Семинар НУГ "Дифференциальные уравнения и численные методы"
16 мая 2019г. в 18:00 в кампусе на Шаболовке в ауд. 4238 состоится очередное заседание научно-исследовательского семинара в рамках НУГ. Доклад Е.А.Бурлакова о популярных методах моделирования "нейроных полей" головного мозга и их связей.
"Некоторые аспекты математической теории нейронных полей"
Евгений Олегович Бурлаков (PhD NMBU – Норвежский университет естественных наук)
Научный сотрудник Тюменского государственного университета.
Математическое моделирование функций коры головного мозга является актуальной задачей нейробиологии, которую решает нейроматиматика, рассматривающая неокортекс как абстрактную специфическую среду, стандартно обозначая ее термином "нейронное поле". В настоящем докладе затрагиваются вопросы моделирования нейронных полей на основе интегро-дифференциальных и более общих интегральных уравнений, где правая часть представляет собой оператор типа Гаммерштейна. Предлагаются подходы к установлению связи между множествами решений непрерывных и разрывных уравнений нейронных полей. Подобные задачи возникают при выборе модели процесса перехода нейрона между состояниями покоя и активности. Предлагаемые подходы исследования данной проблематики основываются на компактности соответствующих операторов в специальных топологиях, используют теорию упорядоченных пространств, теорию топологической степени, а также методы многозначного анализа. Таким образом, получаются условия разрешимости уравнений нейронных полей в предположениях как непрерывности, так и разрывности нелинейной части соответствующих операторов Гаммерштейна, а также условия непрерывной зависимости соответствующих решений при переходе от непрерывного моделирования процесса активации нейрона к разрывному. Актуальность таких задач обусловлена отсутствием на данный момент в математической теории нейронных полей строгих обоснований процедуры предельного перехода от сигмоидальных функций активации нейрона "нарастающей крутизны" к разрывной функции активации типа Хевисайда. Далее рассматриваются модели нейронных полей с пространственной микроструктурой, представленные уравнениями Гаммершрейна с ядрами интегрирования, зависящими от малого параметра. При помощи техники "2-scale convergence", использующей теорию банаховых алгебр со средним значением, такие уравнения сводятся к соответствующим усредненным интегральным уравнениям. Рассматривается влияние микроструктуры на свойства пространственно локализованных стационарных решений уравнений нейронных полей с пространственной микроструктурой. Использование нейромоделей, учитывающих микроструктуру нейронной среды, мотивировано, например, морфологией первичной визуальной коры головного мозга (V1). Рассматривается численная схема решения 2D уравнения нейронного поля.