Вебинар НУГ "Дифференциальные уравнения и численные методы"
Приглашаем вас на научно-исследовательский вебинар в четверг, 4 марта 2021 в 19:40. Данный вебинар посвящен компактным разностным схемам. Дмитрий Шадрин расскажет о компактной разностной схеме для эллиптических уравнений с разрывным коэффициентом, а Алексей Романов - для квазилинейных параболических уравнений.
Тема первого доклада:
Компактная разностная схема для эллиптических уравнений с разрывным коэффициентом
(PDF, 1.02 Мб)
Докладчик:
- Д.А. Шадрин, НИУ ВШЭ, Факультет Математики
Аннотация:
Построена компактная схема 3-го порядка для 2-мерной задачи Дирихле для уравнений Пуассона и Гельмгольца с разрывным коэффициентом. Коэффициент в уравнении – кусочно-постоянный его разрыв проходит по линии скачка Г – границе прямоугольника. На линии Г выполняются условия Кирхгофа. В точках, далеких от углов, производится компактная аппроксимация 4-го порядка, на шаблонах и коэффициентах, полученных в предыдущей работе авторов. В качестве тестовых функций используются мономы, а на Г – еще и мономы, умноженные на функцию Хевисайда по нормальной к Г переменной. В углах линии Г в качестве тестовых функций используем обобщенные собственные функции дифференциального оператора задачи, в точках соседних с углом - смешанный набор тестовых функций. Построенная схема дает примерно 3-й порядок в L2 и C нормах, в то время как другие алгоритмы дают максимум второй.
Тема второго доклада:
Компактная разностная схема для квазилинейных параболических уравнений
(Бюргерса, Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова) (PDF, 2.12 Мб)
Докладчик:
- А.С. Романов, НИУ ВШЭ, Факультет Компьютерных Наук
Аннотация:
Эксперименты проводились на двух важных известных примерах уравнений: ФКПП (нелинейность без производных) и Бюргерса – Бейтмана (нелинейность под первой производной), но разработанный метод применим к широкому классу параболических уравнений со слабой нелинейностью.
Шаг по времени в алгоритме состоит из применения явной разностной схемы и ее коррекции компактной схемой. Для этих примеров нелинейности и компактные схемы разные. На одинаковых сеточных шаблонах 3х2 используются различные наборы тестовых функций (мономов) и получаются различные коэффициенты схемы. Компактная схема линеаризуется в окрестности результата шага явной схемы. Тогда введение поправок к явной схеме сводится к применению прогонки. В некоторых случаях (интегрирование на длительные сроки) такие поправки стоит вводить дважды.
Использовались явные схемы Адамса - Бэшфорда и Мак-Кормака. В качестве эталонных для проверки точности алгоритмов использовались как точные аналитические решения уравнений, так и их численные решения на особо мелкой сетке. Особенно сложны для аппроксимации решения уравнения Бюргерса, близкие к ударной волне.
Введение поправок по компактной схеме приводит к расширению пределов устойчивости для упомянутых явных схем и, как правило, к заметному уменьшению погрешностей решения. Во многих случаях увеличивается порядок точности схемы. Даны рекомендации, какой вариант солвера (например, в зависимости от шагов схемы и коэффициента диффузии) предпочтителен.
Предложенный алгоритм реализации компактной схемы эффективен, поскольку применение прогонки требует малого числа арифметических операций.
Запись вебинара:
https://cloud.mail.ru/stock/mhZRK2M8bmFxWCuyAa8nBfaP