Вторая мини-школа "Геометрия, топология и математическая физика в Черноголовке"

Старший научный сотрудник Антон Айзенберг прочёл лекцию для студентов

28-29 сентября в Черноголовке прошла вторая мини-школа "Геометрия, топология и математическая физика в Черноголовке", организованная кафедрой высшей геометрии и топологии мех-мата МГУ и Институтом теоретической физики им. Ландау.

Антон Айзенберг подготовил для школы лекцию "Комбинаторная геометрия потока Тоды и замощение пространства пермутоэдрами". 

Поток Тоды -- это динамическая система, описывающая поведение n точечных частиц на прямой, между которыми действуют силы отталкивания, экспоненциально убывающие в зависимости от расстояния. В открытой цепочке Тоды взаимодействуют 1-ая и 2-ая частицы, 2-ая и 3-я, ..., (n-1)-ая и n-ая. При стремлении времени к бесконечности, частицы разлетаются, а их скорости стабилизируются. В периодической (или замкнутой) цепочке Тоды добавляется взаимодействие между 1-ой и n-ой частицей. Из-за него частицы не разлетаются, а демонстрируют квазипериодическое движение вокруг общего центра масс, который движется по прямой с постоянной скоростью.

И замкнутый и открытый потоки Тоды удобно переписать в виде пары Лакса, то есть в виде матричного дифференциального уравнения. Мы забудем про изначальную формулировку, и будем изучать поток Тоды как динамическую систему на пространстве периодических трехдиагональных симметричных матриц с фиксированным простым спектром. В этом пространстве есть открытое подмножество, которое расслаивается на торы Лиувилля-Арнольда, соответствующие траекториям периодического потока Тоды. Дополнение до этого открытого множества будем называть дискриминантом: оно соответствует потокам открытых цепочек Тоды.

Известно, что евклидово пространство можно замостить параллельными копиями правильного пермутоэдра. Если факторизовать такое замощение по некоторой специальной подрешетке, то получится удивительное разбиение тора на пермутоэдры. С одной стороны, это разбиение описывает комбинаторику дискриминанта потока Тоды. С другой стороны, оно позволяет явно построить кристаллизацию (то есть минимальное по числу вершин симплициально-клеточное разбиение) тора любой размерности.