[ONLINE] Семинар МЛ АТиП "Канонические формы = диаграммы персистентности"

24 апреля в 18:10 пройдет семинар Международной лаборатории алгебраической топологии и её приложений факультета компьютерных наук.

Докладчик – Сергей Александрович Баранников, Сколтех, Paris Diderot University

Аннотация.  Фильтрованный комплекс над полем F приводится линейными преобразованиями, сохраняющими фильтрацию, к так называемой канонической форме, то есть к канонически определенной прямой сумме фильтрованных комплексов двух типов: одномерных фильтрованных комплексов с тривиальным дифференциалом: d(e_{t_i})=0 и двумерных фильтрованных комплексов с тривиальными гомологиями: d(e_{s_j})=e_{r_j}. В докладе будет разобрано доказательство этой теоремы, которое впервые было опубликована в работе докладчика 1994 года “Framed Morse and its invariants“ Adv. in Sov. Math, 21:93-115. В этой работе эти инварианты, называемые канонической формой фильтрованного комплекса, были применены к комплексам Морса, которые вычисляют sublevel гомологии функций. 
Начиная с середины 2000-х годов эти инварианты получили широкое применение в прикладной математике под именем «persistence diagrams» или  «persistence barcodes». Вышеупомянутый результат в прикладной математике обычно называется Persistence homology Main (or Structure, or Principal) Theorem.

Любопытно, что в прикладной математике в наиболее раннем исследовании по этим инвариантам также рассматривались в качестве основного примера фильтрованного комплекса именно комплексы Морса, в частном случае многообразий размерности 2. 
В качестве примеров фильтрованных комплексов часто возникают другие всевозможные комплексы (Чеха, симплициальные, кубические и т.д.) для гомологий топологического пространства, на котором задана вещественная функция. 
Последние годы в качестве функции в приложениях часто берётся функция на евклидовом пространстве, заданная евклидовым расстоянием до облака точек. 

В настоящее время существует более 10 разных софтверных платформ, посвящённых вычислению этих инвариантов. В основе этих платформ лежит алгоритм приведения фильтрованного комплекса к канонической форме, описанный в работе докладчика при доказательстве упомянутой теоремы. 

Кроме доказательства теоремы и алгоритма мы разберём также некоторые их приложения в чистой и прикладной математике.