Мои научные интересы - это теория чисел и элементарная математика
Алексей Устинов — новый профессор департамента больших данных и информационного поиска. Мы поговорили с Алексеем Владимировичем о его научных задачах, о математическом образовании, о том, как преподавать математику школьникам, и о планах на ближайшее будущее.
Как получилось, что Вы стали математиком?
Путь в математику у меня был довольно стандартный. В 1988 году, после 8 класса, я поступил в физико-математическую школу № 18 при МГУ (через год школа превратилась в Специализированный учебно-научный центр (СУНЦ) МГУ и, кажется, одновременно в школу-интернат имени А. Н. Колмогорова). Потом учился на мехмате МГУ. После окончания аспирантуры работал на кафедре теории чисел.
В университете моим научным руководителем был Николай Михайлович Коробов — замечательный математик и очень хороший педагог. Он открыл мне дорогу в аналитическую теорию чисел, которая и стала моей специальностью. На мехмате МГУ я проработал до 2006 года, после чего переехал в Хабаровск. Там, вплоть до последнего момента, я работал в Хабаровском отделении института прикладной математики ДВО РАН. Туда меня пригласил Виктор Алексеевич Быковский — тоже замечательный математик, один из ведущих специалистов по теории чисел в России. Мы с ним были знакомы, так как в своё время он тоже был учеником Н. М. Коробова. В итоге получилось, что я 15 лет прожил в Хабаровске. С 1 ноября моё основное место работы — ФКН.
Расскажите о своих научных интересах?
В математике мне больше всего нравятся задачи, которые приходят из других областей математики: геометрии чисел, теории алгоритмов или физики. Простейший пример — это анализ алгоритма Евклида.
На число шагов в алгоритме Евклида можно смотреть как на длину цепной дроби — чисто арифметического объекта, а можно — как на число приведённых (в некотором смысле) базисов в двумерной решётке. Поэтому вопрос о среднем числе шагов в алгоритме Евклида можно интерпретировать как задачу о подсчёте числа матриц с фиксированным определителем, а это уже стандартный объект для исследований методами теории чисел. Это позволяет изучать статистические свойства цепных дробей, например, так появляются статистики Гаусса - Кузьмина.
Есть ещё разные задачи, в которых цепные дроби играют роль вспомогательного инструмента. Таким образом, зная статистики Гаусса - Кузьмина, можно описывать статистические свойства других объектов. Например, на этом пути можно получить статистические свойства траекторий частиц в двумерных кристаллах (известных как газ Лоренца). Если ставить аналогичную задачу для трёхмерных решёток (исследовать статистические свойства алгоритма Евклида для трёх чисел, то в качестве инструмента возникают трёхмерные цепные дроби, которые восходят к Вороному и Минковскому. Их теория пока до конца не построена. У меня получилось посчитать для них трёхмерные аналоги статистик Гаусса - Кузьмина — статистики приведенных базисов в трёхмерных решетках.
Последний результат, полученный мною совместно с Михаилом Скопенковым, касается «шашек Фейнмана». Это дискретная модель движения электрона, который может двигаться по прямой и интерферировать сам с собой. Фейнман придумал ее для того, чтобы объяснять квантовые свойства электрона. Существующая непрерывная модель тоже позволяет всё объяснять, но не имеет математически строгого основания. Шашки Фейнмана известны также как модель одномерного квантового блуждания — квантового, потому что результат блуждания зависит не только от начальных и конечных позиций, но и от числа поворотов на возможных траекториях.
У нас получилось решить задачу, поставленную Фейнманом — доказать, что эта дискретная модель согласована с известной непрерывной моделью. Кроме того, оказалось, что вся эта конструкция, пришедшая из физики, обладает ещё и интересными теоретико-числовыми свойствами. Вместо треугольника Паскаля, который описывает стандартные случайные блуждания, появляется пара связанных друг с другом «квантовых» числовых треугольника.
Вас пригласили руководить лабораторией математического образования, созданной на факультете математики. Расскажите об этом направлении Вашей работы?
Сложилось так, что кроме основного направления — теории чисел, я всегда занимался элементарной математикой и её преподаванием. Одновременно с работой на мехмате МГУ я работал и в СУНЦ МГУ, где преподавал алгебру и геометрию. Там был написан сборник задач «Алгебра и теория чисел для математических школ» (совместно с Н. Б. Алфутовой). В частности, он использовался для заполнения задачной базы данных problems.ru. Многие зарубежные коллеги с сожалением отмечают, что не существует аналогичного англоязычного ресурса. Чуть позже мы совместно с Надеждой Борисовной Алфутовой и Юрием Евгеньевичем Егоровым собрали задачи, которые в разные годы использовались как вступительные в колмогоровский интернат. Этот сборник получил название «18 х 18. Вступительные задачи ФМШ при МГУ». Многие школьники потом говорили, что именно эта книга послужила для них толчком к поступлению в СУНЦ МГУ и к дальнейшим занятиям математикой.
Вместе с коллегами мы организовывали олимпиадные школы, различные соревнования. Например, Алексей Пономарёв и Владимир Шарич придумали замечательное «математическое многоборье», в проведении которого я с большим удовольствием участвовал. В последние годы оно не проводится, но есть надежда, что это соревнование возродится.
Последний интересный опыт — это участие в проведении Международной математической олимпиады. Она прошла летом 2021 года в Санкт-Петербурге. Мне посчастливилось быть членом задачного комитета. Было необходимо из длинного списка задач (около 150), присланных из разных стран, сделать шортлист из 32 задач. Все задачи нужно было решить, оценить их красоту, сложность и новизну. Шортлист уже становится основой для создания итогового варианта, состоящего из шести задач (шортлисты прошлых лет доступны: эти задачи тренеры национальных сборных используют для отбора школьников в команды).
Чем будет заниматься лаборатория математического образования?
Надо отметить, что в России всё, что связано с математическим образованием, представляет собой большую экосистему, созданную на базе давних традиций. Сначала появились олимпиады и сезонные школы. Первые летние математические школы проходили ещё в 1930-х годах прошлого века. Важной вехой было создание физико-математических школ-интернатов в начале 1960-х годов. В 1970 году появился журнал «Квант». Появились заочные школы ВЗМШ, ЗФТШ, МММФ, летние конференции Турнира Городов. Был создан Московский центр непрерывного математического образования, который стал формировать новый ландшафт. Была организована летняя школа «Современная математика» — наверное, самое любимое мною математическое мероприятие. Сейчас благодаря появлению образовательного центра «Сириус» работа с заинтересованными школьниками вышла на совершенно другой, «промышленный» уровень.
Сложилось сообщество замечательных людей, развивающих эту экосистему. Сам я тоже вношу посильный вклад, вхожу в редколлегии журналов «Квант» и «Математическое просвещение», по возможности участвую в соревнованиях и образовательных мероприятиях.
Создание на матфаке лаборатории математического образования — ещё один небольшой шаг, который, как мы надеемся, послужит развитию математического образования в России. Лаборатория будет заниматься экспертной, исследовательской, методической, просветительской и организационной работой. В каждом из этих направлений предстоит много работы. В частности, будет сформирован корпус экспертов в области математического образования, Планируется разработка концепций новых форматов взаимодействия со школьниками, в том числе в рамках реализации научных проектов. Будет исследоваться применение больших данных в современном математическом образовании. Планируется разрабатывать новые концепции для различных форм дополнительного математического образования. Будут и другие направления работы, ситуация станет понятней, когда лаборатория начнёт свою работу.
Какие у Вас планы? Расскажите о своих первых впечатлениях от ФКН?
В планах на ближайшее будущее – чтение на ФКН курсов по теории чисел и криптографии. Теория чисел, как мне кажется, может стать одним из базовых предметов. Она имеет очень много приложений в компьютерном мире. Криптография интересна тем, что её можно преподавать даже школьникам. Многие базовые идеи допускают интерпретацию в терминах бытовых предметов, конвертов, коробочек, замков, записок и так далее. В планах также организация сезонных школ более серьезного уровня, в которых могли бы принимать участие студенты и аспиранты. Вместе с коллегами мы предложим проект на майскую проектную математическую программу в «Сириусе».
Первые впечатления от ФКН очень приятные. Видно, что на факультете работают профессионалы, все вопросы решаются быстро и чётко, есть всё для комфортной работы. Думаю, будет интересно.
