Мероприятия

Компактная разностная схема 3-го порядка дает высокую точность вычислений при относительно небольшом числе арифметических действий. После экстраполяции Ричардсона порядок возрастает до 4,8.

При работе с данными МРТ головного мозга различных модальностей (fMRI, dMRI, DWI, T1) возникает необходимость построения атласов (парцелляций/карт) головного мозга, для:

а) усредения измеряемого сигнала (например BOLD сигнала или толщины серого вещества) по некоторой области;

б) для проведения группового анализа.

Классическими считаются атласы, основанные на анатомии (например, атласы, выделяющие в качестве областей отдельные извилины или их группы). В докладе будут рассмотрены несколько недавних подходов к построению таких атласов на основе функциональной (fMRI) и анатомической связности (DTI).

В различных задачах физики и техники, где встречаются эллиптические уравнения, например, уравнение Пуассона или Гельмгольца, важен случай разрывных коэффициентов. Типичная ситуация: определение стационарного распределения примеси или температуры, или электростатического потенциала в случае, когда в рассматриваемой области присутствуют инородные включения. Для классической разностной схемы второго порядка наличие скачка коэффициента приводит к ухудшению сходимости. Разработана компактная схема, обеспечивающая высокий порядок аппроксимации и самого уравнения, и стыковочных условий Кирхгофа на линии скачка коэффициента (и, возможно, правой части). Будут приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие 4-й порядок нашей компактной схемы для задачи Дирихле или Неймана для уравнения Пуассона или Гельмгольца  и ее решительное преимущество по сравнению с классической схемой. Экстраполяция Ричардсона обеспечивает дальнейшее повышение точности решения. Такую компактную аппроксимацию также можно применять для численной оценки собственных чисел и собственных функций для краевых задач для уравнений с коэффициентом, терпящем скачок.

Обсуждаются способы прогноза конвекции, являющейся причиной развития шквалов (внезапное усиление ветра до 18 м/с и более) и интенсивных осадков (более 6 мм за 12 ч) . Рассказывается о технологии изэнтропического анализа - представлении метеорологических параметров с использованием в качестве вертикальной координаты потенциальной температуры ( температура, приведенная адиабатически к давлению 1000 гПа). 

Потенциальный вихрь Эртеля - произведение абсолютного вихря скорости на функцию термодинамических параметров, связанную со статической устойчивостью атмосферы. 

Обсуждается представление потенциального вихря в синоптическом масштабе (200 - 2000 км) и мезомасштабе (2 - 20 км) и использование его для прогноза конвекции.

Представлены методы прогноза осадков в холодное время года  и прогноза шквалов, разработанные с применением нетрадиционных предикторов.  

Приведены результаты исследования структуры потенциального вихря в масштабе 2 - 20 км в случае глубокой влажной конвекции с помощью модели прогноза погоды на ближайшие сутки WRF-ARW на примере катастрофического шторма в Москве 29 мая 2017 г.

При спутниковом зондировании спутник передает не точечные значения, а осредненные по некоторому квадратику (пискселю). Как наилучшим образом пересчитать такие средние значения в значения исходной функции в узлах сетки или в центрах квадратиков? Как оптимально произвести обратный пересчет? Оказывается, полезно сформировать соотношения, в которые входят оба сорта значений, а потом применить метод прогонки. Подобный подход, использующий неявные схемы, аналогичен переходу от многочленов к рациональным функциям.

Во многих областях математической физики возникает задача параметризации, то есть оценки физических коэффициентов некоторых дифференциальных уравнений. Для некоторых процессов (например, турбулентности, динамики многофазных сред и т.д.) задача параметризации оказывается чрезвычайно сложной (в т.ч. коэффициенты оказываются зависящими от координат и параметров меняющейся среды) и при численном моделировании используются дополнительные упрощающие предположения.

В 2018 году были предложен подход нейронных обыкновенных дифференциальных уравнений (Neural ODE), рассматривающий задачу Коши (решаемую методом Рунге-Кутта) в качестве специального слоя нейронной сети и позволяющий оптимизировать параметры дифференциального уравнения, минимизируя отклонение решения задачи Коши от серии измеренных значений. Для оценки градиента ошибки по оптимизируемым параметрам достаточно составить так называемую присоединенную систему дифференциальных уравнений и решить её в обратном направлении по времени. Работа получила приз на NIPS-2018. Существенным недостатком метода является невозможность рассмотрения физических процессов с притоком энергии извне: в этом случае сходимость в пространстве параметров не гарантируется. Однако, для гамильтоновых и диссипативных систем удается получать хорошие параметризации. Докладчику неизвестно о применениях подхода к данным наблюдений из реальных физических систем.

Наноструктурированные материалы могут выдерживать большие деформации и обладать примечательными свойствами в деформированном состоянии: электронные, оптические, тепловые и химические характеристики деформированного кристалла могут резко отличаться от недеформированных аналогов. Инженерия в пределах допустимых упругих деформаций означает, что эти свойства могут быть изменены по запросу, открывая путь к инженерии упругих деформаций (Elastic Strain Engineering, ESE). Интересующие свойства изучаются с помощью расчетов на основе теории функционала плотности, однако требуется большое количество вычислительных ресурсов, если кто-то хочет исследовать пространство деформации 6D или выполнить оптимизацию любого целевого показателя.

Эта проблема решается с помощью инженерии глубокой упругой деформации, в которой используется суррогатная модель машинного обучения (ML), основанная на данных первопринципного моделирования. В докладе будет рассмотрен подход на основе нейронных сетей, адаптированный к потребностям ESE и использующий взаимодействие между моделью и симуляциями. В частности, мы используем преимущества различных источников данных, предоставляемых расчетами из первых принципов, и предлагаем механизм активного обучения модели. Также подробно исследуется общая проблема количественной оценки неопределенности нейронных сетей на основе метода Монте-Карло.

Эффективность предлагаемых подходов широко исследуется в ряде численных экспериментов. Будут приведены результаты исследовательского анализа шестимерного пространства деформаций, наличие прямой запрещенной зоны и сценарии переходов в металлическое состояние для кристаллов кремния и алмаза, а также всестороннее описание топологических особенностей электронной зонной структуры и имитация натурных экспериментов на основе МКЭ. Разработанные подходы могут быть использованы для исследований следующего поколения в области ESE для различных приложений в микро- и оптоэлектронике.

Построена компактная схема 3-го порядка для 2-мерной задачи Дирихле для уравнений Пуассона и Гельмгольца с разрывным коэффициентом. Коэффициент в уравнении – кусочно-постоянный его разрыв проходит по линии скачка Г – границе прямоугольника. На линии Г выполняются условия Кирхгофа. В точках, далеких от углов, производится компактная аппроксимация 4-го порядка, на шаблонах и коэффициентах, полученных в предыдущей работе авторов. В качестве тестовых функций используются мономы, а на Г – еще и мономы, умноженные на функцию Хевисайда по нормальной к Г переменной. В углах линии Г в качестве тестовых функций используем обобщенные собственные функции дифференциального оператора задачи, в точках соседних с углом - смешанный набор тестовых функций. Построенная схема дает примерно 3-й порядок в L₂ и C нормах, в то время как другие алгоритмы дают максимум второй.

Эксперименты проводились на двух важных известных примерах уравнений: ФКПП (нелинейность без производных) и Бюргерса – Бейтмана (нелинейность под первой производной), но разработанный метод применим к широкому классу параболических уравнений со слабой нелинейностью.
Шаг по времени в алгоритме состоит из применения явной разностной схемы и ее коррекции компактной схемой. Для этих примеров нелинейности и компактные схемы разные. На одинаковых сеточных шаблонах 3х2 используются различные наборы тестовых функций (мономов) и получаются различные коэффициенты схемы. Компактная схема линеаризуется в окрестности результата шага явной схемы. Тогда введение поправок к явной схеме сводится к применению прогонки. В некоторых случаях (интегрирование на длительные сроки) такие поправки стоит вводить дважды.
Использовались явные схемы Адамса - Бэшфорда и Мак-Кормака. В качестве эталонных для проверки точности алгоритмов использовались как точные аналитические решения уравнений, так и их численные решения на особо мелкой сетке. Особенно сложны для аппроксимации решения уравнения Бюргерса, близкие к ударной волне.
Введение поправок по компактной схеме приводит к расширению пределов устойчивости для упомянутых явных схем и, как правило, к заметному уменьшению погрешностей решения. Во многих случаях увеличивается порядок точности схемы. Даны рекомендации, какой вариант солвера (например, в зависимости от шагов схемы и коэффициента диффузии) предпочтителен.
Предложенный алгоритм реализации компактной схемы эффективен, поскольку применение прогонки требует малого числа арифметических операций.

Запись: https://cloud.mail.ru/stock/hGspMxdNRCbzNVW8Z293D5pk

Квазилинейные эволюционные уравнения в частных производных составляют широкий класс, к которому относятся, например, уравнения Эйлера – Хопфа, Бэйтмана – Бюргерса и Фишера – Колмогорова – Петровского – Пискунова. Мы разрабатываем методику построения разностных схем высокого порядка точности, применимых к уравнениям такого типа. Приводятся результаты численных экспериментов.