Математический семинар ФКН объединяет математиков разных специальностей, а доклады доступны широкому кругу слушателей, включая аспирантов и заинтересованных студентов. Каждому выступающему предложено сформулировать для участников семинара актуальные задачи.
Заседания проходят раз в две недели по пятницам, с 18:10 до 19:30.
Докладчик: Валентин Овсиенко, CNRS, Лаборатория математики, Университет Реймса
Тема: q-деформированные числа и представления Бюрау
Аннотация: В докладе будут описаны понятия q-деформированных рациональных (и иррациональных) чисел и описаны их основные свойства. Будет также объяснена связь теории q-чисел с классическим представлением Бюрау групп кос. Эта связь позволяет дать ответ на открытую проблему классификации точных комплексных специализаций этого представления.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.
15) 8 сентября, Виктор Бухштабер: n- значные группы в разных областях математики
8 сентября 2023 в 18:10
Докладчик: Виктор Бухштабер, Международная лаборатория алгебраической топологии и её приложений НИУ ВШЭ, Математический институт им. В.А. Стеклова
Тема: n- значные группы в разных областях математики
Аннотация: В n- значных группах произведением пары точек является n-мультимножество, т.е. не упорядоченное множество из n точек, возможно с повторениями. Теория n- значные групп (конечных, дискретных, топологических, алгебраических, алгебро-геометрических ) развивается благодаря взаимосвязям с различными областями математики и математической физики. В докладе будут введены основные определения, ключевые примеры и конструкции этой теории.
Мы обсудим фундаментальные результаты классической теории групп и их представлений, комбинаторной теории групп, теории действия конечных групп на многообразиях, теории динамических систем дискретного времени, которые привели в важным результатам и приложениям теории n- значных групп.Будут сформулированы классификационные результаты и нерешенные актуальные задачи.
Доклад ориентирован на широкую аудиторию.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.
14) 23 июня, Александр Перепечко: Числа Маркова, гипотеза единственности и бирациональные преобразования
Тема: Числа Маркова, гипотеза единственности и бирациональные преобразования
Аннотация: Тройки Маркова - это решения диофантова уравнения x^2+y^2+z^2=3xyz, образующие бинарное дерево относительно трёх инволюций. Знаменитая гипотеза единственности гласит, что старшие элементы троек Маркова не повторяются. Мы обсудим идею, почему она может оказаться неразрешимой.
Также обсудим автоморфизмы соответствующих уравнению Маркова алгебраических поверхностей и возникающую комбинаторику взвешенных графов.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.
13) 9 июня, Алексей Таламбуца: Об орбитах наборов линейных функций и свободных полугруппах целочисленных матриц
Тема: Об орбитах наборов линейных функций и свободных полугруппах целочисленных матриц
Аннотация: Доклад будет посвящён двум задачам из разных областей, которые сравнительно просто формулируются, остаются нерешёнными уже несколько десятилетий и оказываются тесно связанными друг с другом.
Первый вопрос относится к арифметической комбинаторике и возник в 1970-х годах в связи с решением проблемы Эйлера о существовании латинских квадратов нечётных размеров. А именно, пусть f1, f2, ..., fk — набор линейных функций с неотрицательными целыми коэффициентами. При каких условиях на набор функций, множество всех образов числа 1, к которому итерированно применяются функции f1, f2, ..., fk, имеет положительную плотность как подмножество натурального ряда? Этой задачей занимались такие известные специалисты как П.Эрдёш, Д.Кнут, Р.Радо, Р.Ривест, Д.Кларнер и Д.Копперсмит, однако полного её решения до сих пор не найдено.
Другая задача относится к области алгоритмических проблем в алгебре. В 1991 году Д.Кларнер, Ж.-К. Бирже и У.Саттерфилд рассмотрели задачу проверки, является ли данный на вход набор квадратных целочисленных матриц базисом свободной полугруппы. Они доказали, что эта задача алгоритмически неразрешима для размера 3x3 и больше, а вот для матриц 2x2 этот вопрос с тех пор открыт. Интересным образом, для большого числа других алгоритмических вопросов про полугруппы матриц, в случае размера 3x3 также установлена неразрешимость, а для размера 2x2 проблема является открытой.
Будет рассказано о том, почему эти задачи связаны, а также о результатах, полученных в направлении их решения.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.
12) 26 мая, Сергей Кузнецов: Решётки замкнутых множеств: понятия и импликативные зависимости
Тема: Решётки замкнутых множеств: понятия и импликативные зависимости
Аннотация: В докладе рассматривается представление алгебраических решёток (lattice) решётками замкнутых множеств, называемыми также решётками понятий или решётками Галуа. Каждая такая решётка задаётся с помощью антимонотонного соответствия Галуа на некотором бинарном отношении. Множества элементов таких решёток, называемых (формальными) понятиями, могут служить основой различных методов кластеризации и классификации. Решётка понятий задаёт множество т.н. импликаций и приближённых импликаций (ассоциативных правил), по которым, в свою очередь, можно восстановить решётку понятий и исходное бинарное отношение. Будут рассмотрены некоторые проблемы подсчёта размера решёток понятий и базисов импликаций.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.
11) 12 мая, Артем Максаев: Автоморфизмы тотального графа матриц над конечным полем
Тема: Автоморфизмы тотального графа матриц над конечным полем
Аннотация: Тотальный граф кольца квадратных матриц над полем - это граф, вершинами которого являются все n x n матрицы над заданным полем, а ребрами соединяются те матрицы, сумма которых вырождена. Одним из важных вопросов при изучении графа является описание его автоморфизмов - биекций на множестве вершин графа, строго сохраняющих отношение смежности вершин. На сегодняшний день, для тотального графа матриц эта задача полностью решена, для любого поля и порядка матриц. В докладе мы обсудим методы решения этой задачи: в основном, для случая конечного поля, где задача интересным образом сводится к комбинаторным соображениям и вычислениям определенных чисел, связанных с матрицами. Но также затронем и случай бесконечного поля, и обсудим связи с другими задачами теории отображений, сохраняющих матричные инварианты.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.
10) 28 апреля, Виктор Лопаткин: Гомологии и их комбинаторный вид
Аннотация: В данном докладе планируется показать, что такое понятие как (ко)гомология появляется самым естественным образом в классических задачах. Мы начнём с разговора о том, как расширять группы и потом увидим, что сложение в столбик, которому нас учили, это чисто гомологическое понятие. Мы поговорим про дальнейшие расширения и что их можно “умножать” и получать новые “расширения”. Далее, мы поговорим про резольвенты и поймём, что это тоже очень естественный объект, который в первом приближении нужно понимать как нечто такое, которое изучает отношения, потом отношения между отношениями, потом отношения между отношениями между отношениями и.т.д. В заключении планируется рассказать, как гомологии чувствуют изменения в группе, про подход Ромы Михайлова к проблеме Капланского о делителях нуля, а также универсальный алгоритм как их вычислять у ассоциативных алгебр, которые заданы через образующие и соотношения.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R406.
В рамках Дней компьютерных наук сотрудники ФКН выступят с короткими сообщениями, в которых расскажут о ярких и понятных широкой математической аудитории результатах, к получению которых они причастны.
Приглашаются все желающие. Приходите, будет интересно!
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R201.
9) 31 марта, Степан Кузнецов: Алгебраические логики с итерацией Клини
31 марта 2023 в 18:10
Докладчик: Степан Кузнецов, ФКН НИУ ВШЭ; МИАН им. В.А. Стеклова.
Тема: Алгебраические логики с итерацией Клини
Аннотация: Итерация, или звёздочка Клини — это одна из наиболее интересных алгебраических операций, используемых в теоретической информатике. Алгебраические структуры с итерацией Клини, развившиеся из известной алгебры регулярных выражений, широко используются для описания формальных языков и для моделирования вычислительных процессов. В связи с этим интерес представляют алгебраические логики для структур с итерацией — т.е. логические исчисления, описывающие тождества, истинные в таких структурах — их алгоритмическая разрешимость и сложность. Эти логики оказываются неклассическими (точнее, субструктурными) вариантами логики высказываний, однако, за счёт индуктивной природы звёздочки Клини, приобретают некоторые черты намного более сильных систем, таких как формальная арифметика. В докладе будет дан обзор результатов об алгебраических логиках с итерацией Клини, как ранее известных, так и принадлежащих докладчику.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.
8) 17 марта, Николай Верещагин: Полудуплексная коммуникационная сложность
Аннотация: В классической модели коммуникационной сложности, введённой Эндрю Яо в 1979 году, рассматривается игра для двух игроков, Алисы и Боба, которые хотят вычислить f(x,y) для некоторой функции f, причём Алисе известно только значение x, а Бобу - только значение y. Для решения этой задачи Алиса и Боб могут общаться, посылая друг другу битовые сообщения по одному биту за раунд. Важное свойство этой коммуникационной модели заключается в том, что на каждом раунде общения один из игроков посылает некоторое битовое сообщение, а другой игрок обязательно его принимает. Коммуникационная сложность функции определяется как минимальное количество битов, которые нужно передать, чтобы вычислить f(x,y) для всех возможных пар x,y.
Эта модель была обобщена в 2018 году Гувером, Импальяццо, Михайлиным и Смалем до модели, описывающей общение по так называемому полудуплексному каналу. Широко известный пример полудуплексного канала в обычной жизни - это общение при помощи раций: для передачи сообщения по рации нужно зажать кнопку передачи (принцип «push-to-talk»), в то же время на принимающей стороне в этот момент кнопка должна быть отпущена. Если два человека пытаются передавать сообщения одновременно (т.е. у обоих рации находятся в режиме передачи), то они не слышат друг друга. Есть разные модели полудуплексных коммуникационных протоколов: модель с тишиной (если оба пытаются принять сообщения, то они получают специальный символ "тишина"), модель с нулем (они принимают нулевой бит) и модель с противником (они принимают произвольные биты, выбираемые противником). Для большинства функций коммуникационная сложность с тишиной и с нулем меньше классической коммуникационной сложности. Однако до сих пор было неизвестным, различается ли коммуникационная сложность с противником от классической. Мы приведем пример функции, для которой полудуплексная коммуникационная сложность с противником строго меньше классической коммуникационной сложности.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.
7) 3 марта, Григорий Кабатянский: Разделение секрета – многочлены над конечными полями, комбинаторика, коды и матроиды
Тема: Разделение секрета – многочлены над конечными полями, комбинаторика, коды и матроиды
Аннотация: Доклад будетпосвящен некоторым математическим задачам, возникающим при изучении так называемого разделения секрета. Саму задачу можно сформулировать так: надо «разделить» секрет между n участниками таким образом, что разрешенные коалиции участников могли бы найти секрет, а любые неразрешенные не знали о секрете ничего «дополнительного», т.е. кроме априорных сведений. Самый популярный и изученный пример – пороговые схемы, т.е. разрешенные коалиции это все коалиции из t или более участников, и никакие больше. Эта задача связана, в частности, со следующей гипотезой, известной в комбинаторике, теории кодирования идаже алгебраической геометрии – пусть множество из n r-мерных векторов над конечным полем из q элементов таково, что любые r из них линейно независимы. Тогда n<q+2 (два исключения в характеристике 2). Гипотеза недавно доказана для простых полей.
А еще мы обсудим задачу о построении семейств k-мерных подпространств в n-мерном пространстве со свойством «все или ничего»,то есть линейная оболочка любого множества этих подпространств пересекается с фиксированным k-мернымподпространством либо по вектору 0, либо содержит это фиксированное подпространство целиком. А отсюда уже рукой подать до матроидов!
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.
6) 17 февраля, Дмитрий Шабанов: Пороговые вероятности в случайных графах и гиперграфах
Тема: Пороговые вероятности в случайных графах и гиперграфах
Аннотация: Одно из основных направлений исследований в теории случайных подмножеств связано с поиском так называемых пороговых вероятностей. В биномиальной модели случайного подмножества Γ(n,p) данный эффект может быть кратко описан следующим образом: для каждого монотонного возрастающего свойства существует такая функция q(n), что при p=o(q) вероятность наличия свойства у случайного подмножества стремится к нулю, а при p=ω(q), наоборот, стремится к единице. Особенный интерес для изучения представляет ситуация, когда пороговая вероятность является точной.
В докладе будет дан краткий обзор общих результатов о пороговых вероятностях, а также представлены недавние результаты докладчика с соавторами об оценках пороговых вероятностей для свойств раскрасок случайных гиперграфов.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.
5) 3 февраля, Алексей Ремизов: Восстановление изображений математическими методами
Тема: Восстановление изображений математическими методами
Аннотация: Доклад посвящен прикладной задаче - восстановлению поврежденных изображений (inpainting). Существует большое число подходов к этой задаче, основанных на различных идеях. В докладе планируется рассказать о методе восстановления, основанном на использовании геометрической модели зрения, восходящей к работам нобелевских лауреатов Хьюбеля и Визеля, согласно которой плоское изображение, воспринимаемое сетчаткой глаза, обрабатывается нейронами коры головного мозга и "поднимается" на трехмерное многообразие - проективизированное касательное расслоение плоскости. Кроме того, планируется обсудить ситуации, в которых этот метод не работает и требуется придумать что-то совсем другое. Доклад носит ярко выраженный прикладной характер, будет много эмпирических данных, но не доказано ни одной теоремы.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.
4) 20 января, Иван Аржанцев: Образы аффинного пространства
Аннотация: В докладе изучаются алгебраические многообразия над полем комплексных чисел. Мы расскажем, что такое аффинное, проективное и абстрактное алгебраическое многообразие, и определим морфизмы между ними. Затем мы перейдем к вопросу о том, какие алгебраические многообразия можно реализовать как образы аффинного пространства. Оказывается, таких многообразий очень много. Используя понятие гибкого многообразия и конструкцию фактор-пространства, мы докажем, что для любого невырожденного торического многообразия X существует сюръективный морфизм из аффинного пространства в X. Аналогичный результат справедлив для однородных пространств и для многообразий, покрытых аффинными пространствами. Также в докладе будут сформулированы пять открытых вопросов, над которыми могут работать слушатели, знакомые лишь с основами алгебраической геометрии.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.
2022
3) 11 ноября, Валентин Промыслов: Гипотеза о соответствиях Джека
Аннотация: Структурные константы Джека были введены в 1996 Гулденом и Джексоном как коэффициенты некоторых рядов, зависящие от параметра α и обобщающие структурные константы двух классических коммутативных подалгебр групповой алгебры симметрической группы, а именно, алгебры классов сопряжённости (при α = 1) и алгебры двойных смежных классов (при α = 2).
Структурные константы двух указанных алгебр (соответствующие значениям α = 1, 2) имеют интересные комбинаторные и топологические интерпретации в терминах паросочетаний на графах, вложенных в локально ориентируемые поверхности. Исходя из этой интерпретаций Гулден и Джексон выдвинули гипотезу о комбинаторном смысле структурных констант Джека. Рассказ будет посвящен этой гипотезе, а также рекуррентным формулам, позволяющим доказать её в некоторых частных случаях.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.
2) 28 октября, Александр Калмынин: Суммы двух квадратов и модулярные формы
Аннотация: Множество натуральных чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, можно рассматривать как множество, промежуточное между простыми числами и множеством всех натуральных чисел. В этом контексте естественно решать задачи, представляющие интерес в случае простых чисел. Некоторые из них, такие как задача о числах-близнецах, оказываются тривиальными, а некоторые остаются настолько же сложными. Мы поговорим об одном из примеров последнего явления, а именно о распределении сумм двух квадратов в коротких интервалах. Задачи из этого направления оказываются тесно связаны со свойствами функции от двух переменных, которая проявляет некоторые из свойств автоморфных форм Якоби. В разложении Тейлора данной функции появляется последовательность одномерных модулярных форм, которая сводится к некоторой линейной дифференциальной рекуррентной последовательности многочленов. Все необходимые определения из теории модулярных форм будут даны в докладе.
Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R406.
1) 14 октября, Алексей Устинов: Скрытые теоремы сложения
