Ученые объясняют, почему современному человеку не обойтись без математики

Пифагорейцы утверждали, что числа правят миром, а Александр Суворов называл математику «гимнастикой ума». Сейчас интерес к этой науке постепенно возрождается — Высшая школа экономики совместно с Яндексом 14 марта проводят всероссийскую контрольную по математике.
Руководитель Департамента больших данных и информационного поиска Дмитрий Ветров рассказывает: «Эта наука учит нас тому, что нерешаемые с виду задачи можно решить».

«Эта наука учит нас тому, что нерешаемые с виду задачи можно решить»

Ветров Дмитрий Петрович
кандидат физико-математических наук, руководитель Департамента больших данных и информационного поиска факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ

 

В век информационных технологий все чаще раздаются голоса, что сколько-нибудь серьезное знание математики специфично и среднестатистическому человеку не особенно-то и нужно. Многие считают, что уже навыки деления, скажем, семизначного числа на четырехзначное или сложения двух дробей излишни — ведь все это можно проделать на смартфоне. Что уж говорить об умении решать логарифмические неравенства, алгебраические и дифференциальные уравнения, задачи трехмерной геометрии (стереометрии) и прочую «высшую математику»?

Есть два принципиальных аргумента против такой позиции. Во-первых, не столь уж тривиальная математика нужна нам уже в быту. Например, чтобы решить простую задачу («В одной из динамично развивающихся африканских стран инфляция составляет 32 млн. процентов в год. Вопрос: на сколько процентов в этой стране растут цены в день?» Ответ многих удивит своей малостью), нужно умение составлять и решать уравнения с логарифмами. Без этого не рассчитать, под какой процент нужно положить 5 тысяч долларов в банк на счет родившегося сына, чтобы через 18 лет он смог получить 25 тысяч, или что лучше: вложить наши сбережения так, что они будут увеличиваться на 6% каждые полгода, на 13% каждый год, или 27% каждые два года? Пожалуй, еще более животрепещущая (на март 2015 г.) тема: в какой валюте лучше держать свои сбережения — в рублях (банки обещают высокий процент), в долларах или в евро? Интуиция подсказывает верный ответ (во всех валютах понемножку), но вот для того, чтобы правильно выбрать пропорции, необходимо обладать простейшими знаниями в теории риска. На совещаниях на работе нам часто приходится делать выбор, какую из различных точек зрения поддержать, к какой группе сторонников примкнуть. Сделать это с наибольшей выгодой для себя позволяет теория игр. Она же дает ответ на вопрос, какую зарплату можно смело потребовать, если тебя пытаются переманить к себе конкуренты, не боясь продешевить или потерять выгодное предложение.

Во-вторых, математика (даже школьная) учит логически мыслить. Понимать, что из чего следует, а что нет (например, из того, что у нас в холодильнике есть селедка, следует, что у нас там есть и рыба. Но из того, что у нас в холодильнике рыба, вовсе не следует (хотя и может быть), что у нас там селедка). Едва ли не единственная школьная дисциплина, которая учит рассуждать, является геометрия. Но это только вершина айсберга. На самом деле вокруг нас существуют и более тонкие закономерности, выходящие за пределы обычной логики, оперирующей понятиями «истина» — «ложь» — «неизвестно». Например, научно установлено, что между длиной волос человека и его ростом существует отрицательная корреляция (стохастическая зависимость), то есть, если взять случайного гражданина России и сообщить нам, что у него короткие волосы, мы сможем с высокой вероятностью утверждать, что его рост выше среднего. Теперь вы узнаете, что у меня короткие волосы. Дает ли это вам какую-то дополнительную информацию о моем росте? Правильный ответ нет.

И таких примеров очень много (например, существует ли взаимосвязь между ценой помидоров в супермаркете и их качеством или взаимосвязь между джинсами определенной марки и моей привлекательностью в глазах девушек; стоит ли проходить платный диагностический тест, дающий правильный ответ в 90% случаев для определения болезни, встречающейся у одного из десяти тысяч человек). Для понимания, когда взаимосвязи существуют, а когда это ложные корреляции, порожденные неучтенными факторами, нужно иметь представления об основах теории вероятностей и теореме Байеса. Ну или хотя бы развитый здравый смысл и твердую четверку по геометрии.

Современная математика покрывает гораздо более широкий круг вопросов, выходящий далеко за рамки бытовых. Крупнейшие поисковые системы, благодаря которым вы, возможно, и читаете данную статью, напичканы математическими моделями, которые позволяют подстраивать параметры выдачи результата нашего поискового запроса под конкретного пользователя. Иными словами, на один и тот же запрос Google мне выдаст одни ссылки, а вам другие просто потому что, мы зашли в браузер под разными gmail аккаунтами. Сложные математические модели используются инвестиционными фондами, которые распоряжаются нашими сбережениями; онлайн-магазинами, которые рекомендуют нам те или иные товары; светофорами, которые уменьшают вероятности возникновения пробок на улицах благодаря постоянной корректировке своего режима; и многих других технологиях, окружающих нас.

Активнейшее применение находят математические методы и в современных естественных и гуманитарных науках. Обработка данных с Большого адронного коллайдера породила целую отрасль математики, т.н. анализ больших данных (big data). Биологи используют сложные математические методы для восстановления эволюционного дерева по остаткам геномов и органов вымерших особей. Химики осуществляют поиск перспективных для будущего синтеза полимеров, используя алгоритмы математического моделирования. Искусствоведы определяют с помощью математики авторов анонимных литературных произведений и художественных полотен. Наконец, нельзя не отметить революцию в области математических методов машинного обучения, которая происходит на наших глазах. С появлением и успешным применением глубинных нейронных сетей (deep neural networks) человечество стало стремительно приближаться к созданию искусственного интеллекта. Уже сейчас старшеклассник, умеющий программировать, может самостоятельно построить новую нейросетевую модель, которая сможет решить очередную задачу (например, синтеза музыки, понимания изображений, и пр.), считавшуюся ранее подвластной только человеческому интеллекту.

Математика постоянно учит нас тому, что кажущиеся нерешаемыми задачи можно решить, если перейти на новый уровень мышления. Мы делим четыре на семь, вычитаем из двух девять, оперируем с иррациональными числами, сталкиваемся с тем, что у одного уравнения может быть много решений, хотя каждый раз приходится преодолевать некоторый разрыв шаблона. Изучение математики помогает понять, что многие истины, которые мы привыкли считать абсолютными, на самом деле относительны, а многое из того, что нам казалось имеющим разную природу, на самом деле частные случаи одного и того же явления только под другим углом зрения. Такие эффекты наблюдаются не только в математике и ее приложениях, но и, например, в политике.