классическим топологическим конструкциям, но, несмотря на это, метод оказался довольно успешным и нашел применение в массе разных интересных приложений. Тем не менее, сами создатели указывают, что Mapper является довольно сподручным (ad-hoc) средством репрезентации данных и не годится как самостоятельный инструмент для понижения размерности. Докладчик планирует рассказать содержание алгоритма, некоторые детали его реализации, продемонстрировав его работу на нескольких датасетах. После этого планируется обсудить как из репрезентаций данных, получаемых Mapper-ом довольно естественно, возникают мультифильтрации на комплексе Вьеториса-Рипса. Оставшееся время будет посвящено рассказу про устойчивые гомологии таких мультифильтраций [Heather Harrington, Nina Otter, Hal Schenk, Ulrike Tillmann, 2019], а также про то, как они могут возникнуть в недавно изобретенной архитектуре топологических автоэнкодеров [Michael Moor, Max Horn, Bastian Rieck, Karsten Borgwardt, 2019]. Хотя пока это лишь идея, есть надежда, что Mapper может найти новое неожиданное применение.