Дифференциальные уравнения и численные методы. Методы решения и практические приложения

НУГ «Дифференциальные уравнения и численные методы»

Номер проекта: 20-04-021

Три с половиной века назад И.Ньютон опубликовал анаграмму, которая в вольном пересказе В.И.Арнольда звучит так: «Полезно решать дифференциальные уравнения». Подтверждений этому тезису было получено огромное количество. И современные технологии основаны на применении этого математического аппарата. Появление компьютеров и широкое их распространение внесло коррективы и в методы решения практических задач, и в образовательные программы.

Цели и задачи проекта

Научная деятельность группы связана с разработкой новых вычислительных методов и алгоритмов и их применение к разнообразным задачам окружающего нас мира. В процессе решения таких задач члены группы должны изучать новые для них математические методы, не входящие в стандартную программу обучения. Следует признать, что спектр необходимых методов может расширяться самым неожиданным образом. Например, в 2021г. для получения условий монотонности неявных разностных схем потребовалось применение теории вычетов, которую проходят в курсе теории функций комплексного переменного. К сожалению, этот курс в последние десятилетия исключен из многих бакалаврских программ по математике.

Основная цель обучения – готовить специалистов с максимально широким спектром возможностей, умеющих разобраться в прикладной задаче, выбрать адекватные математический аппарат и алгоритм вычислений, умеющих реализовать эти алгоритмы на компьютере и проанализировать полученные результаты.

В силу исторических обстоятельств многие прикладные задачи, решаемые группой, связаны с задачами анализа и прогноза погоды. Участники группы много лет работают над разработкой и совершенствованием алгоритмов постпроцессинга, т.е. усвоением разнородной метеорологической и прогностической информации с целью уменьшения ошибок прогноза метеоэлементов на срок 1 – 6 суток. За прошедшие годы увеличилась точность прогнозов, их заблаговременность, расширился список прогнозируемых элементов. Расширилась территория. Теперь помимо Российской Федерации наш прогноз получают в Республике Беларусь и Республиках Средней Азии. Результаты обновляются дважды в сутки.
http://method.meteorf.ru/ansambl/ansambl.html

Решаются обратные задачи для восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений, описывающих пограничный слой атмосферы. В частности, нам удалось показать, что поведение ветра в пограничном слое лучше описывается не вещественным и положительным коэффициентом турбулентного обмена, а комплекснозначным. Оптимизация проводилась по архиву из более чем 26 тысяч запусков аэрозондов с высоким вертикальным разрешением (BUFR). Такой вариационный подход и полученный комплексный, а не вещественный коэффициент турбулентного обмена ранее у других авторов не встречался.

Решаются задачи совместного анализа и усвоения разнородной информации. Например, разработаны алгоритмы оценки полей влагозапаса почвы. Имеется два источника информации: дорогостоящие измерения на сравнительно редкой сети (более 100 км взаимные расстояния) станций Росгидромета, которые производят измерения 1 раз в декаду, и спутниковые измерения, позволяющие покрыть территорию дважды в сутки, причем 1 пиксель – квадратик со стороной 12,5 км. Удалось создать высокоточный алгоритм пересчета спутникового сигнала в параметр, измеряемый на станциях.

Важнейший подход к численному решению уравнений и систем в частных производных – разностная аппроксимация этих уравнений. Развитие соответствующих схем и алгоритмов началось почти три века назад с работы Л.Эйлера. Компьютерная эра привела к всплеску интереса к этому подходу. Уже на первых ламповых компьютерах в США решали дифференциальные уравнения с помощью разностных схем. Интерес нашей группы направлен на высокоточные (так называемые компактные) разностные схемы для аппроксимации уравнений в частных производных и граничных условий для них. Компактные схемы начали развиваться в СССР еще в двадцатые годы. Но трагическая судьба работавшего с ними Б.В.Нумерова на много десятилетий табуировала в СССР эту тематику. Оказалось, что такие схемы применимы для уравнений в частных производных, применимы к уравнениям с разрывными коэффициентами, к нелинейным уравнениям в частных производных. Алгоритмы программно реализуются, отлаживаются и подтверждают теоретически обоснованную точность алгоритмов.
 

Сроки проведения работы над проектом

2020 - 2021

Ожидаемые научные результаты

Представляется желательным совместная работа над содержательными проектами, в которых нужны квалифицированные расчеты. Группа готова к такому сотрудничеству.

Форма представления результатов проекта

Статьи группы публикуются в отечественных и зарубежных журналах. Некоторые алгоритмы, полученные в ходе выполнения гранта, преподаются продвинутым студентам (Майнор «Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений»). Работы докладываются и на российских конференциях (в том числе в ВШЭ), и на международных. В 2022г предполагается защита одной кандидатской диссертации, одной магистерской и одной бакалаврской ВКР по тематике группы.