Семинары

30.01 Метод Mapper как возможный подход к получению мультипараметрической устойчивости

Докладчик - Баларам Усов, студент математического факультетай

Аннотация.  Метод Mapper был предложен Гуннаром Карлссоном и другими исследователями [Gurjeet Singh, Facundo Mémoli, Gunnar Carlsson, 2007] как способ низкоразмерного представления данных. Идея Mapper-а довольно прямолинейна и отсылает к простым классическим топологическим конструкциям, но, несмотря на это, метод оказался довольно успешным и нашел применение в массе разных интересных приложений. Тем не менее, сами создатели указывают, что Mapper является довольно сподручным (ad-hoc) средством репрезентации данных и не годится как самостоятельный инструмент для понижения размерности. Докладчик планирует рассказать содержание алгоритма, некоторые детали его реализации, продемонстрировав его работу на нескольких датасетах. После этого планируется обсудить как из репрезентаций данных, получаемых Mapper-ом довольно естественно, возникают мультифильтрации на комплексе Вьеториса-Рипса. Оставшееся время будет посвящено рассказу про устойчивые гомологии таких мультифильтраций [Heather Harrington, Nina Otter, Hal Schenk, Ulrike Tillmann, 2019], а также про то, как они могут возникнуть в недавно изобретенной архитектуре топологических автоэнкодеров [Michael Moor, Max Horn, Bastian Rieck, Karsten Borgwardt, 2019]. Хотя пока это лишь идея, есть надежда, что Mapper может найти новое неожиданное применение.

Покровский бульвар, 11, корпус R, аудитория R 205. 18:30-20:00

20.12 Векторные представления диаграмм устойчивости

Докладчик -Олег Качан, аспирант Сколковского института науки и технологий

Аннотация.  Модуль устойчивости пары пространства X и функции фильтрации f, определенной на нем, представляет собой мультимножество интервалов. Диаграмма устойчивости — это биекция модуля устойчивости на расширенную евклидову плоскость. В свою очередь, методы машинного обучения в качестве входа ожидают более стандартные математические объекты, такие как расстояния, ядра, векторы. Хорошо описанные в литературе расстояния и ядра, определенные на пространстве диаграмм устойчивости, требуют O(n^2) времени для вычисления. В докладе речь пойдет о векторных представлениях диаграмм устойчивости, вычисляемых за линейное время.

Кроме независимых от распределения в обучающей выборке, будут рассмотрены контекстно-зависимые подходы к векторизации диаграмм устойчивости, которые максимизируют точность решения задачи классификации. Также будет рассмотрен нейросетевой подход к вычислению представлений диаграмм устойчивости напрямую из данных.

Покровский бульвар, 11, корпус R, аудитория R 205. 18:10-19:30

12.12 Macroscopic phase resetting-curves determine oscillatory coherence and signal transfer in inter-coupled neural circuits

Speaker: Гуткин Борис Самуэль, L'École normale supérieure & Institute of Cognitive Neuroscience HSE

Abstact. Macroscopic oscillations of different brain regions show multiple phase relationships that are persistent across time and have been implicated in routing information. While multiple cellular mechanisms influence the network oscillatory dynamics and structure the macroscopic firing motifs, one of the key questions is to identify the biophysical neuronal and synaptic properties that permit such motifs to arise. A second important issue is how the different neural activity coherence states determine the communication between the neural circuits. We analysed the emergence of phase-locking within bidirectionally delayed-coupled spiking circuits in which global gamma band oscillations arise from synaptic coupling among largely excitable neurons. We considered both the interneuronal (ING) and the pyramidal-interneuronal (PING) population gamma rhythms and the inter coupling targeting the pyramidal or the inhibitory neurons. Using a mean-field approach together with an exact reduction method, we reduced each spiking network to a low dimensional nonlinear system and derived the macroscopic phase resetting-curves (mPRCs) that determine how the phase of the global oscillation responds to incoming perturbations.  From there we derived a phase coupling euqation for interconnected circuits and determined the structure of macroscopic coherence states (phase-locking) of two weakly synaptically-coupled networks. We showed that a synaptic transmission delay is a necessary condition for symmetry breaking, i.e. a non-symmetric phase lag between the macroscopic oscillations. This potentially provides an explanation to the experimentally observed variety of gamma phase-locking modes. Our analysis further showed that symmetry-broken coherence states can lead to a preferred direction of signal transfer between the oscillatory networks where this directionality also depends on the timing of the signal. Hence we suggest a causal theory for oscillatory modulation of functional connectivity between cortical circuits.

Pokrovsky Boulevard, 11, room R 205, 18:10 - 19:30

29.11 Продолжительные изменения функциональной связанности областей мозга в состоянии покоя после аверсивного воздействия: корреляционный анализ и методы теории графов

Докладчик - Мартынова Ольга Владимировна, PhD, заведующая лабораторией высшей нервной деятельности человека, Институт высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН; старший научный сотрудник центра нейроэкономики и когнитивных исследований НИУ ВШЭ.

Аннотация.  Связь между областями мозга человека можно не инвазивно измерить при помощи функциональной магниторезонансной томографии (фМРТ). Показано, что при тревожных и стрессовых расстройствах, функциональная связанность между областями мозга, ключевыми для обработки негативных стимулов, изменена по сравнению с данными здоровых испытуемых. В настоящем исследовании мы ставили перед собой цель проверить, остаются ли следы измененной связанности областей мозга у здоровых добровольцев после неприятного воздействия (выработки условного рефлекса с негативным подкреплением) в состоянии покоя сразу после воздействия, через день и через неделю после воздействия. На примере данной работы, Ольга Владимировна поделится своей интерпретацией этапов препроцессинга изображений фМРТ, корреляционного анализа для определения связанности, описания результатов при помощи теории графов, и последующей статистической обработки.

Покровский бульвар, 11, корпус R, аудитория R 205. 18:10-19:30

15.11 Вычисление топологических характеристик с помощью комбинаторных лапласианов

Докладчик – Полина Борисова, стажёр-исследователь лаборатории.

Аннотация.  Комбинаторный лапласиан — вещь достаточно простая, это некоторый оператор на цепном комплексе. Однако именно он довольно часто возникает, когда мы хотим понять структуру того или иного симплициального комплекса. Например, вопрос о вычислении чисел Бетти можно свести к вопросу о поиске определенных собственных значений лапласиана. К аналогичному вопросу можно свести и выявление в симплициальном комплексе так называемых «дыр». Доклад будет состоять из двух частей: в первой Полина расскажет, как вычислять числа Бетти с помощью комбинаторных лапласианов и степенного метода, а во второй даст точное определение «дыр» и покажет на примере способ их нахождения. Для понимания доклада предварительных знаний не требуется.

Покровский бульвар, 11, корпус R, аудитория R 205. 18:10-19:30

08.11 Методы автоматического выделения волокон в мозге

Докладчик - Виктор Карпычев, стажёр-исследователь Центра языка и мозга

Аннотация.  На сегодняшний день многие научные центры по всему миру сталкиваются с необходимостью более глубокого понимания анатомии и функций проводящих путей головного мозга, исследуя как здоровых испытуемых, так и пациентов. Данная необходимость привела к активному развитию математических методов нейровизуализации проводящих путей (трактографии), делая данную область одной из самых быстрорастущих за последние два десятилетия. Однако, несмотря на разнообразие примененных методов и алгоритмов в трактографии, по-прежнему не существует единого мнения относительно анатомии и структуры белого вещества, что является препятствием для успешного развития нейронауки и смежных с ней областей. В связи с данной проблемой, в своем докладе я хотел бы рассказать про возникшее противоречие в методах, а также описать некоторые основные модели трактографии, которые применяются сегодня в научных центрах. Я планирую рассказать про метод автоматического выделения волокон белого вещества (Dipy). Исключение человеческого фактора должно сделать результаты универсальнее и надёжнее. В связи с этим, мной будет представлен проект Центра языка и мозга НИУ ВШЭ, в котором будет использоваться автоматическое выделение белого вещества. Желающие приглашаются к участию в этом проекте.

Покровский бульвар, 11. Корпус R, аудитория R401. 18:10-19:30

01.11 Раскраски случайных гиперграфов

Докладчик – Дмитрий Александрович Шабанов, профессор, ведущий научный сотрудник лаборатории

Аннотация.  Одна из наиболее известных задач вероятностной комбинаторики - это знаменитая проблема RANDOM k-SAT о выполнимости случайной булевой функции. Случайная булева функция представляет собой конъюнкцию из m случайных дизъюнкций, каждая из которых в свою очередь состоит из k случайно выбранных литералов среди n переменных или их отрицаний. Оказывается, что предельная вероятность выполнимости такой функции с ростом n и фиксированном k почти всегда равна либо нулю, либо единице в зависимости от числа дизъюнкций m=m(n). В настоящее время известно, что если m не превосходит a(k)n, то вероятность выполнимости стремится к единице, а если m больше чем b(k)n, то к нулю, причем разность b(k)-a(k) является экспоненциально быстро стремящейся к нулю функцией от k.

В докладе пойдет речь о естественном обобщении задачи RANDOM k-SAT, связанном с полноцветными раскрасками гиперграфов. Здесь с помощью метода второго момента нам удалось получить очень точные оценки пороговой вероятности наличия полноцветной раскраски в заданное число цветов у случайного гиперграфа.

Покровский бульвар, 11. Корпус R, аудитория R406. 18:10-19:30

25.10 Способы построения парцелляций поверхности головного мозга, основанные на данных нейровизуализации

Докладчик - Анвар Курмуков, аспирант, стажёр-исследователь лаборатории

Аннотация.  При работе с данными МРТ головного мозга различных модальностей (fMRI, dMRI, DWI etc) возникает необходимость построения атласов (парцелляций/карт) головного мозга, для:

а) усредения измеряемого сигнала по некоторой области (что позволяет уменьшить шум);

б) совмещения (регистрации) индивидуальных снимков для проведения группового анализа.

Классическими считаются атласы, основанные на анатомии (например, атласы, выделяющие в качестве областей отдельные извилины или их группы). В докладе будут рассмотрены несколько недавних подходов к построению таких атласов на основе функциональной (fMRI) и анатомической связности (DTI).

Покровский бульвар, 11. Корпус D, аудитория D506. 18:10-19:30

18.10 Вариационные автокодировщики и латентные пространства с нетривиальной топологией

Докладчик - Илья Валерьевич Щуров, доцент кафедры высшей математики, старший научный сотрудник НУЛ исследований спорта.

Аннотация. Вариационные автокодировщики (variational autoencoder, VAE) — популярная порождающая вероятностная модель для многомерных данных — например, изображений. В основе их работы лежит идея о том, что реальные многомерные данные на самом деле живут вблизи каких-то маломерных многообразий, и мы хотим такие многообразия уметь восстанавливать и, в идеале, вводить на них «хорошие» координаты — такие, которые бы легко интерпретировались в терминах исходных данных. Автокодировщик учит два отображения — из исходного многомерного пространства, в котором живёт обучающая выборка, в маломерное латентное пространство (кодировщик) и наоборот (декодировщик), таким образом, чтобы минимизировать «ошибку реконструкции», то есть расстояние между объектом выборки и результатом применения к нему сначала кодировщика, а затем декодировщика. Таким образом, автокодировщики можно рассматривать как один из методов снижения размерности. Если кодировщик и декодировщик линейны, то получится обычный метод главных компонент. Вариационные автокодировщики работают не просто с отдельными точками, а с вероятностными распределениями в исходном и латентном пространствах, что позволяет улучшить их свойства. В то же время, до недавнего времени в качестве латентного пространства использовалось в основном евклидово пространство, в то время как гипотетические «многообразия данных» даже в очень простых примерах обладают нетривиальной топологией. В этих условиях нет никакой надежды на то, что декодировщик окажется непрерывным отображением, и это снижает ценность всей конструкции как метода осмысленной параметризации многомерных объектов. Сравнительно недавно появились работы, в которых в качестве латентного пространства используются нетривиальные многообразия — например, гиперсфера и группа вращений пространства SO(3). О них и шла речь в докладе.

Покровский бульвар, 11. Корпус D, аудитория D509. 18:10-19:30

10.10 Алгоритм UMAP как алгоритм топологического анализа данных

Докладчик - Даниил Тяпкин, стажёр-исследователь лаборатории

Аннотация. Алгоритмы понижения размерности – достаточно популярное направление современного Machine Learning. Формально задачу можно построить так: дано облако точек в пространстве большой размерности (к примеру, 200), необходимо построить некоторую “достаточно хорошую” проекцию в маломерное (к примеру, в размерность 2) пространство. В определении “достаточной хорошести” скрываются главные проблемы. Есть два подхода: в первом алгоритм пытается сохранить структуру глобальных расстояний между точками, а во втором – какие-то локальные особенности данных, к примеру, пустоты или, наоборот, кластера. Алгоритм UMAP относится ко второй категории и пытается сохранить локальные особенности облака точек, притом основная идея строится вокруг построения так называемых нечетких (fuzzy) симплициальных комплексов в разных размерностях и оптимизации некоторого расстояния между ними. На семинаре мы обсудим этот алгоритм и математические идеи, на которых он основан, а также рассмотрим примеры его работы на некоторых данных.

Покровский бульвар, 11. Корпус G, аудитория G003. 18:10-19:30

03.10 Магнитоэнцефалография как метод сверхточного картирования мозга: от биологических основ до математических моделей

Докладчик - Александра Разоренова, стажёр-исследователь лаборатории

Аннотация. Магнитоэнцефалография (МЭГ) — это неинвазивный нейрофизиологический метод, позволяющий измерять магнитные поля, генерируемые нейронной активностью мозга. Анализ пространственного распределения магнитных полей позволяет локализовать источники активности в головном мозге. Информация о функции мозга получается путем сопоставления положения этих источников с анатомической информацией о структуре мозга, полученной с помощью структурной магнитно-резонансной томографии (cМРТ). Поговорим о природе электромагнитного сигнала, методах его регистрации и обработки. Рассмотрим стандартный пайплайн работы с МЭГ-данными на примере исследования механизмов речи.

Покровский бульвар, 11. Корпус D, аудитория D504. 18:10-19:30

27.09 Расстояние Вассерштейна для модулей устойчивости

Докладчик - Владимир Смурыгин, стажёр-исследователь лаборатории.

Модули устойчивости отслеживают изменение гомологий симплициального комплекса в процессе фильтрации. Естественно задаться вопросом, насколько похожи два таких модуля - как раз это можно вычислить с помощью p-метрики Вассерштейна. На семинаре обсудим определение этой метрики и вычислим его для простых примеров.

Покровский бульвар, 11. Корпус R, аудитория R205. 18:10-19:30

20.09 Гомотопические копределы диаграмм и теорема о нерве покрытия

Докладчик – Антон Андреевич Айзенберг, доцент факультета компьютерных наук, старший научный сотрудник лаборатории.

Аннотация.  Докладчик расскажет, что такое диаграмма топологических пространств, ее копредел и гомотопический копредел. Копредел позволяет склеивать несколько топологических пространств в одно, однако такая операция не является гомотопически инвариантной. Исправить этот недостаток призвана конструкция гомотопического копредела. Имеется стандартный пакет утверждений, описывающих свойства гомотопического и обычного копределов и связь между ними. Эти утверждения интуитивно очевидны и несложно доказываются.

Теорема Александрова о нерве покрытия утверждает, что нерв покрытия топологического пространства гомотопически эквивалентен самому пространству, если все возможные непустые пересечения элементов покрытия стягиваемы. С помощью гомотопического копредела мы докажем эту теорему, и поймем, как ее можно было бы обобщить на случай нестягиваемых пересечений.

Покровский бульвар, 11. Корпус D, аудитория D509. 18:10-19:30

13.09 Дискретная теория Морса

Докладчик – Тёмкин Михаил, аспирант 2 года факультета математики

Аннотация.  Зададимся целью найти инварианты данного симплициального комплекса X. Дискретная теория Морса позволяет "упростить" X, а именно, найти другой (на этот раз клеточный) комплекс Y, инварианты которого такие же, а число составляющих его элементарных кусочков (клеток) существенно меньше. Это делается с помощью дополнительной структуры на X, в нахождении и анализе которой и заключается творческая задача. Докладчик постарается рассказать о теоретических основах этого метода, оставаясь в рамках комбинаторной топологии. Оказывается, если комплекс задан комбинаторно, то иногда искомая структура имеется там естественным образом (просто раньше её никто не искал), и на выходе получается красивый сюжет. С другой стороны (которая находится вне компетенции Михаила), если Х пришёл из прикладных задач, то структуру можно искать эвристически — на эту тему есть общедоступные программы, а также работы с описанием алгоритмов, нацеленных на конкретные нужды (шумопонижение, сжатие сетей, топологический анализ данных). Доклад будет элементарным, однако желательно знать, что такое симплициальный комплекс. Так или иначе, все ручные примеры будут маломерными и порой картинки будут заменять определения.

Покровский бульвар, 11. Корпус G, аудитория G408. 18:10-19:30