Семинар НУГ Дифференциальные уравнения и численные методы

21 февраля 2019г. в 18:10 в кампусе на Шаболовке в ауд. 5406 состоится очередное заседание научно-исследовательского семинара в рамках НУГ. Доклад Е.О.Бурлоков о моделировании функций коры головного мозга.

"Некоторые аспекты математической теории нейронных полей"

Евгений Олегович Бурлаков

Научный сотрудник института X-BIO Тюменского государственного университета


Математическое моделирование функций коры головного мозга является актуальной задачей нейробиологии. Нейроматематика рассматривает неокортекс как абстрактную специфическую среду, стандартно обозначая её термином "нейронное поле". В настоящем докладе затрагиваются вопросы моделирования нейронных полей с использованием интегро-дифференциальных и более общих интегральных уравнений, где правая часть представляет собой оператор типа Гаммерштейна. Предлагаются подходы к установлению связи между множествами непрерывных и разрывных решений для уравнений нейронных полей. Подобные задачи возникают при выборе модели процесса перехода нейрона между состояниями покоя и активности. Предлагаемые подходы исследования данной проблематики основываются на компактности соответствующих операторов в специальных топологиях, используют теорию упорядоченных пространств, теорию топологической степени, а также методы многозначного анализа. Таким образом, получаются условия разрешимости уравнений нейронных полей в предположениях как непрерывности, так и разрывности нелинейной части соответствующих операторов Гаммерштейна, а также условия непрерывной зависимости соответствующих решений при переходе от непрерывного моделирования процесса активации нейрона к разрывному. Актуальность таких задач обусловлена отсутствием на данный момент в математической теории нейронных полей строгих обоснований процедуры предельного перехода от сигмоидальных функций активации нейрона "нарастающей крутизны" к разрывной функции активации типа Хевисайда. Далее рассматриваются модели нейронных полей с пространственной микроструктурой, представленные уравнениями Гаммершрейна с ядрами интегрирования, зависящими от малого параметра. При помощи техники "2-scale convergence", использующей теорию банаховых алгебр со средним значением, такие уравнения сводятся к соответствующим усредненным интегральным уравнениям. Рассматривается влияние микроструктуры на свойства пространственно локализованных стационарных решений уравнений нейронных полей с пространственной микроструктурой. Использование нейромоделей, учитывающих микроструктуру нейронной среды, мотивировано, например, ориентационными колонками первичной зрительной коры. В заключение обсуждаются перспективы исследования решений уравнений нейронных полей типа "бегущая волна", обычно получаемых на основе стационарных решений.