Научная деятельность

Основные направления научной деятельности Базовой кафедры МИАН:

Теория чисел

Теория чисел — один из древнейших разделов математики. За время своего развития теория чисел прошла колоссальный путь от наблюдений над частными свойствами отдельных чисел до создания методов и инструментов, которые позволяют не только вскрыть глубинные связи, лежащие в основе свойств натурального ряда, но и провести глубокие аналогии с другими разделами математики — прежде всего, анализом и алгеброй. Теория чисел никогда не потеряет своей привлекательности хотя бы потому, что постановки некоторых открытых проблем в этой науке понятны даже школьникам старших классов, например: проблема простых близнецов, проблема Эйлера-Гольдбаха.  Другая причина, по которой теория чисел привлекает в свои ряды новых и новых последователей — в несомненной эстетической красоте многих ее теорем.

Основные направления теории чисел, представленные в работах сотрудников кафедры — теория дзета-функции Римана и L-функций автоморфных форм, оценки тригонометрических сумм, аддитивные задачи,  изучение средних значений различных арифметических функций, свойства цепных дробей и дробей Фарея.

Математическая логика

Математическая логика применяет точные математические методы к изучению доказательств и рассуждений, как в рамках самой математики, так и за её пределами. Одним из важных разделов математической логики, представленным в работах сотрудников кафедры, является исследование неклассических логических систем. Такие системы в каком-то смысле модифицируют классическую логику — либо посредством добавления новых операций (например, модальных операторов "возможно", "необходимо", "доказуемо"), либо путём изменения смысла старых. Так, например, логики с меньшим набором структурных правил моделируют ресурсные ограничения на логический вывод; релевантные логики выявляют содержательную связь между посылками и заключениями «правильных» выводов и т.п. Кроме того, необходимость использования неклассических логик может возникать при анализе вполне классических проблем: примерами является использование многозначных логик в формальной теории истины или модальных логик при анализе понятия доказуемости. Среди других важных приложений неклассических логик отметим их применения в теоретической информатике (задачи верификации программ) и математической лингвистике.

Алгоритмические вопросы алгебры

Алгоритмические вопросы алгебры изучаются, начиная с 1930-х годов, после того, как был сформулирован тезис Чёрча–Тьюринга, давший точное определение эффективно вычислимым функциям. Благодаря этому стало возможным доказывать невозможность построения алгоритма для решения массовой проблемы. Знаменитые результаты 1950-х, а именно теоремы Маркова-Поста, Новикова-Буна и Адяна-Рабина показали, что значительная часть общих проблем теории групп и полугрупп является неразрешимой.

Впоследствии было установлено, что алгоритмически неразрешимыми являются некоторые вопросы о матричных группах, классические задачи топологии, а также знаменитая 10-я проблема Гильберта о существовании алгоритма для решения диофантовых уравнений.  С другой стороны, многие задачи, которые стали казаться неразрешимыми, наоборот, оказались разрешимыми. Так, в 1980-х была доказана алгоритмическая разрешимость систем уравнений в свободной полугруппе и группе, а с помощью развития методов Маканина и Разборова уже в 2000-х была решена проблема Тарского о разрешимости элементарной теории свободной группы.

Стоит сказать, что в этой области также остаются открытыми красивые сложные вопросы, в частности проблема равенства для полугрупп с одним соотношением. Также в последние 20 лет делаются попытки применять некоторые неразрешимые задачи к построению новых протоколов криптографии, где такая неразрешимость потенциально могла бы привести к построению трудно взламываемых шифров.