Студентам и аспирантам

Ниже перечислены направления, по которым мы готовы предложить студентам темы курсовых и дипломных проектов и которые могут стать основой диссертационных работ аспирантов. В каждом разделе указан сотрудник лаборатории, который сформулировал данное направление и с которым можно его обсуждать. 
 
1. Автоморфизмы конечномерных алгебр
 
д.ф.-м.н., проф. И.В.Аржанцев
 
Пусть A  коммутативная ассоциативная алгебра с единицей над полем комплексных чисел. Предположим, что A как векторное пространство имеет размерность n. Каждая такая алгебра есть прямая сумма локальных алгебр, то есть алгебр с единственным максимальным идеалом. Легко видеть, что группа автоморфизмов Aut(X) является замкнутой по Зарисскому подгруппой группы GL(n). Хотелось бы описать группу Aut(X) как линейную алгебраическую группу в терминах структуры алгебры A. Например, имеется следующий открытый вопрос, известный как вопрос Кристоферсена: верно ли, что для любой локальной алгебры A размерности n размерность группы Aut(A) не меньшe n-1? Развитие структурной теории групп автоморфизмов наверняка позволит ответить и на этой вопрос.
 
Литература:
[1] М.Атья и И.Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. М.: МЦНМО, 2021
[2] A.Perepechko. On solvability of the automorphism group of a finite-dimensional algebra. J. Algebra 403 (2014), 445-458
 
2. Корни Демазюра

д.ф.-м.н., проф. И.В.Аржанцев
 
В современной математике важную роль играют так называемые системы корней. Это конечные наборы векторов в евклидовых пространствах, удовлетворяющие определенным условиям симметрии. Такие наборы полностью классифицированы и за последние сто лет их свойства детально изучены. Параллельно в торической геометрии возникли схожие наборы векторов, исследование которых начато относительно недавно. Напомним, что полным веером называют конечный набор острых полиэдральных конусов в рациональном векторном пространстве, которые пересекаются по граням и покрывают все пространство. С полным веером связан конечный набор векторов, называемых корнями Демазюра. Этот набор обладает рядом интересных свойств, которые важны в алгебраической геометрии (описание группы автоморфизмов полного торического многообразия) и в алгебре (однородные локально нильпотентные дифференцирования алгебры многочленов). При этом структурная теория корней Демазюра еще не построена, и здесь есть много интересных задач.
 
Литература:
[1] I.Arzhantsev, A.Perepechko, and K.Shakhmatov. Radiant toric varieties and unipotent group actions. https://arxiv.org/abs/2209.04021
[2] J.Humphreys. Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge University Press, 1990

3. Гибкость аффинных конусов над слабыми поверхностями дель Пеццо
 
к.ф.-м.н. А.Ю.Перепечко
 
Пусть X - неприводимое аффинное алгебраическое многообразие над полем комплексных чисел. Специальной группой автоморфизмов SAut(X) называется подгруппа автоморфизмов, порождённая всеми алгебраическими действиями аддитивной группы поля на Х. Гибкие многообразия характеризуются транзитивностью действия SAut(X) на наборах из m различных гладких точек Х для произвольного m. Богатым источником примеров гибких многообразий служат аффинные конусы над проективными многообразиями.
 
На данный момент для поиска новых семейств гибких многообразий активно изучают аффинные конусы над определёнными проективными многообразиями размерности 2 и 3.
 
Литература:
[1] I.Arzhantsev, H.Flenner, S.Kaliman, F.Kutzschebauch and M.Zaidenberg. Flexible varieties and automorphism groups. Duke Math. J. 162 (2013), no. 4, 767-823
[2] I.Cheltsov, J.Park and J.Won. Cylinders in del Pezzo surfaces. IMRN 2017 (2017), no. 4, 1179-1230
[3] I.Dolgachev. Classical Algebraic Geometry. A Modern View. Cambridge University Press, Cambridge, 2012
[4] A.Perepechko. Affine cones over cubic surfaces are flexible in codimension one. Forum Math. 33 (2021), no. 2, 339-348
 
4. Однородные пространства унипотентных групп
 
к.ф.-м.н. А.Ю.Перепечко
 
Автоморфизм аффинного многообразия Х называется унипотентным, если он лежит в подгруппе автоморфизмов, изоморфной аддитивной группе поля. Унипотентная группа это группа, состоящая из унипотентных элементов. Структурная теория унипотентных групп крайне сложна и описана лишь в малых размерностях.
 
Как недавно доказано в [2], всякая унипотентная группа, транзитивно действующая на аффинном пространстве Aᵈ, вкладывается в подгруппу треугольных автоморфизмов Tr(d), действующих на координате xᵢ прибавлением многочлена от предыдущих координат. Например, для аффинной плоскости это преобразования вида (x,y) -> (x+a, y+P(x)).
 
Как описать возможные подгруппы в Tr(d), транзитивно действующие на аффинном пространстве, для d=2,3? Поскольку унипотентные группы могут транзитивно действовать только на аффинных пространствах, такое описание перечислит все однородные пространства данной размерности всевозможных унипотентных групп.
 
Литература:
[1] И.Аржанцев. Автоморфизмы алгебраических многообразий и бесконечная транзитивность. Алгебра и анализ 34:2 (2022), 1-55
[2] H.Kraft and M.Zaidenberg. Algebraically generated groups and their Lie algebras. J. London Math. Soc. (to appear), https://arxiv.org/abs/2203.11356