Семинар по алгебраическим группам преобразований

Del Pezzo varieties arise as a natural higher-dimensional generalization of the classical Del Pezzo surfaces. Over the complex numbers, they were extensively studied by T. Fujita in the 1980s, who classified them according to their degree. In degree 5, it follows from Fujita's classification that all of these manifolds are obtained as linear sections of the 6-dimensional Grassmannian Gr(2,5) with respect to the Plücker embedding, whose points parametrize 2-dimensional linear subspaces of a vector space of dimension 5. In this talk, we will discuss the existence and uniqueness of G_a^n-structures on these varieties, i.e., we will recall when and in how many ways one can obtain them as equivariant compactifications of the abelian unipotent group G_a^n. To do so, we study the Hilbert schemes of certain linear subspaces on such varieties and we analyze some explicit equivariant Sarkisov links. As an application, we give some new results on k-forms of quintic del Pezzo varieties over an arbitrary field k of characteristic zero. This is a joint work with Adrien Dubouloz (Dijon, France) and Takashi Kishimoto (Saitama, Japan).

Слайды

Motivated by geometric Langlands, we initiate a program to study the mirror symmetry between nilpotent orbit closures of a semisimple Lie algebra and those of its Langlands dual. The most interesting case is Bn via Cn. Classically, there is a famous Springer duality between special orbits. Therefore, it is natural to speculate that the mirror symmetry we seek may coincide with Springer duality in the context of special orbits. Unfortunately, such a naive statement fails. To remedy the situation, we propose a conjecture which asserts the mirror symmetry for certain parabolic/induced covers of special orbits. Then, we prove the conjecture for Richardson orbits and obtain certain partial results in general. In the process, we reveal some very interesting and yet subtle structures of these finite covers, which are related to Lusztig's canonical quotients of special nilpotent orbits. For example, there is a mysterious asymmetry in the footprint or range of degrees of these finite covers. Finally, we provide two examples to show that the mirror symmetry fails outside the footprint. This is a joint work with Yongbin Ruan and Yaoxiong Wen.

An old question steaming from Klein's Erlangen Program can be phrased in modern terms as: Is a given geometric object uniquely determined by its group of symmetries? The first part of this talk consists of an introduction to the problem with some selected examples from outside algebraic geometry. In the second part of the talk, we come to the setting of algebraic geometry, where we show that, in general, the answer to the above question is negative. After restricting the class of varieties, we will show an instance where the answer is affirmative. Indeed, we show that complex affine toric surfaces are determined by the abstract group structure of their regular automorphism groups in the category of complex normal affine surfaces using properties of the Cremona group. We will also show that the normality assumption in the above result cannot be removed.

Слайды

Известно, что ядро локально нильпотентного дифференцирования алгебры многочленов K[x_1,..., x_n] при n<4 это конечно порожденная подалгебра . При n>4 известны контрпримеры к данному утверждению, а при n=4 вопрос остается открытым. Доклад посвящен доказательству конечной порожденности для n=2,3. Будет приведено оригинальное геометрическое доказательство Miyanishi, а также алгебраический подход для однородных дифференцирований.

Слайды

Известно, что если D – локально нильпотентное дифференцирование алгебры многочленов K[x_1,…,x_n], то при n<4 ядро Ker(D) является конечно порожденной подалгеброй, а при n>4 существуют примеры, для которых ядро Ker(D) не конечно порождено. При n=4 вопрос о существовании такого D остается открытым. Мой доклад будет посвящен семейству дифференцирований D_{r,s} = a^r∂_x + x∂_y + y∂_z + a^s∂_v алгебры K[a,x,y,z,v], где r,s – целые числа, удовлетворяющие 1 <= s < r <= 3/2*s. Следуя книге (Freudenburg G., Algebraic theory of locally nilpotent derivations, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 136), я покажу, что ядра таких дифференцирований не конечно порождены. Здесь использован критерий из статьи (D. Daigle, A counterexample to Hilbert’s Fourteenth Problem in dimension five, J. Algebra 221 (1999), 528–535), где приведено доказательство для частного случая D_{3,2}.

Matroid Schubert varieties are algebraic varieties constructed from hyperplane arrangements, which are central to recent developments in matroid theory. We study these varieties through the lens of equivariant compactifications of affine spaces, and give necessary and sufficient conditions to characterize them. We also generalize matroid Schubert varieties to include partial compactifications, and study morphisms between them. Our results resemble the correspondence between toric varieties and polyhedral fans.

Слайды

Пусть G - связная подгруппа группы автоморфизмов аффинного многообразия X, равная объединению набора алгебраических подгрупп. В докладе мы приведём аналог разложения Леви группы G на алгебраическую подгруппу и (исчерпаемый) унипотентный радикал и изложим результат Зайденберга-Крафта о разрешимости унипотентного радикала. Также будет освещён вопрос замкнутости подгруппы G в группе автоморфизмов X и связанные вопросы.

Слайды

В докладе будет дан обзор известных результатов и возможных подходов к решению проблемы линеаризации для действий алгебраических торов на аффинных пространствах. Также мы обсудим обобщение проблемы линеаризации на случай произвольных алгебраических многообразий и детально рассмотрим случай действий торов на аффинных торических многообразиях малых размерностей.

В докладе будет дан обзор известных результатов и возможных подходов к решению проблемы линеаризации для действий алгебраических торов на аффинных пространствах. Также мы обсудим обобщение проблемы линеаризации на случай произвольных алгебраических многообразий и детально рассмотрим случай действий торов на аффинных торических многообразиях малых размерностей.

Известна конструкция кольца многогранника гладкого проективного торического многообразия, предложенная Пухликовым и Хованским. В докладе речь пойдет об обобщении этой конструкции на случай многогранника Гельфанда-Цетлина, а также о связи многогранника Гельфанда-Цетлина с геометрией подмногообразий Шуберта в многообразии полных флагов и характерами модулей Демазюра, возникающими в теории представлений.

Классические инварианты Макар-Лиманова и Дерксена — это соответственно пересечение всех ядер локально нильпотентных дифференцирований и алгебра, порождённая всеми ядрами ненулевых локально нильпотентных дифференцирований. Модифицированным инвариантом Макар-Лимонова называется пересечение ядер тех ЛНД, которые имеют слайс (то есть в образе данного ЛНД лежит единица). Аналогично можно определить и модифицированный инвариант Дерксена.

В докладе мы обсудим вопросы вычисления и использования данных инвариантов, а также другие способы модифицировать классические инварианты.

В 1996 году Леонидом Макар-Лимановым был предложен инвариант, который позволил доказать, что кубика Кораса-Рассела не изоморфна A^3. В 1997 году альтернативное доказательство этого факта было проведено Хармом Дерксеном с использованием собственного инварианта.

В докладе будет доказана нетривиальность инвариантов Макар-Лиманова и Дерксена для кубики Кораса-Рассела, а также приведены примеры, когда каждый из инвариантов работает лучше другого, то есть они разделяют разные множества.

Материалы:
Gene Freudenburg «‎Algebraic Theory of Locally Nilpotent Derivations», Encyclopaedia of Mathematical Sciences Volume 136 (разделы 1.1.5 и 9.3)
Anthony Crachiola and Stefan Maubach «The Derksen invariant vs. the Makar-Limanov invariant» (2003) Proceedings of the American Mathematical Society Volume 131, Number 11, Pages 3365–3369

Слайды

A Mukai lattice is a free finitely generated Z-module equipped with a unimodular not necessarily symmetric bilinear form. A standard example of a Mukai lattice is the Grothendieck group of an algebraic variety X equipped with the so-called Euler form. We will talk about the group of isometries of this lattice in particular case when X is a complex projective space. It turns out that this group has a nice structure; for instance, we will see that it is essentially isomorphic to the free abelian group of rank [(n+1)/2]. We will also compute explicitly its generators for all n not exceeding 6.

Dessin d’enfant (child’s drawing, map) is a graph embedded into a two-dimensional surface. The term was introduced by A. Grothendieck in 1984 in his famous "Esquisse d’un Programme". The theory of dessins d’enfants in a beautiful way connects 19th century complex analysis with 20th century arithmetic geometry, and very simple and intuitive objects with very abstract concepts.
Besides brief overview of the topic the talk will present some results in one specific area, which is enumeration of graphs of certain type.

In 2004, Shestakov and Umirbaev proved that the Nagata automorphism of the polynomial algebra in three variables is wild. We fix a ℤ-grading on this algebra and consider graded-wild automorphisms, i.e. such automorphisms that cannot be decomposed onto elementary automorphisms respecting the grading. We describe all gradings allowing graded-wild automorphisms. We also discuss systems of automorphisms generating the group of graded automorphisms.

Flag varieties form an interesting class of homogeneous algebraic varieties. In this talk we consider certain subvarieties of flag varieties, known as Hessenberg varieties. Let X be the complex n × n matrix of a linear map X: C^n → C^n, and let h: {1, 2, … ,n} → {1, 2, … ,n} be a Hessenberg function, i.e. a non-decreasing function satisfying the inequalities h(j) ⩾ j for 1 ⩽ j ⩽ n. The Hessenberg variety Hess(X,h) associated to X and h is defined as follows: Hess(X,h) = {V | XVi ⊆ Vh(i) for all 1 ⩽ i ⩽ n}.

Particular examples of Hessenberg varieties include full flag varieties and Springer fibers, i.e., the fibers of the Springer resolution of the nilcone in gl(n). I will discuss basic properties of these varieties and then explain the relation between their cohomology rings and Schubert polynomials.

Given an affine algebraic variety X, we study when the neutral component Aut°(X) of the automorphism group consists of algebraic elements. It is conjectured that the following conditions on Aut°(X) are equivalent:
- all unipotent elements (hence all Ga-actions on X) commute,
- it consists of algebraic elements,
- it is nested, i.e., a direct limit of algebraic subgroups,
- it is a semidirect product of an algebraic torus and an abelian unipotent group.

Earlier we proved the conjecture for the group generated by connected algebraic subgroups instead of Aut°(X). In this talk we present our further development: we proved that Aut°(X) consists of algebraic elements if and only if it is nested. To prove it, we obtained the following fact: if a connected ind-group G contains a closed connected ind-subgroup H⊂G with a geometrically smooth point, and for any g∈G some power of g belongs to H, then G=H.

We will also discuss possible approaches to the conjecture and related questions. The talk is based on the joint work with Andriy Regeta.

The talk is based on a joint work with Nikhilesh Dasgupta.

In the talk we will discuss some topics concerning locally nilpotent derivations of the algebra of polynomials in three variables. An important characteristic of an LND is its rank, that is, 3 minus the maximum number of variables that are contained in the kernel. Examples of non-triangulazible LND of rank 2 and LND of rank 3 will be given. The main object to be considered is a group of automorphisms commuting with a given LND (isotropy group). We will introduce a structure of the semi-direct product of two subgroups on this group. For triangulazible LNDs it will be calculated explicitly. Also we will discuss how this theory can be used to construct new examples of LNDs of rank 3.

The talk is based on a joint work with Nikhilesh Dasgupta.

In the talk we will discuss some topics concerning locally nilpotent derivations of the algebra of polynomials in three variables. An important characteristic of an LND is its rank, that is, 3 minus the maximum number of variables that are contained in the kernel. Examples of non-triangulazible LND of rank 2 and LND of rank 3 will be given. The main object to be considered is a group of automorphisms commuting with a given LND (isotropy group). We will introduce a structure of the semi-direct product of two subgroups on this group. For triangulazible LNDs it will be calculated explicitly. Also we will discuss how this theory can be used to construct new examples of LNDs of rank 3.

In this talk I will discuss the proof of the following result: an affine toric variety is determined by its automorphism group (seen as an abstract group) in the category of normal affine irreducible varieties.

Слайды

In the study of automorphism groups of toric varieties, a key role is played by one-parameter additive groups normalized by the acting torus. Such subgroups are called root subgroups and each of them is uniquely determined by its weight, called a Demazure root of the corresponding toric variety. Moreover, the set of all Demazure roots admits an explicit combinatorial description in terms of the fan defining the toric variety. For an affine toric T-variety X, an important property states that every T-stable prime divisor in X can be connected with the open T-orbit via the action of an appropriate root subgroup.

In the setting of arbitrary connected reductive groups acting on algebraic varieties, a natural generalization of toric varieties is given by spherical varieties. A spherical variety is an algebraic variety X equipped with an action of a connected reductive group G in such a way that a Borel subgroup B of G has an open orbit in X. It was proposed in [1] that a proper generalization of root subgroups for spherical varieties is given by one-parameter additive groups normalized by B, which are called B-root subgroups. At present, a complete description of all B-root subgroups on affine spherical varieties remains an open problem.

In this talk, we shall discuss results of [2] where some sufficient conditions for the existence of B-root subgroups on a given affine spherical G-variety X were found. Here a key role is played by the so-called local structure theorem. As an application, it turns out that every G-stable prime divisor in X can be connected with the open G-orbit via the action of an appropriate B-root subgroup, which generalizes the above-mentioned result in the toric case.

References:
[1] Ivan Arzhantsev, Roman Avdeev. Root subgroups on affine spherical varieties. Preprint (2021), see arXiv:2012.02088v2
[2] Roman Avdeev, Vladimir Zhgoon. On the existence of B-root subgroups on affine spherical varieties. Preprint (2021), see arXiv:2112.14268

Слайды

In this talk we shall consider the Commuting Derivations Conjecture in dimension three: if D_1 and D_2 ∈ LND, which are linearly independent and satisfy [D_1; D_2] = 0, then ker D_1 ∩ ker D_2 = C[f], where f is a coordinate. Then it is shown that if the Commuting Derivations Conjecture in dimension n, the Cancellation Problem and Abhyankar–Sataye Conjecture in dimension n−1, all have an affirmative answer, then we can describe all coordinates of the form p(X)Y + q(X; Z_1; ... ; Z_n−1). Also, conjectures about possible generalisations of the concept of “coordinate” for elements of general rings are made.This talk will be based on the paper of Stefan Maubach [1].

References:
[1] Stefan Maubach, The commuting derivations conjecture, Journal of Pure and Applied Algebra 179 (2003) 159 – 168

Слайды

Let P ⊆ R^n be a lattice polytope; i.e., P is a convex hull of a finite subset of Z^n ⊆ R^n. Consider the subsemigroup S_P in Z^{n+1} generated by the set {(x; 1)| x ∈ P∩Z^n}. The polytopal algebra associated with P is the semigroup algebra k[S_P] where k is a field. The algebra k[S_P] is naturally graded by the group Z. Following the work of Winfried Bruns and Joseph Gubeladze we will give a description of the group of graded automorphisms of k[S_P].

References:
[1] Winfried Bruns and Joseph Gubeladze. Polytopal linear groups. Journal of Algebra 218, 715-737 (1999)

Consider a monomial-free ideal I in the polynomial ring in n variables over an algebraically closed field. Following the paper [1] for every point from R^n I will define the initial form of ideal I. The zero locus of the initial ideal is a flat degeneration of affine variety V(I). The tropical variety Trop(I) ⊆ R^n is defined to be the set of those points for which associated initial ideals also contains no monomials. An ideal I is said to be well-poised if all of the initial ideals obtained from points in the tropical variety Trop(I) are prime. It is of interest to know when the ideal is a well-poised ideal. In paper [1] all well-poised principal ideals over an algebraically closed field are classified.

References:
[1] Well-poised hypersurfaces, J. Cecil, N. Dutta, C. Manon, B. Riley, A. Vichitbandha. [arXiv: 2008.00060]

Слайды

In this talk we shall discuss the results of the paper [1]. A non-degenerate toric variety X is called S-homogeneous if the subgroup of Aut(X) generated by root subgroups acts on X transitively. We shall introduce the notion of strongly regular fans, which correspond to S-homogeneous toric varieties. We shall discuss the correspondence between maximal S-homogeneous toric varieties and pairs (P, A), where P is an abelian group and A is a finite admissible collection of elements of P, that generate P. From the explicit construction of a maximal S-homogeneous toric variety it can be deduced that for every non-degenerate homogeneous toric variety X there is an open toric embedding of X into a maximal S-homogeneous toric variety.

References:
[1] Ivan Arzhantsev. Gale duality and homogeneous toric varieties. Communications in Algebra, 46:8 (2018), 3539-3552

Слайды

In these lectures, we shall study the affine threefold V given by x^my = F(x, z, t) for natural numbers m over any field k. We shall use the theory of exponential maps to prove that when m is at least 2, V is isomorphic to A³_k if and only if f(z, t) := F(0, z, t) is a coordinate of k[z, t]. In particular, when char(k) = p > 0 and f defines a non-trivial line in the affine plane A²_k (such a V will be called an Asanuma threefold), then V is not isomorphic to A³_k although V × A¹_k is isomorphic to A⁴_k; thereby providing a family of counter-examples of the Zariski cancellation conjecture for the affine 3-space in positive characteristic. These talks will be based on the paper of Neena Gupta [1] with the same title.

References:
[1] N. Gupta, On the family of affine threefolds x^my = F(x, z, t), Compositio Math. 150 (2014), 979-998.

Слайды

In these lectures, we shall study the affine threefold V given by x^my = F(x, z, t) for natural numbers m over any field k. We shall use the theory of exponential maps to prove that when m is at least 2, V is isomorphic to A³_k if and only if f(z, t) := F(0, z, t) is a coordinate of k[z, t]. In particular, when char(k) = p > 0 and f defines a non-trivial line in the affine plane A²_k (such a V will be called an Asanuma threefold), then V is not isomorphic to A³_k although V × A¹_k is isomorphic to A⁴_k; thereby providing a family of counter-examples of the Zariski cancellation conjecture for the affine 3-space in positive characteristic. These talks will be based on the paper of Neena Gupta [1] with the same title.

References:
[1] N. Gupta, On the family of affine threefolds x^my = F(x, z, t), Compositio Math. 150 (2014), 979-998.

Слайды

Following the work of Buchstaber and Leikin we will study infinite-dimensional Lie algebras which are modules of finite rank over the ring of polynomials. Such Lie algebras are known as polynomial Lie algebras. Every polynomial Lie algebra is defined by polynomial structural constants. Many examples of such algebras will be given. The main purpose of the paper is to prove that vector fields defining the canonical representation of a polynomial Lie algebra are tangent to the hyperplane det(V) = 0, where V is the matrix of structural constants.

Following the work of Jean-Pierre Rosay and Walter Rudin we will study actions of holomorphic endomorphisms of C^n on countable subsets. We will prove the generalization of the Mittag-Leffler interpolation: there exists a locally volume-preserving holomorphic mapping having prescribed values on a discrete subset. We will also show that any dense subset can be mapped to another dense subset by an automorphism. The situation is different for discrete subsets. We call the subset tame if it is conjugate to an arithmetic projection by an automorphism. We will give an example of a non-tame subset and prove some interesting theorems.

Слайды

A theorem conjectured by H. Bass and J.-P. Serre and proven by Jacques Tits states that a finitely generated linear group either has a solvable subgroup of finite index or a free group on two generators. I intend to give an overview of the proof of this theorem following Tits' original paper.

В 1969 году Фрэнк Арнольд Гарсайд решил проблему сопряжённости в группе кос, введя в рассмотрение косу, которая получается из тривиальной косы путём переворачивания нитей на 180 градусов. Такой элемент он назвал фундаментальной косой. Сейчас же эта коса называется косой Гарсайда или элементом Гарсайда. Позже, в конце 80-х и в середине 90-х годов прошлого века, усилиями С.Адьяна, М.Райфаи, Г.Мортона и У.Тёрстона, этот подход был усилен и улучшен для решения других задач теории группы кос. После этого Патриком Дэорнуа этот подход был обобщён на другие интересные примеры, и в результате была построена целая теория, названная теорией Гарсайда. В данной теории рассматриваются слева-сократимые моноиды, и вообще категории, которые похожи на моноид кос; у них имеется свой гарсайдовский элемент, и процесс переписывания слов в этих моноидах схож с переписыванием в моноиде кос. Но на этом всё не заканчивается. Оказывается, что такие моноиды (именуемые гарсайдовыми), являются лишь небольшой частью теории. Далее вводятся понятия гарсайдовского семейства и гарсайдовского ростка. Всё это даёт единый подход к решению некоторых алгоритмических задач (проблема сопряжённости, проблема равенства слов) для моноидов (групп), которые на первый взгляд далеки от моноида кос.

В докладе будет рассказано о том, как можно подойти к этой теории, используя слегка видоизменённую версию CD-леммы. Мы увидим, что условия на то, чтобы семейство было гарсайдовым, это условие конфлюэнтности для определённой переписывающей системы, и то что жадная форма слов (greedy normal form), одно из центральных понятий теории Гарсайда, является множеством непереписывающихся слов относительно этой переписывающей системы. Мы также переоткроем классический результат Тёрстона (=образующие Адьяна-Тёрстона), используя этот метод, и поговорим о группах Артина и об одной замечательной игре (the number game), позволяющей обобщить подход Тёрстона и Дэорнуа к произвольным группам Артина.

Доклад займет несколько заседаний семинара. Планируется дать элементарное введение в описанную выше тематику.

В 1969 году Фрэнк Арнольд Гарсайд решил проблему сопряжённости в группе кос, введя в рассмотрение косу, которая получается из тривиальной косы путём переворачивания нитей на 180 градусов. Такой элемент он назвал фундаментальной косой. Сейчас же эта коса называется косой Гарсайда или элементом Гарсайда. Позже, в конце 80-х и в середине 90-х годов прошлого века, усилиями С.Адьяна, М.Райфаи, Г.Мортона и У.Тёрстона, этот подход был усилен и улучшен для решения других задач теории группы кос. После этого Патриком Дэорнуа этот подход был обобщён на другие интересные примеры, и в результате была построена целая теория, названная теорией Гарсайда. В данной теории рассматриваются слева-сократимые моноиды, и вообще категории, которые похожи на моноид кос; у них имеется свой гарсайдовский элемент, и процесс переписывания слов в этих моноидах схож с переписыванием в моноиде кос. Но на этом всё не заканчивается. Оказывается, что такие моноиды (именуемые гарсайдовыми), являются лишь небольшой частью теории. Далее вводятся понятия гарсайдовского семейства и гарсайдовского ростка. Всё это даёт единый подход к решению некоторых алгоритмических задач (проблема сопряжённости, проблема равенства слов) для моноидов (групп), которые на первый взгляд далеки от моноида кос.

В докладе будет рассказано о том, как можно подойти к этой теории, используя слегка видоизменённую версию CD-леммы. Мы увидим, что условия на то, чтобы семейство было гарсайдовым, это условие конфлюэнтности для определённой переписывающей системы, и то что жадная форма слов (greedy normal form), одно из центральных понятий теории Гарсайда, является множеством непереписывающихся слов относительно этой переписывающей системы. Мы также переоткроем классический результат Тёрстона (=образующие Адьяна-Тёрстона), используя этот метод, и поговорим о группах Артина и об одной замечательной игре (the number game), позволяющей обобщить подход Тёрстона и Дэорнуа к произвольным группам Артина.

Доклад займет несколько заседаний семинара. Планируется дать элементарное введение в описанную выше тематику.

В 1969 году Фрэнк Арнольд Гарсайд решил проблему сопряжённости в группе кос, введя в рассмотрение косу, которая получается из тривиальной косы путём переворачивания нитей на 180 градусов. Такой элемент он назвал фундаментальной косой. Сейчас же эта коса называется косой Гарсайда или элементом Гарсайда. Позже, в конце 80-х и в середине 90-х годов прошлого века, усилиями С.Адьяна, М.Райфаи, Г.Мортона и У.Тёрстона, этот подход был усилен и улучшен для решения других задач теории группы кос. После этого Патриком Дэорнуа этот подход был обобщён на другие интересные примеры, и в результате была построена целая теория, названная теорией Гарсайда. В данной теории рассматриваются слева-сократимые моноиды, и вообще категории, которые похожи на моноид кос; у них имеется свой гарсайдовский элемент, и процесс переписывания слов в этих моноидах схож с переписыванием в моноиде кос. Но на этом всё не заканчивается. Оказывается, что такие моноиды (именуемые гарсайдовыми), являются лишь небольшой частью теории. Далее вводятся понятия гарсайдовского семейства и гарсайдовского ростка. Всё это даёт единый подход к решению некоторых алгоритмических задач (проблема сопряжённости, проблема равенства слов) для моноидов (групп), которые на первый взгляд далеки от моноида кос.

В докладе будет рассказано о том, как можно подойти к этой теории, используя слегка видоизменённую версию CD-леммы. Мы увидим, что условия на то, чтобы семейство было гарсайдовым, это условие конфлюэнтности для определённой переписывающей системы, и то что жадная форма слов (greedy normal form), одно из центральных понятий теории Гарсайда, является множеством непереписывающихся слов относительно этой переписывающей системы. Мы также переоткроем классический результат Тёрстона (=образующие Адьяна-Тёрстона), используя этот метод, и поговорим о группах Артина и об одной замечательной игре (the number game), позволяющей обобщить подход Тёрстона и Дэорнуа к произвольным группам Артина.

Доклад займет несколько заседаний семинара. Планируется дать элементарное введение в описанную выше тематику.

Аффинное сложности ноль орисферическое многообразие, или S-многообразие, это такое неприводимое аффинное многообразие с действием алгебраической группы G, что действие имеет открытую орбиту, а стабилизатор любой точки содержит максимальную унипотентную подгруппу группы G.

Аналогично торическим многообразиям, каждому S-многообразию можно сопоставить конус. При этом G-орбиты соответствуют граням этого конуса. Так как группа G действует автоморфизмами, для того, чтобы описать орбиты группы автоморфизмов, нужно понять, какие G-орбиты лежат в одной орбите группы автоморфизмов.

Иногда две G-орбиты можно соединить однородным относительно градуировки группой характеров максимального тора локально нильпотентным дифференцированием (ЛНД). Мы докажем, что, как и в торическом случае, такие склейки определяют орбиты группы автоморфизмов. Орбиты группы автоморфизмов для S-многообразий будут описаны в терминах степеней однородных ЛНД. Для торических (в том числе ненормальных) многообразий будет получен явный ответ.

Доклад основан на совместной работе с В.А. Боровик и А.А. Шафаревичем.

The Kaplansky conjectures are three long-standing open problems on the group rings of torsion-free groups. In this talk we consider the zero divisor conjecture: Let G be a torsion-free group then the group ring Z[G] has no non-trivial zero divisors, i.e., it is a domain. This problem is an old one, and there are several results that confirm it, for some classes of groups. However, there is no unique method or way to attack it. In this talk, we discuss a way suggested by Roman Mikhailov. This way is based on an exact sequence arising in homological group theory. This way is still complicated but seems hopeful.

Слайды

Для каких аффинных многообразий Y все замкнутые вложения аффинной прямой в Y эквивалентны с точностью до автоморфизма Y? Это свойство выполняется для аффинной плоскости (по теореме Абьянкара-Мо-Сузуки), а также, как доказано в недавних работах, для аффинного пространства размерности хотя бы 4. Однако оно не выполняется для симплициальных торических поверхностей — факторов аффинной плоскости по конечной подгруппе SL(2) (Аржанцев-Зайденберг 2013).

В докладе мы разберём препринт Ш.Калимана "Lines in affine toric varieties" arXiv:2102.07170v2, в котором доказано это свойство для симплициальных аффинных торических многообразий размерности хотя бы 4, гладких в коразмерности 2, при некотором условии на инфинитезимальные окрестности кривых. В частности, мы затронем теорему Хольме о замкнутом вложении аффинного многообразия в аффинное пространство некоторой размерности и её аналоги о вложении в гибкие квазиаффинные многообразия.

Слайды

Алгебраическим моноидом называется алгебраическое многообразие с бинарной операцией, являющейся морфизмом и удовлетворяющей условиям ассоциативности и наличия нейтрального элемента. Я расскажу про классификацию коммутативных моноидов на нормальных аффинных поверхностях над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Из работы 

(Ivan Arzhantsev and Polina Kotenkova. Equivariant embeddings of commutative linear algebraic groups of corank one. Doc. Math. 20 (2015), 1039–1053) 

следует, что каждый такой моноид является торическим многообразием и задается корнем Демазюра. Мы обсудим доказательства и дадим ответ о возможных умножениях в моноиде на двух языках: с помощью коумножений и координат на кольце Кокса. Доклад основан на совместной работе с Сергеем Джунусовым 

(Sergey Dzhunusov and Yulia Zaitseva. Commutative algebraic monoid structures on affine surfaces. Forum Math. 33 (2021), no. 1, 177–191).

Слайды

Торические многообразия допускают некоммутативные обобщения с помощью конструкции торического стэка. Основная часть доклада будет посвящена наглядному объяснению того, что такое стэки и правда ли они нужны. Кроме того, я постараюсь рассказать, как давно стэки "просочились" в торическую геометрию и что с их помощью удаётся сделать. Доклад будет в общих чертах основан на статье (Ludmil Katzarkov, Ernesto Lupercio, Laurent Meersseman, Alberto Verjovsky. Quantum (Non-commutative) Toric Geometry: Foundations, arXiv:2002.03876).

Записки

В докладе будут обсуждаться результаты работы (A. Liendo. G_a-actions of fiber type on affine T-varieties. J. Algebra 324 (2010), 3653-3665). Мы поговорим про локально нильпотентные дифференцирования вертикального типа и их классификацию для алгебр функций нормальных аффинных T-многообразий. Мы также обсудим общий вид классов бирациональной эквивалентности аффинных многообразий с тривиальным инвариантом Макара-Лиманова.

Слайды

Мы обсудим понятие пространства арок алгебраического многообразия а также его основные свойства. После этого мы обсудим, следуя работам Shihoko Ishii, пространства арок торических многообразий: некоторые их общие геометрические свойства, а также классификацию орбит проалгебраической группы, действие которой происходит из действия тора на торическом многообразии.

Let X be an algebraic variety over Q. The set of rational points of X, denoted by X(Q), is the set of solutions of the equations defining X with all coordinates lying in Q.

It is believed that certain geometrical properties of X are making the set X(Q) “large”. We count rational points in this case, and to do so, we introduce “heights”. A height on X is a function on X(Q), which in a certain way measures “arithmetic complexity” of a rational point. It satisfies the following property: if B > 0, the number of rational points of X of the height less than B is finite, and we ask: what is the number of such rational points? A theory initiated by Manin, and later developed by Batyrev, Peyre, Tschinkel, Chambert-Loir and others, gives a prediction of the asymptotic behaviour of the number when B → ∞. The prediction is valid in many important cases.

We will state a version of the conjecture due to Peyre. We will try to see why is it true in some simple cases.

Слайды

The method of Chabauty and Coleman is one of the most powerful methods to determine rational points on curves. In this talk, we will introduce this method and present some examples. However, this method does not apply to all curves, only to those satisfying a certain rank condition. For curves that satisfy a stronger condition, we can apply a variant of this method called symmetric Chabauty to determine points on curves defined over number fields and its applications. We will discuss the need to extend the method to the curves that do not satisfy the rank condition and explain how to extend the method to this case.

Let k be a non-Archimedean local field and G be a connected reductive group scheme over k. We will introduce the category of admissible representations of G(k). After mentioning parabolic induction, we will discuss constructions of supercuspidal representations via compact open subgroups and compact induction.

Слайды

Modern discrete differential geometry sheds new light on many classical geometric construction and configuration. Recently, Akopyan and Bobenko have studied divisions of the Euclidean plane by lines into circumscribed quadrilaterals and called them incircular nets (IC nets) if every elementary quadrilateral possesses an inscribed circle. They pointed out to a classical paper of Wolfang Böhm, who has introduced the notion of a division of Euclidean plane by lines into circumscribed quadrilaterals. The aim of this talk is to present recent result about incircular nets and to give a proof of Böhm’s statement in three dimensions that a division of three-dimensional Euclidean space by planes into circumscribed cuboids consists of three families of planes such that all planes in the same family intersect along a line, and the three lines are coplanar. We also generalize Böhm’s statement to n-dimensional case and prove it.

In this talk, I would like to present an algebraic characterization of the affine 2-space and the affine 3-space over an algebraically closed field of characteristic zero using a variant of the Makar-Limanov invariant. This is based on a joint work with Neena Gupta.

Слайды

Обсудив некоторые общие аспекты теории локально нильпотентных дифференцирований ассоциативных колец, мы проанализируем случай свободной алгебры ранга два. Оказывается, что любое ЛНД такой алгебры триангулируемо и с точностью до умножения на скаляр определяется своей алгеброй констант. Второе свойство контринтуитивно для слушателя, привыкшего к коммутативному случаю. Этот результат был получен и опубликован независимо в трех работах:

Sidney Dale Crode and Ivan Shestakov. Locally nilpotent derivations and automorphisms of free associative algebra with two generators. Commun. Algebra 48 (2020), no. 7, 3091-3098. https://zbmath.org/?q=an%3A07243447

Alibek Alimbaev, Altyngul Naurazbekova, and Daniyar Kozybaev. Linearization of automorphisms and triangulation of derivations of free algebras of rank 2. Sib. Èlektron. Mat. Izv. 16 (2019), 1133-1146. https://zbmath.org/?q=an%3A1447.17002

Vesselin Drensky and Leonid Makar-Limanov. Locally nilpotent derivations of free algebra of rank two. SIGMA, Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 15 (2019), Paper 091, 10 p.. https://zbmath.org/?q=an%3A07144704

Слайды

В докладе я расскажу о результатах, полученных Baohua Fu и Jun-Muk Hwang в статье "Euler-symmetric projective varieties" (Algebraic Geometry 7 (2020), 377-389).

Пусть Z -- замкнутое неприводимое подмножество в проективном пространстве P^n. Рассмотрим регулярное действие мультипликативной группы поля на P^n, которое сохраняет Z. Будем говорить, что это действие имеет эйлеров тип в гладкой точке x, принадлежащей Z, если x -- изолированная неподвижная точка и индуцированное действие на касательном пространстве к Z в точке x состоит из скалярных операторов. Многообразие Z называется эйлерово-симметричным, если в Z существует открытое подмножество точек, для каждой из которых существует действие мультипликативной группы поля эйлерового типа.

В докладе будет рассказано о классификации эйлерово-симметричных многообразий в терминах систем фундаментальных форм.

Слайды

Сайт конференции

Видеоматериалы

Рассмотрим неприводимые нормальные аффинные многообразия Х и Y. Предположим, что Aut(X) изоморфна Aut(Y) как ind-группа. Влечет ли это изоморфизм многообразий X и Y? В случае, когда X торическое и отлично от тора, ответ на этот вопрос положительный. Следуя работе A.Regeta, I. Van Santen, Characterizing quasi-affine spherical varieties via the automorphism group, https://arxiv.org/abs/1911.10896v1, я расскажу о частичном обобщении этого результата на случай квазиаффинных сферических многообразий.

Слайды

Следуя статье 

(Adrien Dubouloz, Gene Freudenburg, and Lucy Moser-Jauslin. Algebraic vector bundles on the 2-sphere and smooth rational varieties with infinitely many real forms)

я покажу, что комплексификации тотальных пространств алгебраических вещественных расслоений ранга два над 2-сферой изоморфны тривиальному комплексному расслоению. Этот результат основан на аналогичном факте о топологических вещественных расслоениях. Таким образом мы получаем пример 4х-мерного комплексного многообразия, имеющего бесконечное число вещественных форм. Также я покажу, как из этого примера построить рациональное многообразие произвольной размерности >4 с этим свойством.

Слайды

Рассмотрим подгруппу G автоморфзимов плоскости, порождённую двумя G_a-подгруппами, отвечающими корням Демазюра. Когда группа G действует m-транзитивно для любого натурального m? Оказывается, что на этот вопрос можно дать элементарный ответ: необходимо и достаточно, чтобы векторы, отвечающие дифференцированиям, порождали всю решётку характеров A^2 как торического многоообразия. Мы расскажем новое простое доказательство этого факта, основанное на работе И.В.Аржанцева, К.Г.Куюмжиян и М.Г.Зайденберга.

Я кратко напомню некоторые факты об обычных многообразиях флагов и их связи с теории представлений sl_n, после чего расскажу, следуя статьям Штурмфельса-Соттила и Фейгина-Македонского, о некотором аналоге этого сюжета, при котором многообразие становится инд-многообразием, а алгебра Ли sl_n заменяется на соответствующую алгебру (полиномиальных) токов sl_n[t]. По всей видимости, доклад будет в большей степени обзорным: я расскажу о возникающих конструкциях и основных утверждениях, но в большинстве случаев буду пропускать технические доказательства.

Первым делом кратко будут рассказаны довольно известные основной части слушателей вещи про то, что такое торическое многообразие, критерий нормальности, G_a-действия, соответствующие корням Демазюра. Будет дано доказательство теоремы Аржанцева-Зайденберга-Куюмжиян о гибкости нормальных (аффинных) торических многообразий. Затем перейдём к совместным с И. Болдыревым результатам, которые включают в себя критерий гибкости и жёсткости для ненормальных торических многообразий. Если позволит время, то будут рассказаны обобщения на случай S-многообразий. Так как доклад носит отчасти образовательных характер и начнём мы с базовых вещей, он скорее всего займёт не одно заседание семинара.

Первым делом кратко будут рассказаны довольно известные основной части слушателей вещи про то, что такое торическое многообразие, критерий нормальности, G_a-действия, соответствующие корням Демазюра. Будет дано доказательство теоремы Аржанцева-Зайденберга-Куюмжиян о гибкости нормальных (аффинных) торических многообразий. Затем перейдём к совместным с И. Болдыревым результатам, которые включают в себя критерий гибкости и жёсткости для ненормальных торических многообразий. Если позволит время, то будут рассказаны обобщения на случай S-многообразий. Так как доклад носит отчасти образовательных характер и начнём мы с базовых вещей, он скорее всего займёт не одно заседание семинара.

2020 год

26 8 июля - Группа автоморфизмов момент-угол многообразий (Г.В. Тароян)

25 27 апреля - Бесконечная транзитивность некоторых подгрупп группы автоморфизмов аффинной плоскости (А.И. Чистопольская)

24 20 апреля - Аддитивные действия на гладких полных непроективных многообразиях (К.В. Шахматов)

23 6 апреля - Торические гиперповерхности, допускающие аддитивные действия (А.А. Шафаревич)

22 30 марта - Аддитивные действия на торических поверхностях (С.Н. Джунусов), слайды

21 2 марта - Гипотеза Манина об оценке асимптотики числа рациональных точек с ограниченным знаменателем (Г.В. Тароян)

20 13 февраля - Единственность аддитивных действий на многообразиях флагов - II (А.И. Чистопольская)

19 3 февраля - Единственность аддитивных действий на многообразиях флагов - I (А.И. Чистопольская)


2019 год

18 16 декабря - Действия коммутативных групп с открытой орбитой на невырожденных проективных квадриках - II (В.А. Боровик)

17 9 декабря - Действия коммутативных групп с открытой орбитой на невырожденных проективных квадриках - I (В.А. Боровик)

16 2 декабря - Антиканонический класс многообразия с аддитивным действием - III (Ю.И. Зайцева)

15 25 ноября - Антиканонический класс многообразия с аддитивным действием - II (Ю.И. Зайцева)

14 18 ноября - Антиканонический класс многообразия с аддитивным действием - I (Ю.И. Зайцева)

13 11 ноября - Модальность действий и локальные алгебры (И.В. Аржанцев)

12 17 октября - ПБВ и торические вырождения и их обобщения - II (Е.Б. Фейгин)

11 14 октября - Эквивариантная компактификация C^n многообразием Фано с числом Пикара 1 (Д.А. Тимашёв)

10 3 октября - ПБВ и торические вырождения и их обобщения - I (Е.Б. Фейгин)

9 16 сентября - Признаки гибкости аффинных конусов (А.Ю. Перепечко)

8 28 июня - Аддитивные действия на взвешенных проективных поверхностях (Ю.И. Зайцева)

7 21 июня - Гибкость аффинных конусов над многообразиями сечений многообразий Сегре-Веронезе (А.Ю. Перепечко)

6 19 июня - Существование аддитивных действий на многообразиях флагов (С.А. Гайфуллин)

5 3 июня - Аддитивные действия на проективных гиперповерхностях (Д.А. Матвеев)

4 22 мая - Аддитивные действия на торических многообразиях - II (А.А. Шафаревич)

3 15 мая - Аддитивные действия на торических многообразиях - I (А.А. Шафаревич)

2 24 апреля - Соответствие Хассетта-Чинкеля (Ю.И. Зайцева)

1 17 апреля - Теорема Кнопа-Ланге (Ю.И. Зайцева)