Разложение тензориального произведения на ротор и деформацию
Разработанная работа посвящена алгебраико-геометрическому разложению тензориального произведения векторов в рамках тензориальной алгебры.
Основная идея заключается в том, что внешнее произведение второго ранга может быть представлено как сумма двух фундаментально различных компонент: симметричной и антисимметричной. Симметричная часть интерпретируется как деформация, отражающая потенциальные, упругие взаимодействия базисных элементов, тогда как антисимметричная часть соответствует ротору, описывающему вихревые, циркуляционные процессы. Каждая из этих компонент независимо свёртывается с тензором алгебры Tijk, в результате чего формируются векторы деформации и ротора. Их линейная суперпозиция восстанавливает исходное тензориальное произведение векторов, обеспечивая при этом спектрально-инвариантное и физически интерпретируемое разложение.
Предложенный подход позволяет связывать алгебраические операции с геометрическими и физическими свойствами системы. В частности, роторная часть наглядно демонстрирует динамические циркуляции, а деформационная — статические симметричные взаимодействия. На иллюстрации в центре представлено исходное скалярное поле, слева — его антисимметричная (вихревая) компонента, а справа — симметричная (потенциальная). Такой способ разложения открывает возможности для применения в задачах геометрического машинного обучения, анализа алгебраических структур и построения моделей с физически осмысленной нелинейностью.
Дзебоев Даниил Игоревич