Публикации

В работе дан обзор результатов последних лет о кратной транзитивности действий групп автоморфизмов аффинных алгебраических многообразий. Рассматривается свойство бесконечной транзитивности действия группы специальных автоморфизмов и эквивалентное ему свойство гибкости многообразия. Данные свойства имеют важные алгебраические и геометрические следствия, и при этом они выполнены для широких классов многообразий. Отдельно изучаются случаи, когда бесконечная транзитивность имеет место для групп автоморфизмов, порожденных конечным числом однопараметрических подгрупп. В приложениях к работе рассмотрены результаты о бесконечно транзитивных действиях в комплексном анализе и в комбинаторной теории групп.

В данной работе мы строим эквивариантное относительно действия параллельными переносами открытое вложение аффинного пространства A^n в полное непроективное алгебраическое многообразие X для любого n >= 3. В качестве основного инструмента используется теория торических многообразий. В случае n = 3 мы описываем орбитную структуру полученного действия на многообразии X.

В работе получено описание однородных локально нильпотентных дифференцирований алгебры регулярных функций некоторого класса триномиальных гиперповерхностей. Данный класс включает в себя все нефакториальные триномиальные гиперповерхности.

Пусть X – аффинное торическое многообразие над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. В работе дается описание орбит связной компоненты единицы группы автоморфизмов многообразия X в терминах размерностей касательных пространств многообразия X, а также предлагается формула для нахождения этих размерностей.

В данной работе мы описываем реализацию алгоритма Винберга для произвольной гиперболической решетки без ограничений.

Доказано, что если на жестком нормальном аффинном многообразии без непостоянных обратимых функций есть действие тора сложности один, то группа его автоморфизмов -- это конечное расширение тора.

В работе показано, что факториальная триномиальная гиперповерх- ность является жёсткой тогда и только тогда, когда все показатели степеней ki , lj , mr не меньше 2. В работе [2] описана группа регулярных автоморфиз- мов жёсткой триномиальной гиперповерхности и доказано, что две жёсткие триномиальные гиперповерхности изоморфны тогда и только тогда, когда их уравнения совпадают с точностью до перенумерации переменных.

Пусть k – алгебраически замкнутое поле характеристики нуль, и пусть G_a=(k,+)– его аддитивная группа. Алгебраическое многообразие X называется гибким, если касательное пространство в каждой его регулярной точке порождено касательными векторами к орбитам различных регулярных действий группы Ga. В 1972 г. Э. Б. Винберг и В. Л. Попов ввели класс аффинных S-многообразий, т.е. таких многообразий, на которых действует связная алгебраическая группа с открытой орбитой, причем стационарная подгруппа любой точки этой орбиты содержит максимальную унипотентную подгруппу группы G. В этой статье мы докажем гибкость S-многообразий полупростых групп. 

An irreducible algebraic variety X is rigid if it admits no nontrivial action of the additive group of the ground field. We prove that the automorphism group  of a rigid affine variety contains a unique maximal torus . If the grading on the algebra of regular functions  defined by the action of  is pointed, the group  is a finite extension of . As an application, we describe the automorphism group of a rigid trinomial affine hypersurface and find all isomorphisms between such hypersurfaces.

By an additive action on a hypersurface H in a projective space we mean an effective action of a commutative unipotent group on the projective space which leaves H invariant and acts on H with an open orbit. Brendan Hassett and Yuri Tschinkel have shown that actions of commutative unipotent groups on projective spaces can be described in terms of local algebras with some additional data. We prove that additive actions on projective hypersurfaces correspond to invariant multilinear symmetric forms on local algebras. It allows us to obtain explicit classification results for non-degenerate quadrics and quadrics of corank one.

В работе доказана бесконечная транзитивность действия группы специальных автоморфизмов аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо степени 4 и 5.

In this note we survey recent results on automorphisms of affine algebraic varieties, infinitely transitive group actions and flexibility. We present related constructions and examples, and discuss geometric applications and open problems.

Студенческие олимпиады по алгебре проводятся на мехмате МГУ с 2006 г. В книге собраны условия и решения задач этой олимпиады с 2006 по 2010 г. Многие задачи, использованные на олимпиадах, являются оригинальными, други взяты из книг, научных статей и математического фольклора.

Книга предназначена для школьников старших классов математического профиля, студентов и аспирантов.

Будем говорить, что группа G действует на множестве X бесконечно транзитивно, если для любого m ∈ N диагональное действие группы G транзитивно на X^m \ Δ, где X^m \ Δ – дополнение к объединению диаго- налей в m-й декартовой степени множества X. Описываются три класса аффинных алгебраических многообразий, для которых группа автоморфизмов действует на множестве гладких точек бесконечно транзитивно. Первый класс образуют нормальные конусы над многообразиями флагов, второй – невырожденные торические многообразия, третий – итерированные надстройки над аффинными многообразиями с бесконечно транзитивной группой автоморфизмов описанного типа. Библиография: 42 названия.

We consider actions of reductive groups on a variety with finitely generated Cox ring, e.g., the classical case of a diagonal action on a product of projective spaces. Given such an action, we construct via combinatorial data in the Cox ring all maximal open subsets such that the quotient is quasiprojective or embeddable into a toric variety. As applications, we obtain an explicit description of the chamber structure of the linearized ample cone and several Gelfand–MacPherson type correspondences relating quotients by reductive groups to quotients by torus actions. Moreover, our approach provides a general access to the geometry of many of the resulting quotient spaces

Данная работа посвящена изучению действий редуктивных групп на нормальных аффинных алгебраических многообразиях с однопараметрическим семейством сферических орбит максимальной размерности при условии, что категорный фактор для такого действия одномерен. В качестве приложения полученных результатов мы завершаем классификацию действий группы SL2на нормальных трехмерных аффинных многообразиях. Основное поле K предполагается алгебраически замкнутым и нулевой характеристики.  Библиография: 15 названий.