Гибкие многообразия и аддитивные действия

Мы обсудим, чем группы автоморфизмов аффинных многообразий отличаются от групп автоморфизмов проективных многообразий, и рассмотрим несколько задач о структуре и действии группы автоморфизмов. Также мы определим эллиптические по Громову многообразия и объясним, почему эллиптических многообразий много и как можно использовать свойство эллиптичности.

Аддитивным действием на алгебраическом многообразии называется эффективное регулярное действие коммутативной унипотентной линейной алгебраической группы с открытой орбитой. Другими словами, изучаются открытые эквивариантные вложения векторной группы в алгебраические многообразия. В работе (Brendan Hassett and Yuri Tschinkel. Geometry of equivariant compactifications of G_aⁿ Int. Math. Res. Not. IMRN 1999 (1999), no. 22, 1211–1230) установлено соответствие между коммутативными локальными конечномерными алгебрами с единицей и аддитивными действиями на проективных пространствах. Этот подход может быть применён к изучению аддитивных действий на проективных гиперповерхностях. Оказывается, что случай невырожденной гиперповерхности соответствует горенштейновым локальным алгебрам, и с помощью этой техники можно получить несколько результатов об аддитивных действиях.

План лекций:

1. Соответствие Кнопа-Ланге и конечномерные алгебры.

2. Соответствие Хассетта-Чинкеля и аддитивные действия на проективных пространствах.

3. Аддитивные действия на проективных гиперповерхностях.

Многие классы многообразий, которые рассматриваются в алгебраической геометрии, имеют естественные наборы симметрий. Зачастую имеющегося набора автоморфизмов аффинного многообразия достаточно для того, чтобы доказать гибкость многообразия. В свою очередь гибкость влечёт наличие очень большой группы автоморфизмов, которая действует бесконечно транзитивно на множестве гладких точек. В данном мини-курсе мы обсудим, что такое гибкость, как она связана с группой автоморфизмов, как она может быть доказана для различных классов многообразий, а также поговорим о направлениях развития и гипотезах, актуальных в данной области.

План лекций:

1. Локально нильпотентные дифференцирования, их связь с аддитивными подгруппами в группе автоморфизмов. Гибкость и бесконечная транзитивность. Обобщённая гибкость. Инвариант Макар-Лиманова, полевой инвариант Макар-Лиманова.

2. Торические многообразия и другие многообразия с действием тора. Доказательство гибкости торических многообразий.

3. Многообразия с действием алгебраической группы. Гипотеза о гибкости сферических многообразий. Доказательство гибкости в орисферическом случае. Гибкость гладких многообразий с локально транзитивным действием алгебраической группы.

4. Унирациональные многообразия. Бирациональная гибкость. Гипотеза Богомолова. Проверка гипотезы в частных случаях.

В первой лекции мы расскажем примеры m-транзитивных и бесконечно транзитивных действий на алгебраических многообразиях. Во второй лекции мы погрузимся в действия аддитивной группы поля G_a на многообразии, обсудим их важность для симметрий многообразий и свойства порождаемых ими подгрупп. В третьей лекции мы перейдём к аффинным конусам и их связи с различными поляризациями проективных многообразий. В частности, мы обсудим связь G_a-действий на аффинном конусе и открытых подмножеств проективного многообразия, называемых цилиндрами. В четвёртой лекции мы представим признак бесконечной транзитивности на аффинном конусе по подходящему набору цилиндров. Мы применим этот признак к поляризациям некоторых поверхностей дель Пеццо (раздутий проективной плоскости в нескольких точках). В частности, мы познакомимся с разбиением конуса эффективных дивизоров согласно граням Фудзиты.