Линейные отображения, сохраняющие множество матриц полного спектра

Выполнил: Тишутин Павел Сергеевич

Задача классификации матричных отображений, сохраняющих спектральные условия, входит в популярную область исследований Linear Preserver Problems (LPP), объединяющей методы линейной алгебры, теории операторов и других дисциплин. LPP восходит еще к результату Фробениуса 1897 года об описании биективных линейных отображений матричной алгебры, сохраняющих определитель. Оказывается, что такие отображения есть домножение справа и слева на невырожденные матрицы, определитель произведения которых равен единице, либо также композиция этих преобразований с транспонированием. То, что такие преобразования линейны, биективны и сохраняют определитель – очевидно. Удивительно то, что только линейные отображения такого вида (который мы далее будем называть стандартным) будут сохранять определитель.

Этот красивый результат Фробениуса получил большую популярность. Впоследствии, Дьёдонне расширил этот результат на отображения, сохраняющие вырожденность, а Долинар иШемрл в 2002 году доказали, что сюръективные отображения, удовлетворяющие пучковому условию, также являются линейными. Позднее было доказано, что достаточно сохранять нулевые значения определителя пучка матриц. Однако эти результаты требуют дальнейшего исследования для более широкого класса полей и изменения требований на отображение, что имеет высокий потенциал для развития теории.

Презентация (Тишутин) (PPTX, 274 Кб)

Итоговая документация