Темы курсовых работ, ранее выполнявшихся под руководством сотрудников ИППИ РАН

На этой странице в качестве справочной информации приведены темы курсовых и дипломных работ, выполнявшихся под руководством сотрудников ИППИ РАН в предыдущие годы. Темы текущего учебного года представлены по ссылке.

Темы курсовых и дипломных работ существенно меняются и пересматриваются в начале каждого учебного года. Приведенные ниже темы мы предлагали студентам магистерской программы “Науки о данных” в 2016-2017 учебном году. В большинстве случаев похожие темы существовали и для студентов бакалавриата, разница заключалась в конкретной постановке задачи и ожидаемой глубине ее проработки.

Темы курсовых и дипломных работ под руководством сотрудников кафедры:

Беломестный Денис Витальевич

1. Методы квази-Монте-Карло для решения задач оптимального контроля
2. Оценивание в задаче регрессии с ошибками в переменных методом наибольшего правдоподобия
3. Метод контрольных переменных и Винеровский хаос для задач снижения дисперсии

Бернштейн Александр Владимирович

1. Применение методов моделирования многообразий для анализа временных рядов
2. Регрессия на многообразиях данных для задач робототехники
3. Аналитическое и экспериментальное исследование алгоритмов топологического анализа данных

Бурнаев Евгений Владимирович

1. Обнаружения аномалий и прогнозирование событий во временных рядах с приложениями для инженерных систем
2. Стохастическое моделирование и прогнозирование временных рядов
3. Аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных с помощью сверточных нейронных сетей
4. Активное обучение на основе разноточных гауссовских процессов
5. Идентификация и верификация речевых сигналов на основе нейронных сетей
6. Прогнозирование редких событий на основе рекуррентных нейронных сетей
7. Глубинные гауссовские процессы
8. Восстановление многообразий, описывающих область значений многомерной зависимости
9. Прогнозирование временных рядов на основе восстановления многообразий
10. Обучение в распределенной среде

Вьюгин Владимир Вячеславович

1. Алгоритмы предсказания с использованием экспертных стратегий

Дайняк Александр Борисович

1. Группировка рёбер в динамической визуализации графов
2. Метрики схожести текстов, основанные на колмогоровской сложности

Кабатянский Григорий Анатольевич

1. Восстановление последовательностей по наблюдаемым подпоследовательностям (по работам В. И. Левенштейна) с применениями к биоинформатике

Осипов Дмитрий Сергеевич

1. Разработка математической модели системы связи с робастным приемом
2. Исследование методов мягкого декодирования недвоичных блоковых кодов в системах связи с непараметрическим приемом

Панов Максим Евгеньевич

1. Классификация на основе данных, представленных графом
2. Построение рекомендательных систем на основе кластеризации частично размеченных данных
3. Алгоритмы классификации и кластеризации на основе ординальных данных

Соболевский Андрей Николаевич

1. Задача Монжа-Канторовича с ценовой функцией вогнутого типа

Янович Юрий Александрович

1. Выравнивания векторных полей на многообразиях сжимающими отображениями
2. Градиентное выравнивание векторных полей на многообразии
3. Тестирование гипотезы о многообразии для реальных данных
4. Геодезическая выпуклость в задачах оценивания многообразий

Кроме того, студенты кафедры выполняют курсовые и дипломные работы под руководством сотрудников ИППИ РАН, формально не связанных с кафедрой. В этом случае, по правилам Вышки, назначается научный консультант из числа сотрудников НИУ ВШЭ.

Темы курсовых и дипломных работ под руководством сотрудников ИППИ РАН:

Беляев Михаил Геннадьевич

1. Классификация патологий головного мозга по МРТ с помощью методов глубокого обучения
2. Низкоразмерное представление МРТ головного мозга методами глубокого обучения
3. Методы римановой геометрии в классификации сетевых структур мозга
4. Линейные методы классификации сетевых структур мозга, представленных в виде тензоров произвольного порядка

Гитис Валерий Григорьевич

1. Исследование методов и алгоритмов оценивания сейсмических полей по каталогам землетрясений
2. Исследование методов и алгоритмов обучения в системе автоматического прогноза землетрясений

Додонова Юлия Александровна

1. Генеративные модели структуры связей головного мозга человека
2. Машинное обучение на сетевых структурах мозга различных модальностей
3. Восстановление сетевых структур мозга на основе данных нейровизуализации

Ершов Егор Иванович

1. Создание программной библиотеки реализующей трехмерное быстрое преобразование Хафа

Иванов Федор Ильич

1. Разработка низкоскоростных МПП-кодов, основанных на конечных геометриях
2. Разработка метода предсказания оптимальных распределений МПП-кодов для заданного порога

Любецкий Василий Александрович

1. Вычисления расстояния между данными графами и последовательности операций, преобразующих один граф в другой
2. Моделирование встречных потоков вдоль заданной кривой с заданными препятствиями и вычисление интенсивности движения в заданной точке кривой
3. Метод аннилинга минимизации функционала на графах
4. Методы поиска информации в больших базах данных биологической информации

Темы, которые мы предлагали для курсовых и дипломных работ в предыдущие годы, можно посмотреть по ссылке.

Руководители к.ф.-м.н. Акопян А. В., к.ф.-м.н. Тарасов А.С. 

Построение нерастягивающих отображений плоскости (Construction of nonexpanding mappings of the plane) 

Нерастягивающие отображения — это отображения, которые не увеличивают расстояния между точками. Теорема Киршбрауна утверждает, что любое нерастягивающее отображение подмножества из евклидового пространства в себя может быть продолжено на всё евклидово пространство. Если же изначально отображение задано на конечном числе точек, то существует очень простой и наглядый алгоритм построения такого продолжения, и результатом работы алгоритма будет всего лишь разбиение пространства на многогранники. В случае плоскости — это будет разбиение на многоугольники, которое можно воспринимать, как узор оригами. Предлагается написать программу, реализующую этот алгоритм и визуализирующую его результат.

 Литература:

 1.    Brehm U. Extensions of distance reducing mappings to piecewise congruent mappings on R^m. Journal of Geometry, 16:1 (1981) 187-193.

 2.    Акопян А. В., Тарасов А. С. Конструктивное доказательство теоремы Киршбрауна. Математические заметки 84:5 (2008) 781-784. 

 Руководитель к.т.н. Афанасьев В.Б.

 Численный эксперимент в теории кодирования (Numerical experiments in coding theory)

 1.    Выразить энтропию источника с экспоненциальным, биномиальным, нормальным и т.п.  распределениями вероятностей через параметры распределения.

 2.    Запрограммировать алгоритмы сжатия Хаффмена и Шеннона, сравнить теоретические предсказания их эффективности с экспериментом.

 3.    Запрограммировать и продемонстрировать арифметику конечного поля, запрограммировать алгоритм деления многочленов с остатком и без остатка над конечным полем. Построить таблицу логарифмов конечного поля.

 4.    Построить программную реализацию случайного процесса с независимыми приращениями.

 5.    Построить программную реализацию простой марковской цепи. 

Руководитель д.ф.-м.н. Бланк М. Л.

Математическое моделирование простых транспортных потоков (Mathematical modelling of simple traffic flows)

Поток машин на однополосном шоссе можно представить как коллективное случайное блуждание набора частиц с условием отсутствия обгонов. В теории случайных процессов этому соответствует так называемый «totally asymmetric exclusion process», рассматриваемый как в непрерывном, так и в дискретном времени. В настоящее время ряд результатов в этой области получен аналитически (т. е. с точными математическими доказательствами), однако большинство наблюдений связано с численным моделированием. Имеется целый ряд важных открытых вопросов, нуждающихся как в численном моделировании, так и в аналитическом решении. Перечислю лишь несколько из них:

•  многополосное движение машин;
•  наличие перекрестков;
•  наличие светофоров;
•  изменение максимальной скорости в разных участках шоссе;
•  более сложные алгоритмы взаимодействия водителей.

 Литература:

 1.    Liggett T.M. Interacting Particle Systems. Springer, 2005.

 2.     Введение в математическое моделирование транспортных потоков: учеб. пособие / Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б; Приложения: Бланк М.Л., Гасникова Е.В., Замятин А.А., Малышев В.А., Колесников А.В., Райгородский А.М; Под ред. А.В. Гасникова - М.: МФТИ, 2010. - 385 с.

 3.    Blank M. Metric properties of discrete time exclusion type processes in continuum. J. Stat. Phys. 140:1 (2010) 170-197. (arXiv:0904.4585).

 4.    Blank M. Exclusion type spatially heterogeneous processes in continuum. J. Stat. Mech. (2011) P06016 (arXiv:1105.4232v1). 

Руководитель д.ф.-м.н. Введенская Н. Д.

Модель системы с динамической маршрутизацией (A model of dynamical routing system)

Мы рассматриваем модели систем обслуживания, в которых несколько потоков заявок поступают на серверы (приборы), каждая заявка обслуживается одним из серверов и покидает систему. В математической модели задается характер входных потоков (распределение длин интервалов времени между приходами заявок), характер обслуживания (распределение длин обслуживания заявки), правила рассылки заявок на приборы. Предполагается, что система не перегружена, т. е. заявки обслуживаются за конечное время (математическое ожидание времени обслуживания конечно). Задачи, которые мы рассматриваем тесно связаны с теорией очередей. (Английские термины — network, queueing theory, dynamic routing).

Нас интересуют модели систем, в которых прибор, на который направляется заявка, выбирается с учетом того в каком состоянии находится система.

Пусть система состоит из k серверов, на которую поступает l независимых пуассоновских потоков. Сообщения из каждого потока направляются на один из m серверов, причем каждое сообщение направляется на тот из серверов, где в момент его прихода меньше нагрузка. Каждый сервер может обслуживать несколько потоков. Вопрос: какова вероятность того, что некоторые серверы оказываются очень сильно нагружены (перегружены)? Оказывается, что в такой системе конфигурация перегруженных серверов зависит от интенсивности входных потоков: при условии перегруженности m серверов и при небольшой интенсивности входных потоков остальные серверы вероятнее всего не перегружаются, а при интенсивности входных потоков близкой к критической вероятнее всего все серверы оказываются перегруженными.

Интересно проследить, какова вероятность «небольших» перегрузок. На этот счет есть некоторые предположения. Предлагается получить распределение величин таких перегрузок с помощью моделирования (симулирования) работы системы.

 Литература:

 1.    Введенская Н.Д., Печерский Е.А. Кольцо взаимодействующих серверов: спонтанное возникновение коллективного поведения при больших флуктуациях. Пробл. передачи информ. 44:4 (2008) 101-117.

 2.    Введенская Н.Д. Конфигурация перегруженных серверов при динамической маршрутизации. Пробл. передачи информ. 47:3 (2011) 80-95. 

Руководитель к.ф.-м.н. Владимиров А.А.

Модели распределения нагрузки в системе массового обслуживания (Model of load distribution in a queuing system) 

Есть сеть из нескольких «серверов». Извне приходят «клиенты», разные: у каждого свой маршрут. Возникают очереди на серверах, которые обслуживаются, например, в порядке поступления (или еще как-то). Есть две важных характеристики: пропускная способность сети (максимальная интенсивность внешнего потока, при которой сеть с ним еще справляется) и среднее время ожидания в очередях для клиентов. Что произойдет с этими величинами, если мы дублируем каждый сервер, а внешний поток тоже удвоим? Предполагается как теоретический анализ, так и вычислительный эксперимент. 

Литература: 

1.    А. А. Владимиров, А. Н. Рыбко, С. Б. Шлосман, «Свойство самоусреднения систем массового обслуживания», Пробл. передачи информ., 42:4 (2006), 91–103.

Вероятностные модели в теории вторичной структуры молекул РНК (Probabilistic models in the study of RNA secondary structure) 

Есть длинная нитка с нанизанными бусинками двух цветов, в случайном порядке. Нужно разложить ее на столе без пересечений (это важно!) так, чтобы некоторые пары бусинок соприкоснулись. Соприкасаться разрешается только бусинкам одного цвета. Какое максимальное число таких пар можно получить? Тот же вопрос для трех, четырех и т.д. цветов. Задача связана со вторичной структурой молекул РНК.

 Литература:

 1.    А. А. Владимиров, Паросочетания без пересечений, Пробл. передачи информ., 49:1 (2013), 61–65).  

Руководитель д.ф.-м.н. Вьюгин В.В. 

Алгоритмы обучения без учителя (Unsupervised learning algorithms)

 1.   Построить вероятностный аналог алгоритма WMA, вычислить его регрет. Сравнить предсказательные способности (регрет) алгоритма WMA и алгоритма оптимального распределения потерь (для случая 0/1-потерь).

 2.   Оценить предсказательные способности агрегирующего алгоритма в случае 0/1 потерь. Сравнить оценку регрета этого алгоритма с оценкой Литлстоуна и Вармута для алгоритма WMA.

 3.   Применить алгоритм следования за возмущенным лидером к задаче нахождения оптимального пути на графе (см. статью A. Kalai, S. Vempala).

 4.   Применить алгоритмы предсказания с использованием экспертных стратегий для решения задачи оптимальной сортировки объектов (при различных предположениях).

 5.   Реализовать агрегирующий алгоритм и его варианты для различных функций потерь и наборов экспертов. Оценить предсказательные способности агрегирующего алгоритма в случае абсолютной и др. функций потерь

 6.   Алгоритмы построения оптимального портфеля в условиях стационарного процесса цен (Cover и др.).

 Литература:

 1.    Вьюгин В.В. Математические основы машинного обучения и прогнозирования, Москва, Изд. МЦНМО, 2013. [В этой книге имеется много простых и сложных задач, а также лабораторные работы, связанные с написанием программ и проведением численных экспериментов).]

 2.    N. Littlestone, M. Warmuth. The weighted majority algorithm // Information and Computation-- 1994 -- V. 108 -- P. 212--261.

 3.    A. Kalai, S. Vempala. Efficient algorithms for online decisions. In Bernhard Scholkopf, Manfred K. Warmuth, editors, Proceedings of the 16th Annual Conference on Learning Theory COLT 2003, Lecture Notes in Computer Science 2777, pages 506--521, Springer-Verlag, Berlin, 2003. [Extended version in J. Computer System Sci., 71:291--307, 2005.

 4.    V. Vovk. Competitive on-line statistics. International Statistical Review -- 2001 -- V. 69. -- P. 213--248.

 5.    V. Vovk, C. Watkins. Universal portfolio selection // Proceedings of the 11th Annual Conference on Computational Learning Theory-- New York: ACM Press, 1998. -- P. 12--23.

 6.    V. Vovk. A game of prediction with expert advice // J. Computer and System Sci. -- 1998 -- V. 56. -- No. 2.  P. 153--173.

 7.    Vladimir V"yugin, Universal Algorithm for Trading in Stock Market Based on the Method of Calibration // Lecture Notes in Artificial Intelligence V.8139, P.41--55, 2013.

 8.    V. V’yugin, V. Trunov, Universal algorithmic trading // J. Investment Strategies Volume 2/Number 1, Winter 2012/13 P.63–88.

 9.    Vladimir V. V"yugin. Online Learning in Case of Unbounded Losses Using Follow the Perturbed Leader Algorithm // J. Machine Learning Res., 12(Jan):241-266, 2011.

 10. M. Hutter, J. Poland. Adaptive online prediction by following the perturbed leader // J. Machine Learning Res., 6:639--660, 2005.

 11. T. Cover, E. Ordentlich. Universal portfolio with side information // IEEE Transaction on Information Theory-- 1996. --V. 42. -- P. 348--363.

 12. M. Anthony M, P.L. Bartlett. Neural network learning: Theoretical foundations, Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

 
Построение модификаций алгоритма Hegle для учета особенностей источника данных (Building modifications Hegle algorithm to account for the characteristics of the data source)

Алгоритм следования за возмущенным лидером и исследование различных режимов его работы (The algorithm following the perturbed leader and study different modes of operation)

Прогнозирование индивидуальных последовательностей в режиме онлайн и его применение для построения игровых стратегий (Prediction of individual sequences in online and its use for the construction of game strategies) 

Руководитель д.ф.-м.н. Жижина Е. А.

Стохастические алгоритмы для выделения двумерных и трехмерных сетей на изображениях: выделение сети дорог при аэрокосмической съемке (Stochastic algorithms for extraction of two- and three-dimensional networks in image processing. Extraction of road networks from satellite imagery)

Стохастические алгоритмы для выделения двумерных и трехмерных сетей на изображениях: построение трехмерного изображения нейрона по набору двумерных изображений (Stochastic algorithms for extraction of two- and three-dimensional networks in image processing. 3D neuron tracing from a collection of 2D images)

Предлагается разработать стохастический алгоритм для выделения тонких и протяженных линий, образующих двумерную или трехмерную сеть. При этом за основу предполагается взять стохастический алгоритм множественного рождения-гибели, разработанный в [1, 2] для полностью автоматического решения некоторых задач обработки изображений, связанных с выделением и детекцией объектов определенной формы. В основе алгоритма лежит глауберова динамика рождения-гибели в непрерывной среде, а также более общие стохастические динамики маркированных точечных полей.

 Литература:

 1.    Descombes X., Zhizhina E., The Gibbs fields approach and relateddynamics in image processing. Condensed Matter Physics 11:2 (2008) 1-20.

 2.    Descombes X., Minlos R.A., Zhizhina E., Object extraction usingstochastic birth-and-death dynamics in continuum. J. Math. Imaging Vision 33:3 (2009) 347.

 
Руководитель д.ф.-м.н. Кабатянский Г. А.

Восстановление последовательностей по наблюдаемым подпоследовательностям (по работам В. И. Левенштейна) с применениями к бионформатике (Reconstruction of symbol sequences from observed subsequences, with bioinformatics applications)

Представим себе, что мы наблюдаем неизвестную нам последовательность символов (из некоторого конечного алфавита) через «окошко» размера k, а окошко это мутновато – т. е. часть символов мы не видим совсем, или, что еще хуже, воспринимаем их ошибочно. Нам разрешается двигать этим «окошком» вдоль последовательности как нам захочется. Сколько минимально понадобится наблюдений, чтобы восстановить последовательность?

Литература:

 1.    V.I. Levenshtein, Efficient reconstruction of sequences. IEEE Trans. Inform. Theory 47:1 (2001) 2-22.

 2.    V.I. Levenshtein, Efficient reconstruction of sequences from their subsequences or supersequences. J. Combin. Theory. Ser. A 93:2 (2001) 310-332. 

Руководитель д.ф.-м.н. Комеч С. А.

Исследование метрик на пространстве форм (Investigation of metrics on the space of shapes)

Описание формы объекта является фундаментальной задачей в теории обработки изображений. В [1] построена математическая модель, в которой вводится дескриптор формы, основанный на изучении объема границы объекта. Кроме того, в этой работе получено соответствие между формой и функциями на отрезке, работать с которыми значительно удобнее.

При некоторых ограничениях на класс множеств (форм) введена метрика на пространстве форм, которая позволяет решать проблему нахождения «близких» форм в некотором массиве данных. Релевантность модели подтверждается численными результатами.

Возможными задачами для дальнейшего изучения в рамках данной модели являются:

•  вычисление расстояний на множестве «классических» форм (прикладная задача);
•  оптимизация параметров для вычисления расстояния между формами (прикладная задача);
•  распространение модели на более широкий класс форм (теоретическая задача);
•  изучение свойств отображения форм в пространство функций (теоретическая задача).

Литература:

1.    Xavier Descombes, Sergey Komech. Shape Descriptor Based on the Volume of Transformed Image Boundary. PReMI'2011, Springer-Verlag  LNCS series, pp. 142-147 

Руководитель д.ф.-м.н. Соболевский А. Н.

Коррекция колорита цветного изображения: подход с использованием метрики Вассерштейна (Image colour adjustment: an approach based on the Wasserstein metric)

Если пикселы заданного цветного изображения представить в координатах HSL (тон, насыщенность, светлота) и отбросить информацию о насыщенности и светлоте пикселов, останется колорит — распределение пикселов по точкам цветового круга, отвечающего параметру L. В работе предлагается разработать алгоритм коррекции колорита изображения по заданному образцу, оптимальной в смысле метрики Вассерштейна. Этот метод применяется, в частности, при цифровом восстановлении цветных фильмов.

Литература:

1.    J. Delon, J. Salomon, and A. Sobolevski. Fast transport optimization for monge costs on the circle. SIAM J. Appl. Math., 70(7):2239–2258, 2010. (arXiv:0902.3527).

Восстановление пекулярных скоростей галактик по данным астрономических наблюдений (Reconstruction of peculiar velocities of galaxies from astronomical observations)

Литература:

1.    Frisch U., Matarrese S., Mohayaee R., Sobolevski A. A reconstruction of the initial conditions of the Universe by optimal mass transportation. Nature 417 (2002) 260-262 (arXiv:astro-ph/0109483)

2.    Brenier Y., Frisch U., Hénon M., Loeper G., Matarrese S., Mohayaee R., Sobolevski A. Reconstruction of the early Universe as a convex optimization problem. Mon. Not. R. Astron. Soc. 346:2 (2003) 501-524 (arXiv:astro-ph/0304214)

Исследование динамики дискретной модели несжимаемой жидкости (Investigation of dynamics of a discrete model of incompressible fluid)

Литература:

1.    Brenier Y. A combinatorial algorithm for the Euler equations of incompressible flows. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 75:1-3 (1989) 325-332. 

Руководитель к.б.н. Талис В.Л.

Статистический анализ в задаче изучения ходьбы человека (Statistical analysis in the study of human locomotion)

Ходьба человека –циклическое движение нижних конечностей, взаимодействие которых в ряде статей принято описывать методом анализа главных компонент (Principal Component Analysis, PCA), разработанным для описания позы  (Alexandrov A., Frolov A., Massion J. Axial synergies during human upper trunk bending. Exp Brain Res 118:2 (1998) 210-220) и успешно переложенным для описания человеческой ходьбы (Borghese N.A., Bianchi L., Lacquaniti F. Kinematic determinants of human locomotion. J. Physiol.  494 (1996) 863-879). В некоторых специальных условиях утверждается возможность нарушения естественной синфазности движения суставов, обнаруживаемые методом РСА (Ivanenko Y.P., Grasso R., Lacquanity F. Influence of leg muscle vibration on human walking. J. Neurophysiol.  84:4 (2000) 1737-1747; Ivanenko Y.P., Grasso R., Macellari V., Lacquanity F. Control of foot trajectory in human locomotion: role of ground contact forces in simulated reduced gravity. J. Neurophysiol.  87:6 (2002) 3070-3089). Так ли это? Возможно ли до такой степени нарушить ходьбу? А если это возможно, может быть ходьба в этих специальных условиях уже не ходьба? И что считать ходьбой здорового человека?

Руководитель к.т.н. Осипов Д.С.

Сигнально-кодовые конструкции в системах связи  с робастным приемом (Coded modulation for communication systems employing robust reception)

Разработка математической модели системы связи с робастным приемом (Channel model development for a  communication system employing robust reception)

Исследование методов мягкого декодирования недвоичных блоковых кодов (Soft-decision decoding methods investigation for non-binary block codes)

Разработка имитационной модели систем множественного доступа, работающей под воздействием помех смешанного типа (Simulation model design  for a multiple access system under mixed interference)

Декодирование недвоичных блоковых МПП-кодов  в системах связи с робастным приемом (Nonbinary LDPC codes decoding in communication systems employing robust reception)

Выбор параметров обобщенного каскадного кода для системы связи, использующей прием на основе порядковых статистик (Generalized Concatenated code parameters choice for a communication system employing order statistics based receiver)

Руководитель Янович Ю.А.

Выравнивания векторных полей на многообразиях сжимающими отображениям (Vector fields alignment on manifolds via contraction mappings)

В работе необходимо применить итерационные оптимизационные схемы, основанные на методах сжимающих отображений, для оптимизации ("выравнивания") векторных полей на многообразиях. Данная задача является вспомогательной задачей задачи снижения размерности.

Градиентное выравнивание векторных полей на многообразии (Gradient-based methods of vector fields alignment on manifolds)

В работе необходимо применить градиентные оптимизационные схемы для оптимизации ("выравнивания") векторных полей на многообразиях. Данная задача является вспомогательной задачей задачи снижения размерности.

Тестирование гипотезы о многообразии для реальных данных (Testing the manifold hypothesis for real data)

Многие реальные данные в машинном обучении лежат на или вблизи многообразии меньшей размерности, чем размерность исходных данных. В работе необходимо определить размерности для популярных реальных задач.

Геодезическая выпуклость в задачах оценивания многообразий (Geodesic convexity in manifold learning problems)

В популярных статьях по снижению размерности и оцениванию многообразий неявно используется, но авторами не требуется, свойство геодезической выпуклости рассматриваемых многообразий. В работе необходимо показать, что данное свойство не следует из стандартных предположений авторов и модифицировать результаты на случай геодезически невыпуклых многообразий.