Семинар по алгебраическим группам преобразований
под руководством д.ф.-м.н. И.В. Аржанцева, к.ф.-м.н. С.А. Гайфуллина и к.ф.-м.н. А.Ю. Перепечко.
Семинар проходит в корпусе НИУ ВШЭ на Покровском бульваре, 11 или в дистанционном режиме на платформе Zoom. Если вы хотите подписаться на рассылку семинара или оформить разовый пропуск, пожалуйста, свяжитесь с Дмитрием Чунаевым по электронной почте dchunaev@hse.ru
2025 год
126 28 мая - Делимые элементы в алгебраических полугруппах (Кирилл Селин)
Элемент x полугруппы S называется делимым, если для любого натурального n найдется такой элемент y из S, что yn = x. В докладе будет доказано, что для любой алгебраической полугруппы существует такое натуральное m, что для любого элемента x полугруппы S элемент xm является делимым. Доказательство основано на результатах статьи (Michel Brion and Lex Renner, Algebraic Semigroups are Strongly π-regular), позволяющих свести данный вопрос к аналогичному вопросу для алгебраических групп.
125 23 апреля - Конечная порождённость алгебр Ли полиномиальных векторных полей на алгебраических многообразиях (Иван Бельдиев)
В докладе речь пойдёт об алгебрах Ли полиномиальных векторных полей на аффинном алгебраическом многообразии X. За исключением тривиального случая dim X = 0 такие алгебры бесконечномерны, и интересен вопрос, могут ли они быть порождены конечным числом элементов. Мы рассмотрим случаи, когда X является аффинным пространством, специальной линейной группой и поверхностью Данилевского. В каждом из них мы докажем конечную порождённость алгебры полиномиальных векторных полей на X, предъявив в явном виде набор порождающих. Также мы обсудим связь данного вопроса с задачей поиска конечного набора автоморфизмов многообразия X (как голоморфных, так и алгебраических), порождающих подгруппу, действующую на X бесконечно транзитивно. Доклад основан на недавних работах Р. Андриста.
124 9 апреля - Принципы построения контрпримеров к обобщённой гипотезе сокращения (Сергей Гайфуллин)
В докладе мы рассмотрим некоторые известные контрпримеры к обобщённой гипотезе сокращения, то есть такие пары аффинных неприводимых многообразий X и Y, которые не изоморфны, но становятся изоморфными при умножении каждого из них на прямую. Обсудим из каких принципов можно строить такие пары многообразий: геометрический и алгебраический подход. Будет дан обзор известных примеров таких многообразий и приведён (без подробного доказательства) построенный А. Дюбуло в 2015 году пример двух неизоморфных жёстких аффинных поверхностей, таких что при умножении на двумерное аффинное пространство каждого из них они становятся изоморфны. То, что при умножении на прямую данные поверхности не становятся изоморфными, это несложная известная теорема, которую мы обязательно докажем.
123 2 апреля - Гипотеза Доулинга и Уилсона (Антон Шафаревич)
Пусть V — векторное пространство размерности n и S — конечный набор ненулевых векторов, порождающих V. Обозначим через Lp множество подпространств в V размерности p, порожденных некоторым подмножеством набора S. В 1974 году Доулинг и Уилсон предположили, что если p не больше n/2, то мощность множества Lp не превосходит мощности Ln-p. Несмотря на кажущуюся простоту утверждения, эта гипотеза была доказана только в 2017 году математиками June Huh и Botang Wang. В докладе я расскажу про основные идеи доказательства.
122 26 марта - Изоморфизмы торических многообразий (Кирилл Рассолов)
В докладе планируется доказать, что два торических многообразия, изоморфные в категории абстрактных многообразий, являются изоморфными и в категории торических многообразий. Последнее означает, что между ними существует эквивариантный изоморфизм. Доказательство основано на понятии реализации Кокса и технике поднятия морфизма исходных многообразий до морфизма их реализаций Кокса. В связи с этим мы сформулируем понятие фактор-реализации, частным случаем которого является реализация Кокса, и сформулируем общую теорему, описывающую всевозможные поднятия данного морфизма до морфизма фактор-реализаций. Доклад основан на статье Florian Berchtold "Lifting of morphisms to quotient presentations".
121 19 марта - Редуктивные алгебраические моноиды (Роман Авдеев)
Неприводимое алгебраическое многообразие X называется алгебраическим моноидом, если оно снабжено ассоциативной бинарной операцией X × X → X, являющейся морфизмом и допускающей нейтральный элемент. Известно, что группа обратимых элементов G(X) алгебраического моноида X образует в нём открытое подмножество и она естественным образом наделяется структурой алгебраической группы. Алгебраический моноид X называется редуктивным, если группа G(X) редуктивна. Редуктивные алгебраические моноиды изучались в работах Реннера, Винберга и Риттаторе. В докладе планируется обсудить базовые результаты о редуктивных алгебраических моноидах и их классификацию.
120 12 марта - Идемпотенты в алгебраических полугруппах и моноидах (Юлия Зайцева)
Алгебраическое многообразие X с заданной ассоциативной бинарной операцией ✱: X × X → X называется алгебраической полугруппой, если ✱ является морфизмом. Алгебраическая полугруппа (X, ✱) называется алгебраическим моноидом,если в ней есть нейтральный элемент. Идемпотентами называются такие элементы x в X, что x ✱ x = x. Мы поговорим про несколько общих утверждений из структурной теории алгебраических полугрупп и моноидовvпо статьям М.Бриона "On Algebraic Semigroups and Monoids" и "On Algebraic Semigroups and Monoids, II". Например, обсудим свойства подмногообразия идемпотентов и связь идемпотентов, идеалов и подполугрупп. В частности, мы докажем, что в любой алгебраической полугруппе есть идемпотент, а в любой коммутативной алгебраической полугруппе число идемпотентов конечно.
119 5 марта - Группы и алгебры Каца-Муди - II (Михаил Игнатьев)
Существует несколько естественных обобщений теории полупростых групп и алгебр Ли на бесконечномерный случай. Одним из самых естественных являются группы и алгебры Каца-Муди. Грубо говоря, они соответствуют случаю вырожденной матрицы Картана. Я планирую рассказать про структурную теорию таких групп и алгебр и про соответствующие аналоги групп Вейля. Я также собираюсь обсудить аналоги многообразий флагов для таких групп. Я хочу описать несколько сюжетов, связанных с классификацией касательных конусов к многообразиям флагов для таких групп, и сформулировать открытые вопросы в этой области.
118 26 февраля - Группы и алгебры Каца-Муди (Михаил Игнатьев)
Существует несколько естественных обобщений теории полупростых групп и алгебр Ли на бесконечномерный случай. Одним из самых естественных являются группы и алгебры Каца-Муди. Грубо говоря, они соответствуют случаю вырожденной матрицы Картана. Я планирую рассказать про структурную теорию таких групп и алгебр и про соответствующие аналоги групп Вейля. Я также собираюсь обсудить аналоги многообразий флагов для таких групп. Я хочу описать несколько сюжетов, связанных с классификацией касательных конусов к многообразиям флагов для таких групп, и сформулировать открытые вопросы в этой области.
117 29 января - Проблема изоморфизма для коммутативных моноидальных колец (Алина Никитина)
Пусть M, N — конечно порождённые коммутативные моноиды с сокращением и свободные от кручения, R – коммутативное кольцо. И пусть их моноидальные кольца R[M] и R[N] изоморфны как R-алгебры. Задача заключается в том, чтобы понять, являются ли сами моноиды M и N изоморфными. В рамках доклада будет представлено почти полное решение этой задачи. Доклад основан на статье Joseph Gubeladze "The isomorphism problem for commutative monoid rings".
116 22 января - Алгоритмы, связанные с локально нильпотентными дифференцированиями (Михаил Петров)
В докладе планируется обсудить некоторые полезные алгоритмы, связанные с ЛНД. В их числе алгоритм ван ден Эссена, позволяющий найти ядро ЛНД, а также ряд алгоритмов на его основе. Будут приведены примеры использования представленных алгоритмов. Доклад основан на книге A. van den Essen “Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture”, а также на главе 8 книги G. Freudenburg “Algebraic Theory of Locally Nilpotent Derivations”.
2024 год
115 18 декабря - Техника изолированных неприводимых полуинвариантов (Сергей Гайфуллин)
Рассмотрим действие тора на аффинном многообразии. Неприводимым изолированным полуинвариантом называется неприводимый элемент алгебры регулярных функций, который является полуинвариантом относительно данного действия тора и вес которого отделяется линейной функцией от весов непропорциональных неприводимых полуинвариантов. В работе Боровик-Гайфуллин (2024) доказано, что существует лишь конечное число (возможно нулевое) классов ассоциированности изолированных неприводимых полуинвариантов. При эквивариантных изоморфизмах многообразий изолированные неприводимые полуинварианты переходят в неприводимые изолированные полуинварианты, что даёт инструмент для изучения эквивариантных автоморфизмов и изоморфизмов некоторых классов многообразий. В случае жёстких многообразий все автоморфизмы являются эквивариантными относительно максимального тора, если применить подходящий автоморфизм тора. В докладе будет рассказан результат той же работы Боровик-Гайфуллин (2024), где доказана гипотеза Зайденберга-Перепечко о том, что связная компонента группы автоморфимов жёсткого многообразия является алгебраическим тором, для случая многообразий с действием тора сложности 1.
Веса неприводимых изолированных полуинвариантов дают конечное подмножество в решётке характеров тора. Если два таких множества не переводятся друг в друга автоморфизмом решётки, то данные многообразия не изоморфны как многообразия с действием тора. В частности, это даёт способ доказать, что два действия тора на многообразии не сопряжены. В докладе будет показано, что произведение поверхности Данилевского на прямую допускает бесконечное число несопряжённых двумерных торов в группе автоморфизмов. Данный результат был получен в 1989 году Данилевским в его знаменитом препринте. Доказательство там другое, но не сложнее. Подход, основанный на рассмотрении весов изолированных неприводимых полуинвариантов хорош тем, что его можно применить к широкому классу аналогичных многообразий.
114 11 декабря - Конструкция локального слайса (Тимофей Вилкин)
Пусть B = K[x,y,z] — алгебра многочленов от трёх переменных. В докладе будет рассмотрена конструкция, позволяющая построить из одного ЛНД на B другое с помощью локального слайса специального вида. Также мы докажем теорему о том, что любое ЛНД ранга не больше чем два получается за конечное число применений такой конструкции из частной производной по одной из переменных. Доклад сделан в рамках образовательных мероприятий проекта Международное академическое сотрудничество.
113 27 ноября - Продолжения изоморфизмов замкнутых подмногообразий аффинного пространства (Антон Трушин)
Известно, что изоморфизм между прямыми, вложенными в аффинную плоскость, продолжается до автоморфизма плоскости. Данный результат известен как теорема Абъянкара-Моха-Судзуки [1,2]. Позже было показано, что аналогичное утверждение имеет место для прямых в аффинном пространстве размерности четыре и больше [3]. Более того, изоморфизм между гладкими подмногообразиями размерности m в пространстве размерности n > 2m + 1 также продолжается до автоморфизма пространства [4].
В докладе мы рассмотрим результаты работ [3] и [4].
[1] M. Suzuki. Propi´et´es topologiques des polynomes de deux variables complexes, et automorphismes alg´ebrigue de lespace C2, J. Math. Soc. Japan, 26 (1974), 241-257
[2] S. Abhyankar and T.-T. Moh. Embeddings of the line in the plane. J. Reine Angew. Math. 276 (1975), 148-166
[3] Z. Jelonek. The extension of regular and rational embeddings/ Math. Ann. 277 ( 1987), 113-120
[4] S. Kaliman. Extensions of isomorphisms between affine algebraic subvarieties of Kn to automorphisms of Kn. Proc. Amer. Math. Soc. 113 (1991), 325-334
112 13 ноября - Максимальные унипотентные подгруппы в группах автоморфизмов аффинных многообразий (Александр Перепечко)
Подгруппа U в группе автоморфизмов аффинного многообразия X называется исчерпаемой унипотентной, если она равна объединению возрастающей цепочки алгебраических унипотентных подгрупп. Опираясь на следствие из работы А.А.Скутина, мы опишем максимальные исчерпаемые унипотентные подгруппы. Также мы опишем связь между максимальными исчерпаемыми унипотентными подгруппами, максимальными коммутативными унипотентными подгруппами, и действиями векторных групп (Ga)k на Х, где k не превосходит dim(X), с тривиальным стабилизатором на орбитах общего положения.
111 6 ноября - Максимальные алгебры Ли среди локально нильпотентных дифференцирований (Александр Перепечко)
Пусть множество А локально нильпотентных дифференцирований (ЛНД) на алгебре многочленов образует алгебру Ли.
В одноимённой работе А.А.Скутина доказано, что А сопряжено алгебре треугольных ЛНД при условии тривиальности пересечения ядер элементов А.
Доказательство основано на введённом понятии локально нильпотентных подмножеств дифференцирований и методе индукции.
Мы разберём данное доказательство и выведем следствие о подмножествах ЛНД на алгебре функций произвольного аффинного многообразия.
110 23 октября - Полные гладкие торические многообразия с малым числом Пикара - II (Кирилл Шахматов)
В продолжении доклада мы рассмотрим конструкцию двойственности Гейла, введённую в работе [2], а также её целочисленную модификацию. Мы обсудим связь этих конструкций с группой классов дивизоров торического многообразия. Язык связок конусов, разработанный в статье [1], позволяет интерпретировать комбинаторные свойства веера торического многообразия в терминах двойственных по Гейлу данных. Мы рассмотрим описание результатов из первого доклада в этих терминах и обсудим, как техника двойственности Гейла используется в похожих задачах. Доклад сделан в рамках образовательных мероприятий проекта Международное академическое сотрудничество.
[1] Florian Berchtold and Jürgen Hausen. Bunches of cones in the divisor class group — A new combinatorial language for toric varieties. Int. Math. Res. Not. IMRN 2004 (2004), no. 6, 261-302
[2] Tadao Oda and Hye Sook Park. Linear Gale transforms and Gelfand-Kapranov-Zelevinskij decompositions. Tohoku Math. J. (2) 43 (1991), no. 3, 375-399
109 9 октября - Полные гладкие торические многообразия с малым числом Пикара (Кирилл Шахматов)
Пусть X – полное гладкое торическое многообразие с числом Пикара ρ. Рассмотрим задачу описания таких многообразий X при ρ ≤ 3. Нетрудно видеть, что при ρ = 1 многообразие X изоморфно проективному пространству. В работах [2] и [1] получена классификация многообразий X при ρ = 2 и ρ = 3 соответственно. В докладе мы обсудим результаты этих работ, а также связанную с ними технику двойственности Гейла. Доклад сделан в рамках образовательных мероприятий проекта Международное академическое сотрудничество.
[1] Victor Batyrev. On the classification of smooth projective toric varieties. Tohoku Math. J. (2) 43 (1991), no. 4, 569–585
[2] Peter Kleinschmidt. A classification of toric varieties with few generators. Aequationes Math. 35 (1988), no. 3, 254–266
108 11 сентября - A Characterization of Rationality and Borel Subgroups (Immanuel van Santen)
This is joint work with Andriy Regeta and Christian Urech. In this talk, we focus on the following two questions about the group of birational transformations, Bir(X), of an irreducible variety X:
1. If Bir(X) and Bir(Pn) are isomorphic, does this imply that X and Pn are birational?
2. What are the Borel subgroups of Bir(X)?
The first question was answered affirmatively in 2014 by Serge Cantat under the additional assumption that dim X ≤ n. We prove that the first question has an affirmative answer without this extra assumption (and we do not use the result of Serge Cantat).
Regarding the second question, Jean-Philippe Furter and Isac Hedén completely classified the Borel subgroups of Bir(Pn) in 2023 for the case n = 2. We prove that any Borel subgroup of Bir(X) has derived length at most twice the dimension of X, and if equality holds, then X is rational, and the Borel subgroup is conjugate to the standard Borel subgroup in Bir(Pn). Moreover, we provide examples of Borel subgroups in Bir(Pn) of derived length less than 2n for any n ≥ 2 (the case n = 2 was treated by Furter and Hedén). This answers affirmatively a conjecture of Vladimir Popov.
107 19 июня - Не конечно порождённые ядра локально нильпотентных дифференцирований на алгебре многочленов (Сергей Гайфуллин)
В докладе мы разберём пример Дайгля-Фройденбурга локально нильпотентного дифференцирования алгебры многочленов от 5 переменных с не конечно порождённым ядром. Мы определим SAGBI-базис, который является аналогом базиса Грёбнера, но не для идеала, а для подкольца, и вычислим SAGBI-базис ядра этого дифференцирования. Также мы опишем идеал в ядре, который в некотором смысле показывает, насколько сильно данное кольцо отличается от конечно порожденного. Доклад основан на статье S. Hart "The finite generation ideal for Daigle & Freudenburg’s counterexample to Hilbert’s fourteenth problem" https://arxiv.org/pdf/2203.15569
106 5 июня - Рациональные факториальные области целостности - II (Александр Чернов)
Пусть B - область целостности, допускающая положительную Z-градуировку. Тогда по данной градуировке можно построить некоторую последовательность элементов кольца B, обладающую рядом полезных свойств и называемую сигнатурной последовательностью. В докладе планируется обсудить эту конструкцию и с помощью нее описать все рациональные UFD степени трансцендентности 2, допускающие положительную Z-градуировку, над алгебраическим замкнутым полем. Доклад основан на статье Gene Freudenburg и Takanori Nagamine https://arxiv.org/abs/1812.04979
105 22 мая - Аддитивные действия с конечным числом орбит (Антон Шафаревич)
Аддитивным действием на многообразии называется такое действие векторной группы, у которого есть открытая орбита. В своем докладе я расскажу о примерах многообразий, допускающих аддитивные действия с конечным числом орбит.
104 15 мая - Рациональные факториальные области целостности - I (Александр Чернов)
Пусть B - область целостности, допускающая положительную Z-градуировку. Тогда по данной градуировке можно построить некоторую последовательность элементов кольца B, обладающую рядом полезных свойств и называемую сигнатурной последовательностью. В докладе планируется обсудить эту конструкцию и с помощью нее описать все рациональные UFD степени трансцендентности 2, допускающие положительную Z-градуировку, над алгебраическим замкнутым полем. Доклад основан на статье Gene Freudenburg и Takanori Nagamine https://arxiv.org/abs/1812.04979
103 24 апреля - Конструкция двойственности Пясецкого для линейных представлений с конечным числом орбит (Даниил Шунин)
Пусть V - линейное представление связной комплексной алгебраической группы G, и пусть группа имеет в нем конечное число орбит. Тогда, как было показано В.С. Пясецким в работе 1975 г., двойственное представление V* обладает тем же свойством, причем число орбит в обоих случаях одинаково. Более того, между орбитами в этих представлениях имеется естественная биекция. В докладе планируется обсудить конструкцию двойственности Пясецкого и представить ее явное описание для естественных представлений групп SO x GL и Sp x GL, включая вопрос о примыкании орбит.
Доклад основан на статье В.С.Пясецкого “Линейные группы Ли, действующие с конечным числом орбит”
https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=2296&option_lang=rus
102 17 апреля - Rigidity and Rationality of Pham-Brieskorn Threefolds (Michael Chitayat)
A ring B is said to be rigid if the only locally nilpotent derivation D: B -> B is the zero derivation. We prove that a 3-dimensional Pham-Brieskorn ring Ba0, a1, a2, a3 = C[X0,X1,X2,X3] / (X0a0 + X1a1 + X2a2 + X3a3) is not rigid if and only if ai = 1 for some i or ai = aj = 2 for distinct i and j. We also determine for which (a0, a1, a2, a3) the ring Ba0, a1, a2, a3 is rational. The content in the first part of the talk consists of joint work with Adrien Dubouloz.
101 3 апреля - Единый подход к вложению прямой в трехмерное пространство (Дмитрий Чунаев)
Пусть у нас есть замкнутое вложение аффинных пространств Am в An. Вопрос о том, эквивалентно ли это вложение стандартному, называется проблемой вложения и в общем случае остается открытым. В частности, неизвестен ответ для вложений A1 в A3. В докладе будет дан новый подход к этому вопросу, связанный с построением сильных остаточных координат. Этот подход дает новые доказательства результатов Bhatwadekar-Roy и Kuroda про вложения вида (tn, tm, tl + t), а также позволяет их обобщить. Доклад основан на статье Drew Lewis "A unified approach to embeddings of a line in 3-space" https://arxiv.org/abs/2203.08178
100 20 марта - The Abhyankar-Sathaye Epimorphism Conjecture (Neena Gupta)
In this talk we shall discuss the Abhyankar-Sathaye Epimorphism Conjecture and present a few examples of linear hyperplanes where this conjecture holds. These are based on joint works with Parnashree Ghosh and Ananya Pal.
99 6 марта - Однородные локально нильпотентные дифференцирования на аффинных многообразиях с действием тора - II (Роман Авдеев)
Пусть X – нормальное неприводимое аффинное алгебраическое многообразие, снабжённое эффективным регулярным действием алгебраического тора T. Сложностью данного действия называется коразмерность T-орбит общего положения в X. Если сложность равна 0, то многообразие X называется торическим, и в этом случае хорошо известно описание всех возможных X в терминах рациональных полиэдральных конусов. В 2006 г. в работе К. Альтмана и Ю. Хаузена было показано, что всякое многообразие X произвольной сложности может быть получено с помощью единой конструкции, использующей так называемые собственные полиэдральные дивизоры. В докладе планируется обсудить эту конструкцию и основанное на ней описание однородных локально нильпотентных дифференцирований алгебры регулярных функций на X, полученное в 2010 г. в работах А. Льендо.
98 28 февраля - Однородные локально нильпотентные дифференцирования на аффинных многообразиях с действием тора - I (Роман Авдеев)
Пусть X – нормальное неприводимое аффинное алгебраическое многообразие, снабжённое эффективным регулярным действием алгебраического тора T. Сложностью данного действия называется коразмерность T-орбит общего положения в X. Если сложность равна 0, то многообразие X называется торическим, и в этом случае хорошо известно описание всех возможных X в терминах рациональных полиэдральных конусов. В 2006 г. в работе К. Альтмана и Ю. Хаузена было показано, что всякое многообразие X произвольной сложности может быть получено с помощью единой конструкции, использующей так называемые собственные полиэдральные дивизоры. В докладе планируется обсудить эту конструкцию и основанное на ней описание однородных локально нильпотентных дифференцирований алгебры регулярных функций на X, полученное в 2010 г. в работах А. Льендо.
97 14 февраля - Коммутаторная длина алгебры Ли векторных полей на гладкой аффинной кривой (Вероника Киктева)
Следуя статье [1], мы докажем, что коммутаторная длина простой алгебры Ли векторных полей на гладкой неприводимой аффинной кривой C с тривиальным касательным расслоением не превосходит трёх. Если, в дополнение к этому, C является плоской кривой, то коммутаторная длина Vec(C) не больше двух. Если при этом C имеет единственную точку на бесконечности, то коммутаторная длина Vec(C) равна двум. Затем мы покажем, что коммутаторная длина Vec(C) для рациональной гладкой аффинной кривой C равна одному, что опровергает гипотезу [2, Conjecture 1], упомянутую в предыдущем докладе.
[1] Ievgen Makedonskyi, Andriy Regeta. Bracket width of the Lie algebra of vector fields on a smooth affine curve. arXiv:2210.14787
[2] Adrien Dubouloz, Boris Kunyavskii, Andriy Regeta. Bracket width of simple Lie algebras. Doc. Math. 26 (2021), 1601-1627
96 7 февраля - Коммутаторная длина простых алгебр Ли (Тимофей Вилкин)
Пусть L – алгебра Ли над полем k. Минимальное число слагаемых коммутаторов, необходимое для представления каждого элемента коммутанта алгебры Ли L, называется коммутаторной длиной. Из предыдущего доклада известно, что для гладкого аффинного многообразия X над алгебраически замкнутым полем k нулевой характеристики алгебра Ли векторных полей на X проста. В докладе будет рассказано о примерах простых алгебр Ли векторных полей на аффинных многообразиях с коммутаторной длиной больше единицы. Доклад основан на статье Adrien Dubouloz, Boris Kunyavskii, Andriy Regeta "Bracket width of simple Lie algebras" https://arxiv.org/abs/2102.08674
95 24 января - Критерий простоты алгебры Ли векторных полей на аффинном многообразии (Иван Бельдиев)
В отличие от конечномерного случая, классификация бесконечномерных простых комплексных алгебр Ли неизвестна. Тем не менее изучены некоторые классы таких алгебр. В докладе речь пойдёт об алгебре Ли полиномиальных векторных полей на аффинном алгебраическом многообразии X, или, что то же самое, алгебре Ли всех дифференцирований алгебры регулярных функций на X. В случае, когда основное поле алгебраически замкнутое характеристики ноль, мы докажем, что алгебра Ли векторных полей на X проста если и только если X не имеет особых точек. Доклад основан на статье Yuly Billig & Vyacheslav Futorny. Lie algebras of vector fields on smooth affine varieties. Comm. Algebra 46 (2018), no. 8, 3413-3429
94 10 января - Вокруг теоремы Манина-Мамфорда для алгебраических групп (Екатерина Преснова)
Пусть G - алгебраическая группа. Рассмотрим множество точек кручения, то есть элементов конечного порядка группы G. В случае связной коммутативной группы G Марк Хиндри описал многообразия, являющиеся замыканием произвольного подмножества точек кручения. В своем докладе я расскажу про обобщение этого результата на случай произвольной связной алгебраической группы и приведу доказательство для случая линейной алгебраической группы. Доклад будет основан на результатах, полученных в работе Harry Schmidt, Immanuel van Santen "On the Manin-Mumford Theorem for Algebraic Groups" (https://arxiv.org/abs/2305.10261).
2023 год
93 6 декабря - Структура алгебраических групп (Дмитрий Тимашев)
Говоря "алгебраическая группа", мы обычно подразумеваем линейную алгебраическую группу, т.е. замкнутую подгруппу в группе невырожденных матриц или изоморфную таковой. Интерес к линейным алгебраическим группам оправдан тем, что они часто возникают в приложениях и имеют богатую структурную теорию и теорию представлений. Однако класс алгебраических групп шире. В частности, широко известны абелевы многообразия - алгебраические группы, являющиеся проективными многообразиями. Существуют и более общие алгебраические группы, не сводимые напрямую ни к линейным алгебраическим группам, ни к абелевым многообразием. Цель доклада - дать обзор структурной теории общих (связных) алгебраических групп.
92 22 ноября - Хаотические группы гомеоморфизмов двумерных топологических многообразий (Николь Тонышева)
Группа гомеоморфизмов топологического многообразия M, обладающая всюду плотной орбитой и всюду плотным объединением конечных орбит, называется хаотической. Показано, что группа гомеоморфизмов, которая является хаотической в смысле данного определения, чувствительна к начальным условиям относительно любой метрики, задающей топологию многообразия M. Таким образом, данное определение можно рассматривать как распространение на группы гомеоморфизмов понятия хаотической динамической системы в смысле Дивани.
Доклад будет посвящен построению счетных семейств попарно топологически не сопряженных хаотических групп гомеоморфизмов на любом компактном и некоторых некомпактных двумерных топологических многообразиях с краем или без края.
91 15 ноября - Конус численно эффективных дивизоров на торическом многообразии, двойственность Гейла и нормальные веера - II (Михаил Шенгелия)
В докладе будет рассмотрено описание конуса численно эффективных дивизоров (Nef–конуса) на торическом многообразии в терминах линейной двойственности Гейла. При незначительных ограничениях на веер, задающий многообразие, численная эквивалентность равносильна линейной эквивалентности, а Nef-конус натянут на классы без базисных точек в группе Пикара. В случае, когда веер многообразия симплициален, этот конус с помощью двойственности Гейла выражается через конфигурацию лучей веера. Полученное описание хорошо согласуется с критерием нормальности веера (необязательно рационального).
90 8 ноября - Конус численно эффективных дивизоров на торическом многообразии, двойственность Гейла и нормальные веера - I (Михаил Шенгелия)
В докладе будет рассмотрено описание конуса численно эффективных дивизоров (Nef–конуса) на торическом многообразии в терминах линейной двойственности Гейла. При незначительных ограничениях на веер, задающий многообразие, численная эквивалентность равносильна линейной эквивалентности, а Nef-конус натянут на классы без базисных точек в группе Пикара. В случае, когда веер многообразия симплициален, этот конус с помощью двойственности Гейла выражается через конфигурацию лучей веера. Полученное описание хорошо согласуется с критерием нормальности веера (необязательно рационального).
89 27 сентября - Метод орбит для бесконечномерных алгебр Ли (Михаил Игнатьев)
Основной инструмент в теории представлений конечномерных нильпотентных комплексных алгебр Ли - метод орбит, алгебраическая версия которого была создана Ж. Диксмье и его школой. Этот метод гласит, что примитивные идеалы в универсальной обёртывающей алгебре такой алгебры Ли классифицируются с помощью орбит коприсоединённого представления. При этом многие важные свойства примитивных идеалов допускают трактовку в терминах орбит.
Естественным обобщением конечномерного случая является рассмотрение локально нильпотентных алгебр Ли - прямых пределов конечномерных нильпотентных алгебр. Типичный пример: алгебра Гейзенберга со счётным числом образующих. Оказывается, что метод орбит допускает обобщение на бесконечномерный случай, только требуется несколько иная его формулировка. А именно, для произвольной локально нильпотентной алгебры Ли n имеется гомеоморфизм между пространством примитивных идеалов в универсальной обёртывающей алгебре U(n) и пространством примитивных пуассоновых идеалов в симметрической алгебре S(n). (В конечномерной ситуации это равносильно обычной формулировке метода орбит.)
В докладе я планирую подробно рассказать как о конечномерном, так и о бесконечномерном случаях. Также я хочу обсудить более сильные результаты, которые удаётся получить для специальных классов локально нильпотентных алгебр Ли - так называемых ниль-алгебр Ли-Дынкина. Кроме этого, я сформулирую ряд гипотез и открытых проблем в бесконечномерной ситуации.
Доклад частично основан на наших совместных работах с Алексеем Петуховым.
88 13 сентября - Критерий алгебраичности Ga - порожденной подгруппы (Антон Шафаревич)
Доклад будет основан на результатах, полученных в работе Hanspeter Kraft, Mikhail Zaidenberg "Algebraically generated groups and their Lie algebras" (https://arxiv.org/abs/2203.11356)
Пусть X - аффинное алгебраическое многообразие и L - подалгебра Ли в алгебре Ли дифференцирований на Х, порожденная локально нильпотентными дифференцированиями. В своем докладе я собираюсь рассказать доказательство теоремы о том, почему если L конечномерна, то группа, порожденная соответствующими Ga - действиями, является алгебраической.
87 6 сентября - Триномиальные многообразия (Сергей Гайфуллин)
Широко известный класс торических многообразий характеризуется тем, что на многообразии эффективно действует тор, размерность которого равна размерности многообразия. Наличие действующего тора большой размерности позволяет удобно работать с торическими многообразиями. Следующий класс, который разумно рассмотреть, это многообразия с действием тора сложности 1, то есть с эффективным действием тора, размерность которого на единицу меньше, чем размерность многообразия. Примером таких многообразий являются триномиальные гиперповерхности, то есть многообразия, заданное обращением в ноль многочлена, имеющего ровно три члена, причём каждая переменная входит только в один моном. Оказывается, что есть связь между произвольными многообразиями с действием тора сложности один и триномиальными многообразиями, то есть многообразиями (не обязательно гиперповерхностями), заданным некой согласованной системой триномов. Эта связь состоит в том, что тотальное координатное пространство любого многообразия с действием тора сложности 1 является триномиальным многообразием.
В докладе будет дано обзор в том числе недавних результатов (некоторая часть этих результатов получена коллективом лаборатории) о триномиальных многообразиях. Особый упор будет сделан на недавнем результате, полученном докладчиком совместно с П. Евдокимовой и А.Шафаревичем, который состоит в критерии жёсткости для триномиальных многообразий и описании группы автоморфизмов жёстких триномиальных многообразий.
86 14 июня - Интегрируемые образующие алгебр Ли векторных полей на группе SL(2) и на поверхности xy=z2 (Виктор Лопаткин)
В данном докладе мы разберём статью Р.Б. Андриста с одноимённым названием. Речь пойдёт о полиномиальных векторных полях на группе SL(2), рассматриваемой как аффинное многообразие, и на особой квадратичной поверхности Данилевского, которая задается уравнением xy = z2. Главным образом, нас будут интересовать порождающие алгебры Ли этих векторных полей. В случае SL(2), мы предъявим в явном виде четыре полных векторных поля, которые порождают алгебру Ли всех полиномиальных векторных полей на этом многообразии. Далее мы рассмотрим поверхность Данилевского. Известно, что эта поверхность есть торическое многообразие. Мы также явно опишем пять полных векторных полей, которые порождают алгебру Ли полиномиальных векторных полей на этом многообразии.
85 7 июня - Автоморфизмы алгебры инвариантов конечной группы (Сергей Гайфуллин)
Доклад основан на работе Janos Kollar "Automorphisms and twisted forms of rings of invariants", 2023. Пусть конечная группа действует линейно на аффинном пространстве. Так как действие линейно, оно коммутирует с действием одномерного тора гомотетиями. Это действие одномерного тора даёт нетривиальное действие одномерного тора на алгебре инвариантов. В докладе будут обсуждаться достаточные условия того, что других автоморфизмов у алгебры инвариантов нет. В размерностях 2 и 3 будут рассказаны критерии.
84 24 мая - Теорема Абъянкара — Моха — Судзуки (Антон Трушин)
Рассмотрим вложение прямой в плоскость, заданное парой многочленов f(t) и g(t). Тогда для этих многочленов должен найтись такой многочлен H(x,y), что H(f(t),g(t)) = t. Теорема Абъянкара — Моха — Судзуки связывает степени многочленов f и g: большая степень делится на меньшую степень без остатка. Теперь, применяя элементарные автоморфизмы, можно понижать сумму степеней многочленов f и g и, например, перевести исходную прямую в прямую x = 0. Доклад будет посвящён доказательству теоремы Абъянкара — Моха — Судзуки, данному Макар-Лимановым в 2017 году в статье [1].
[1] Л. Г. Макар-Лиманов. Теорема Абъянкара–Моха–Судзуки. Математическое просвещение, 2017, выпуск 21, 119–135
83 26 апреля - Алгебраически порожденные группы и их алгебры Ли (Антон Шафаревич)
Хорошо известно, что группа автоморфизмов аффинного алгебраического многообразия может не является алгебраической группой. Однако на ней можно ввести структуру инд-группы. В докладе будет рассказано о результатах, полученных Х. Крафтом и М. Зайденбергом, касающихся группы автоморфизмов аффинного алгебраического многообразия. В частности, будет рассказано о связи между алгебраическими подгруппами в группе автоморфизмов и подалгебрами Ли в алгебре Ли векторных полей на многообразии.
82 19 апреля - Неединственность индуцированного аддитивного действия на вырожденных гиперповерхностях (Иван Бельдиев)
Индуцированным аддитивным действием на проективной гиперповерхности называется эффективное регулярное действие группы (Ga)n с открытой орбитой, которое продолжается до регулярного действия на объемлющем пространстве. В работе [1] доказано, что на невырожденной гиперповерхности, то есть поверхности, не являющейся проективным конусом над гиперповерхностью в проективном пространстве меньшей размерности, существует не более одного индуцированного аддитивного действия с точностью до эквивалентности. Мы докажем обратное утверждение: если вырожденная гиперповерхность допускает индуцированное аддитивное действие, то на этой гиперповерхности есть хотя бы два неэквивалентных индуцированных аддитивных действия. Доклад основан на препринте [2].
[1] И.В.Аржанцев и Ю.И.Зайцева, “Эквивариантные пополнения аффинных пространств”, УМН, 77:4 (466) (2022), 3–90
[2] Ivan Beldiev. Gorenstein Algebras and Uniqueness of Additive Actions. arXiv:2303.05573
81 29 марта - Основы торической топологии II (Виктория Оганисян)
Мой доклад сущностно продолжит предыдущий. В первой части я продолжу обзор сюжетов и тем из торической топологии, потенциально интересных торическим геометрам. Одним из основных понятий торической топологии является момент-угол многообразие; я постараюсь осветить некоторые интересные конструкции, связывающие этот объект с торическими многообразиями. Во второй части я кратко расскажу о моих текущих исследованиях в сфере торической топологии: я изучаю, каким простым многогранникам соответствуют момент-угол многообразия, имеющие когомологии связной суммы произведений сфер; интересен и обратный вопрос: какие многообразия, являющиеся связными суммами произведений сфер, могут оказаться момент-угол комплексом для какого-либо простого многогранника.
80 1 марта - Основы торической топологии I (Русланс Алексеевс)
Доклад будет посвящен обзору торической топологии — молодой и активно развивающейся области математики, лежащей в пересечении топологии, комбинаторики, теории многогранников, комбинаторной коммутативной алгебры, алгебраической и симплектической геометрии. В первой части доклада мы обсудим основные понятия торической топологии и их свойства. Далее я расскажу некоторые сюжеты из торической топологии, пытаясь мотивировать целесообразность изучения рассматриваемых объектов. Во второй части доклада я попробую рассказать о моих текущих исследованиях, связанных с торической топологией, а именно о попытках обобщения классической для нестабильной теории гомотопий теоремы Хилтона-Милнора.
79 15 февраля - Del Pezzo quintics as equivariant compactifications of vector groups (Pedro Montero, Universidad Técnica Federico Santa María, Chile)
78 18 января - Mirror symmetry for special nilpotent orbit closures (Baohua Fu, Chinese Academy of Sciences, Beijing)
2022 год
77 14 декабря - Characterization of algebraic varieties by their groups of symmetries (Alvaro Liendo, Universidad de Talca, Chile)
76 7 декабря - Конечная порожденность ядер локально нильпотентных дифференцирований алгебры многочленов (Анна Каширкина)
75 18 ноября - Пример не конечно порожденного ядра локально нильпотентного дифференцирования (Вероника Треумова)
74 9 ноября - Matroid Schubert varieties as equivariant compactifications of affine spaces (Colin Crowley, University of Wisconsin–Madison, USA)
73 2 ноября - Структура исчерпаемых групп автоморфизмов (Александр Перепечко)
72 19 октября - Проблема линеаризации - II (Иван Аржанцев)
71 12 октября - Проблема линеаризации - I (Иван Аржанцев)
70 5 октября - Многогранник Гельфанда-Цетлина (Екатерина Преснова)
69 28 сентября - Модифицированные инварианты Макар-Лиманова и Дерксена (Сергей Гайфуллин)
68 14 сентября - Инварианты Макар-Лиманова и Дерксена (Вероника Киктева)
67 15 июня - Isometries of Mukai lattices (Иван Бельдиев)
66 25 мая - Map enumeration problem (Вероника Треумова)
65 11 мая - Wild automorphisms of graded algebras (Антон Трушин)
64 20 апреля - Hessenberg varieties (Екатерина Преснова)
63 6 апреля - Automorphism groups of affine varieties without non-algebraic elements (Александр Перепечко)
62 16 марта - Isotropy group of an LND of the polynomial algebra in three variables - II (Сергей Гайфуллин)
61 2 марта - Isotropy group of an LND of the polynomial algebra in three variables - I (Сергей Гайфуллин)
60 16 февраля - Characterization of affine toric varieties by their automorphism groups (Andriy Regeta)
59 4 февраля - Existence results for B-root subgroups on affine spherical varieties (Роман Авдеев)
58 2 февраля - The commuting derivations conjecture (Вероника Киктева)
57 19 января - Polytopal linear groups (Антон Шафаревич)
2021 год
56 29 декабря - Well-poised hypersurfaces (Виктория Боровик)
55 22 декабря - Gale duality and homogeneous toric varieties (Кирилл Шахматов)
54 8 декабря - On the family of affine threefolds xmy = F(x, z, t) - II (Nikhilesh Dasgupta)
53 24 ноября - On the family of affine threefolds xmy = F(x, z, t) - I (Nikhilesh Dasgupta)
52 10 ноября - Polynomial Lie Algebras (Денис Кремко)
51 20 октября - Holomorphic endomorphisms of C^n and countable subsets (Борис Билич)
50 13 октября - On Tits alternative for linear groups (Александр Попкович)
49 29 сентября - Подход к теории Гарсайда через CD-лемму - III (Виктор Лопаткин)
48 22 сентября - Подход к теории Гарсайда через CD-лемму - II (Виктор Лопаткин)
47 15 сентября - Подход к теории Гарсайда через CD-лемму - I (Виктор Лопаткин)
46 11 июня - Орбиты группы автоморфизмов аффинных орисферических многообразий (Сергей Гайфуллин)
45 28 мая - The Kaplansky zero divisor conjecture: a homotopical and homological approach (Viktor Lopatkin)
44 21 мая - Эквивалентность аффинных прямых на симплициальных торических многообразиях (Александр Перепечко)
43 7 мая - Структуры коммутативных алгебраических моноидов на аффинных поверхностях (Юлия Зайцева)
42 23 апреля - Квантовая торическая геометрия (Григорий Тароян)
41 2 апреля - G_a-действия вертикального типа на аффинных T-многообразиях (Кирилл Шахматов)
40 19 марта - Пространства арок торических многообразий (Александр Попкович)
39 3 марта - The prediction of Manin-Batyrev-Peyre on the number of rational points of algebraic varieties (Ratko Darda, University of Paris, France)
38 24 февраля - Variants of the method of Chabauty and Coleman to compute rational points on certain curves (Stevan Gajović, University of Groningen, the Netherlands)
37 17 февраля - Representations of reductive p-adic groups (Arnaud Mayeux, BICMR, Beijing, China)
36 10 февраля - Geometric properties of nets in plane and higher-dimensions (Roger Fidèle Ranomenjanahary, UTD, Dallas, USA)
35 3 февраля - An algebraic characterization of the affine three space (Nikhilesh Dasgupta, NMIMS, Mumbai, India)
34 20 января - Локально нильпотентные дифференцирования свободной алгебры ранга два (Борис Билич)
2020 год
33 9 декабря - Эйлерово-симметричные проективные многообразия (Антон Шафаревич)
18-22 ноября - Международная онлайн конференция "Topology and Geometry of Group Actions"
32 11 ноября - Квазиаффинные сферические многообразия и их группы автоморфизмов (Виктория Боровик)
31 28 октября - Рациональные комплексные многообразия, имеющие бесконечное число вещественных форм (Борис Билич)
30 21 октября - Бесконечная транзитивность подгрупп автоморфизмов A^2 (Григорий Тароян и Алиса Чистопольская)
29 15 октября - Полубесконечные грассманианы и алгебры токов (Александр Попкович)
28 3 октября - Автоморфизмы ненормальных торических многообразий - II (Сергей Гайфуллин)
27 26 сентября - Автоморфизмы ненормальных торических многообразий - I (Сергей Гайфуллин)
Семинар по аддитивным действиям на полных алгебраических многообразиях 2019-2020 гг.
Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.