Математический семинар

Математический семинар ФКН объединяет математиков разных специальностей, а доклады доступны широкому кругу слушателей, включая аспирантов и заинтересованных студентов. Каждому выступающему предложено сформулировать для участников семинара актуальные задачи.

Заседания проходят раз в две недели по пятницам, с 18:10 до 19:30.

Бюро семинара:

• Аржанцев Иван Владимирович

• Устинов Алексей Владимирович

• Вялый Михаил Николаевич

• Максаев Артем Максимович

• Промыслов Валентин Валерьевич

26 апреля 2024 в 18:10

Докладчик: Ирина Резвякова, Математический институт им. В.А.Стеклова РАН

Тема: О плотнейших упаковках шаров

Аннотация: Доклад будет посвящен оптимальным упаковкам шаров в n-мерном пространстве. Мы коснёмся результатов Г. Кона и Н. Элкиса 2001 года о верхних оценках на плотность оптимальных упаковок в малых размерностях. Оказалось, что эти оценки в размерностях 8 и 24 практически совпадают с предполагаемыми плотностями, соответствующими решеткам Коркина — Золотарева в размерности 8 и решетке Лича в размерности 24. Будет рассказано о прорывной идее М. Вязовской 2016 года, позволившей с помощью модулярных форм дать окончательное решение задачи о плотнейшей упаковке в размерностях 8 и 24. В заключении будут сформулированы задачи, которые возникают при попытках найти плотнейшие упаковки в других размерностях.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.

2024

12 апреля: Математический блиц II

28) 29 марта, Валентина Кириченко: Последовательности квадратичных вычетов и невычетов

27) 15 марта, Анастасия Оноприенко: От интуиционистской логики к логике задач

15 марта 2024 в 18:10

Докладчик: Анастасия Оноприенко, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: От интуиционистской логики к логике задач

Аннотация: На рубеже XIX-XX веков случился кризис оснований математики.
Брауэр видел в качестве возможного варианта разрешения этой проблемы пересмотр смысла логических связок и кванторов и отказ от рассмотрения абстрактных объектов, существующих лишь в нашей, порой противоречивой, фантазии. По Брауэру, математика - не абстрактная теория или система правил, а весьма существенная часть человеческой деятельности и потому математические рассуждения должны быть интуитивно ясными и убедительными.
В докладе будет рассмотрена формализация интуиционистской логики, основанная на семантике типа Крипке. Используя эту семантику, мы докажем несколько интересных свойств интуиционистской логики.
С другой стороны, доводы Браэура принимали не все математики. В частности, он столкнулся с резкой оппозицией со стороны Гильберта. Колмогоров поставил перед собой цель примирить взгляды Гильберта и Брауэра и объяснить интуиционистское направление с точки зрения классической математики. По замыслу Колмогорова, интуиционистская математика укладывается в рамки классической, если интерпретировать высказывания интуиционистской логики как задачи. В докладе будут рассмотрены варианты формализации логики задач.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.

26) 1 марта, Максим Королёв: Дизайны на окружности

1 марта 2024 в 18:10

Докладчик: Максим Королев, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Дизайны на окружности

Аннотация: Нанесём на окружность q точек, разбивающих её на дуги равной длины и пронумеруем их числами от 0 до q-1. Возьмём некоторое целое число a, не делящееся на q, и соединим точку, имеющую номер k, с точкой номер m, где m =ak (mod q). Проделав это для всех k, мы получим рисунок из линий, который иногда называется "дизайном на окружности" или "круговым дизайном". Круговые дизайны - объекты, давно и хорошо известные и любителям, и профессионалам. Одна из причин - в том, что они обладают несомненной эстетической привлекательностью.

Кроме того, картинки, возникающие в ходе такой процедуры, можно реализовать в виде вещественных конструкций из нитей. Техника, основанная на создании изображений с помощью нитей, именуется "string art", "изонить", "вышивка по картону". Кроме того, на основе таких картинок можно объяснять физические явления, с которыми мы сталкиваемся повседневно, каждый раз, как берём в руки чашку с кофе или чаем.

Пусть задано число q, а радиус окружности равен (для простоты) единице. Сколько потребуется нити для реализации такой конструкции для заданного a? Известно, что если a-1 и q взаимно просты, то такая длина L = L(q,a) не зависит от a (это - школьное упражнение, но, кажется, этот факт был отмечен совсем недавно).

А что будет, если соединять точки не по "линейному" правилу k→ak (mod q), а по более сложному: k→ af(k) (mod q)? Визуальная красота, как правило, разрушается. Но можно поставить, например, тот же вопрос о поведении суммарной длины L(q,a) нити при фиксированном q и изменении a.

В докладе планируется познакомить слушателей с результатами численных экспериментов, отвечающих разным арифметическим функциям f, высказать некоторые предположения и сформулировать в виде утверждений то немногое, что удаётся строго доказать.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R204.

25) 16 февраля, Тома Ферник: Замощение, упаковка и оптимизация

24) 2 февраля, Юлия Зайцева: Аффинные моноиды и их алгебраические свойства

23) 19 января, Александра Скрипченко: Перекладывания отрезков и их родственники

19 января 2024 в 18:10

Докладчик: Александра Скрипченко, Факультет математики НИУ ВШЭ

Тема: Перекладывания отрезков и их родственники

Аннотация: Перекладывания отрезков - это отображение отрезка единичной оси в себя, которое в ограничении на заданные подотрезки исходного отрезка является сдвигом, а эти подотрезки меняет местами в соответствии с некоторой перестановкой. Этот простой комбинаторный объект позволяет описать поведение слоев измеримого слоения на ориентируемой поверхности или, например, траекторий бильярда в рациональном многоугольнике, поэтому динамические свойства перекладываний отрезков (минимальность, эргодичность, перемешивание) и специального потока над ними - потока Тейхмюллера - являются предметом активного изучения в теории динамических систем в последние 40 лет.

Оказывается, что в ряде задач естественно рассмотреть обобщения этого понятия - например, отказаться от требования сохранения ориентации или даже от условия, чтобы сдвигаемые подотрезки задавали разбиение исходного отрезка. В докладе мы обсудим, какие свойства перекладываний и потоков сохраняются для таких обобщений, а какие - заменяются на противоположные.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R505.

2023

22) 15 декабря, Владимир Бобков: Собственные значения и функции p-Лапласа

21) 1 декабря, Тарас Панов: Двойные гомологии момент-угол-комплексов и биградуированные персистентные модули

1 декабря 2023 в 18:10

Докладчик: Тарас Панов, ФКН НИУ ВШЭ, Факультет математики НИУ ВШЭ, МГУ

Тема: Двойные гомологии момент-угол-комплексов и биградуированные персистентные модули

Аннотация: Для конечного псевдометрического пространства X фильтрация Виеториса-Рипса представляет собой последовательность R(X,t) вложенных флаговых симплициальных комплексов, ассоциированных с X. Симплициальные гомологии комплексов R(X,t) используются для определения основных персистентных модулей в топологическом анализе данных - персистентных гомологий пространства X.

В торической топологии рассматривается более тонкий гомологический инвариант симплициального комплекса K - биградуированные гомологии момент-угол-комплекса ZK, ассоциированного с K. Момент-угол-комплекс ZK представляет собой пространство с действием тора, составленное из произведений дисков и окружностей, параметризованных симплексами в K. На ZK задано биградуированное клеточное разбиение, и соответствующие биградуированные группы гомологий H_{-i,2j}(ZK) содержат гомологии H_n(K) в качестве прямого слагаемого. Алгебраически биградуированные модули гомологии H_{-i,2j}(ZK) являются биградуированными компонентами Tor-модулей кольца Стэнли-Райснера k[K] и могут быть представлены в виде суммы приведённых симплициальных групп гомологии всех полных подкомплексов K_I в K.

На основе биградуированных гомологий момент-угол-комплексов ZR(X,t), связанных с фильтрацией Вьеториса-Рипса {R(X,t)}, можно определить биградуированные персистентные модули и биградуированные бар-коды облака точек (набора данных) X. Простые примеры показывают, что биградуированные персистентные гомологии могут различать облака точек, которые неразличимы обычными персистентными гомологиями.

Двойные гомологии HH*(ZK) определяются как гомологии цепного комплекса CH*(ZK)=(H*(ZK),d'), получаемого путём введения второго дифференциала d' на биградуированных гомологиях ZK. Биградуированные двойные гомологии существенно меньше, чем обычные биградуированные гомологии момент-угол-комплексов, и поэтому могут быть более доступными с вычислительной точки зрения. Что более важно, модули персистентных гомологий, определённые на основе биградуированных двойных гомологий фильтрации Вьеториса-Рипса, обладают свойством стабильности, т.е., грубо говоря, устойчивости к малым изменениям входных данных.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206.

20) 17 ноября, Михаил Вялый: Игры вычитания и полулинейные множества

19) 3 ноября, Артем Радомский: О теореме Романова и некоторых смежных вопросах

3 ноября 2023 в 18:10

Докладчик: Артем Радомский, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: О теореме Романова и некоторых смежных вопросах

Аннотация: Н. П. Романов доказал, что для каждого натурального числа a > 1 плотность натуральных чисел вида p+a n положительна (p пробегает все простые числа, n натуральные). Мы обобщаем теорему Романова в следующем направлении. При определенных условиях на последовательность {ak} ∞ k=1 мы получаем оценку снизу для количества натуральных чисел n ≤ x, представимых в виде n = p + ak. В частности, мы получаем точный порядок количества натуральных чисел n ≤ x, представимых в виде n = p + ak в случаях, когда ak = a R(k) , где R(k) — многочлен с целыми коэффициентами, принимающий положительные значения на множестве натуральных чисел, и когда aq = #E(Fq), где E(Fq) — эллиптическая кривая над полем Fq. Также в докладе мы планируем поговорить про количество простых чисел в кортежах {L1(n), . . . , Lk(n)}, где все Li(n) = ain + bi — линейные функции с натуральными коэффициентами, (ai , bi) = 1. В качестве следствия мы получаем количественные результаты для обобщенных функций Романова fA(n) = #{a ∈ A : n − a ∈ P}, где A — подмножество в N, а P — множество простых чисел.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206.

18) 20 октября, Роман Авдеев: Системы корней и связанные с ними комбинаторные задачи

17) 6 октября, Михаил Игнатьев: Представления нильпотентных алгебр Ли

6 октября 2023 в 18:10

Докладчик: Михаил Игнатьев, ФКН НИУ ВШЭ; Международная лаборатория теории представлений и математической физики ВШЭ – Сколтех

Тема: Представления нильпотентных алгебр Ли

Аннотация: Теория представлений полупростых конечномерных комплексных алгебр Ли - классический раздел теории представлений, многие вопросы в котором имеют красивые и точные ответы. В частности, конечномерные неприводимые представления полностью классифицированы и описываются с помощью комбинаторики старших весов системы корней данной полупростой алгебры Ли.

Совершенно другая картина открывается при переходе от полупростых к нильпотентным алгебрам Ли. Для начала, по очевидным соображениям нетривиальных конечномерных неприводимых представлений у таких алгебр не бывает, поэтому интерес представляет изучение бесконечномерных представлений. Более того, относительно несложно объяснить (и я сделаю это в докладе), почему нет почти никаких шансов полностью классифицировать неприводимые представления данной нильпотентной алгебры Ли: это связано с представлениями алгебры Вейля.

Тем не менее, в исследовании представлений нильпотентных алгебр Ли удаётся продвинуться довольно далеко. Ключевая идея заключается в том, чтобы изучать не сами представления, а их аннуляторы в универсальной обёртывающей алгебре - так называемые примитивные идеалы. Я расскажу, как эти идеалы описываются с помощью алгебраической версии метода орбит, и сформулирую ряд открытых проблем в этой области вместе с возможными подходами к их решению.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206.

16) 22 сентября, Валентин Овсиенко: q-деформированные числа и представления Бюрау

15) 8 сентября, Виктор Бухштабер: n- значные группы в разных областях математики

8 сентября 2023 в 18:10

Докладчик: Виктор Бухштабер, Международная лаборатория алгебраической топологии и её приложений НИУ ВШЭ, Математический институт им. В.А. Стеклова

Тема: n- значные группы в разных областях математики

Аннотация: В n- значных группах произведением пары точек является n-мультимножество, т.е. не упорядоченное множество из n точек, возможно с повторениями. Теория n- значные групп (конечных, дискретных, топологических, алгебраических, алгебро-геометрических ) развивается благодаря взаимосвязям с различными областями математики и математической физики. В докладе будут введены основные определения, ключевые примеры и конструкции этой теории.
Мы обсудим фундаментальные результаты классической теории групп и их представлений, комбинаторной теории групп, теории действия конечных групп на многообразиях, теории динамических систем дискретного времени, которые привели в важным результатам и приложениям теории n- значных групп.Будут сформулированы классификационные результаты и нерешенные актуальные задачи.
Доклад ориентирован на широкую аудиторию.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

14) 23 июня, Александр Перепечко: Числа Маркова, гипотеза единственности и бирациональные преобразования

13) 9 июня, Алексей Таламбуца: Об орбитах наборов линейных функций и свободных полугруппах целочисленных матриц

9 июня 2023 в 18:10

Докладчик: Алексей Таламбуца, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Об орбитах наборов линейных функций и свободных полугруппах целочисленных матриц

Аннотация: Доклад будет посвящён двум задачам из разных областей, которые сравнительно просто формулируются, остаются нерешёнными уже несколько десятилетий и оказываются тесно связанными друг с другом.

Первый вопрос относится к арифметической комбинаторике и возник в 1970-х годах в связи с решением проблемы Эйлера о существовании латинских квадратов нечётных размеров. А именно, пусть f1, f2, ..., fk — набор линейных функций с неотрицательными целыми коэффициентами. При каких условиях на набор функций, множество всех образов числа 1, к которому итерированно применяются функции f1, f2, ..., fk, имеет положительную плотность как подмножество натурального ряда? Этой задачей занимались такие известные специалисты как П.Эрдёш, Д.Кнут, Р.Радо, Р.Ривест, Д.Кларнер и Д.Копперсмит, однако полного её решения до сих пор не найдено.

Другая задача относится к области алгоритмических проблем в алгебре. В 1991 году Д.Кларнер, Ж.-К. Бирже и У.Саттерфилд рассмотрели задачу проверки, является ли данный на вход набор квадратных целочисленных матриц базисом свободной полугруппы. Они доказали, что эта задача алгоритмически неразрешима для размера 3x3 и больше, а вот для матриц 2x2 этот вопрос с тех пор открыт. Интересным образом, для большого числа других алгоритмических вопросов про полугруппы матриц, в случае размера 3x3 также установлена неразрешимость, а для размера 2x2 проблема является открытой.

Будет рассказано о том, почему эти задачи связаны, а также о результатах, полученных в направлении их решения.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

12) 26 мая, Сергей Кузнецов: Решётки замкнутых множеств: понятия и импликативные зависимости

11) 12 мая, Артем Максаев: Автоморфизмы тотального графа матриц над конечным полем

10) 28 апреля, Виктор Лопаткин: Гомологии и их комбинаторный вид

28 апреля 2023 в 18:10

Докладчик: Виктор Лопаткин, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Гомологии и их комбинаторный вид

Аннотация: В данном докладе планируется показать, что такое понятие как (ко)гомология появляется самым естественным образом в классических задачах. Мы начнём с разговора о том, как расширять группы и потом увидим, что сложение в столбик, которому нас учили, это чисто гомологическое понятие. Мы поговорим про дальнейшие расширения и что их можно “умножать” и получать новые “расширения”. Далее, мы поговорим про резольвенты и поймём, что это тоже очень естественный объект, который в первом приближении нужно понимать как нечто такое, которое изучает отношения, потом отношения между отношениями, потом отношения между отношениями между отношениями и.т.д. В заключении планируется рассказать, как гомологии чувствуют изменения в группе, про подход Ромы Михайлова к проблеме Капланского о делителях нуля, а также универсальный алгоритм как их вычислять у ассоциативных алгебр, которые заданы через образующие и соотношения.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R406.

10 апреля: Математический блиц

9) 31 марта, Степан Кузнецов: Алгебраические логики с итерацией Клини

31 марта 2023 в 18:10

Докладчик: Степан Кузнецов, ФКН НИУ ВШЭ; МИАН им. В.А. Стеклова.

Тема: Алгебраические логики с итерацией Клини

Аннотация: Итерация, или звёздочка Клини — это одна из наиболее интересных алгебраических операций, используемых в теоретической информатике. Алгебраические структуры с итерацией Клини, развившиеся из известной алгебры регулярных выражений, широко используются для описания формальных языков и для моделирования вычислительных процессов. В связи с этим интерес представляют алгебраические логики для структур с итерацией — т.е. логические исчисления, описывающие тождества, истинные в таких структурах — их алгоритмическая разрешимость и сложность. Эти логики оказываются неклассическими (точнее, субструктурными) вариантами логики высказываний, однако, за счёт индуктивной природы звёздочки Клини, приобретают некоторые черты намного более сильных систем, таких как формальная арифметика. В докладе будет дан обзор результатов об алгебраических логиках с итерацией Клини, как ранее известных, так и принадлежащих докладчику.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

8) 17 марта, Николай Верещагин: Полудуплексная коммуникационная сложность

17 марта 2023 в 18:10

Докладчик: Николай Верещагин, ФКН НИУ ВШЭ, Мехмат МГУ, Яндекс

Тема: Полудуплексная коммуникационная сложность

Аннотация: В классической модели коммуникационной сложности, введённой Эндрю Яо в 1979 году, рассматривается игра для двух игроков, Алисы и Боба, которые хотят вычислить f(x,y) для некоторой функции f, причём Алисе известно только значение x, а Бобу - только значение y. Для решения этой задачи Алиса и Боб могут общаться, посылая друг другу битовые сообщения по одному биту за раунд. Важное свойство этой коммуникационной модели заключается в том, что на каждом раунде общения один из игроков посылает некоторое битовое сообщение, а другой игрок обязательно его принимает. Коммуникационная сложность функции определяется как минимальное количество битов, которые нужно передать, чтобы вычислить f(x,y) для всех возможных пар x,y.
Эта модель была обобщена в 2018 году Гувером, Импальяццо, Михайлиным и Смалем до модели, описывающей общение по так называемому полудуплексному каналу. Широко известный пример полудуплексного канала в обычной жизни - это общение при помощи раций: для передачи сообщения по рации нужно зажать кнопку передачи (принцип «push-to-talk»), в то же время на принимающей стороне в этот момент кнопка должна быть отпущена. Если два человека пытаются передавать сообщения одновременно (т.е. у обоих рации находятся в режиме передачи), то они не слышат друг друга. Есть разные модели полудуплексных коммуникационных протоколов: модель с тишиной (если оба пытаются принять сообщения, то они получают специальный символ "тишина"), модель с нулем (они принимают нулевой бит) и модель с противником (они принимают произвольные биты, выбираемые противником). Для большинства функций коммуникационная сложность с тишиной и с нулем меньше классической коммуникационной сложности. Однако до сих пор было неизвестным, различается ли коммуникационная сложность с противником от классической. Мы приведем пример функции, для которой полудуплексная коммуникационная сложность с противником строго меньше классической коммуникационной сложности.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

7) 3 марта, Григорий Кабатянский: Разделение секрета – многочлены над конечными полями, комбинаторика, коды и матроиды

3 марта 2023 в 18:10

Докладчик: Григорий Кабатянский ФКН НИУ ВШЭ, Сколтех

Тема: Разделение секрета – многочлены над конечными полями, комбинаторика, коды и матроиды

Аннотация: Доклад будет посвящен некоторым математическим задачам, возникающим при изучении так называемого разделения секрета. Саму задачу можно сформулировать так: надо «разделить» секрет между n участниками таким образом, что разрешенные коалиции участников могли бы найти секрет, а любые неразрешенные не знали о секрете ничего «дополнительного», т.е. кроме априорных сведений. Самый популярный и изученный пример – пороговые схемы, т.е. разрешенные коалиции это все коалиции из t или более участников, и никакие больше. Эта задача связана, в частности, со следующей гипотезой, известной в комбинаторике, теории кодирования и даже алгебраической геометрии – пусть множество из n r-мерных векторов над конечным полем из q элементов таково, что любые r из них линейно независимы. Тогда n<q+2 (два исключения в характеристике 2). Гипотеза недавно доказана для простых полей.
А еще мы обсудим задачу о построении семейств k-мерных подпространств в n-мерном пространстве со свойством «все или ничего», то есть линейная оболочка любого множества этих подпространств пересекается с фиксированным k-мерным подпространством либо по вектору 0, либо содержит это фиксированное подпространство целиком. А отсюда уже рукой подать до матроидов!

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.

6) 17 февраля, Дмитрий Шабанов: Пороговые вероятности в случайных графах и гиперграфах

5) 3 февраля, Алексей Ремизов: Восстановление изображений математическими методами

4) 20 января, Иван Аржанцев: Образы аффинного пространства

2022

3) 11 ноября, Валентин Промыслов: Гипотеза о соответствиях Джека

2) 28 октября, Александр Калмынин: Суммы двух квадратов и модулярные формы

28 Октября 2022 в 18:10

Докладчик: Александр Калмынин, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Суммы двух квадратов и модулярные формы

Аннотация: Множество натуральных чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, можно рассматривать как множество, промежуточное между простыми числами и множеством всех натуральных чисел. В этом контексте естественно решать задачи, представляющие интерес в случае простых чисел. Некоторые из них, такие как задача о числах-близнецах, оказываются тривиальными, а некоторые остаются настолько же сложными. Мы поговорим об одном из примеров последнего явления, а именно о распределении сумм двух квадратов в коротких интервалах. Задачи из этого направления оказываются тесно связаны со свойствами функции от двух переменных, которая проявляет некоторые из свойств автоморфных форм Якоби. В разложении Тейлора данной функции появляется последовательность одномерных модулярных форм, которая сводится к некоторой линейной дифференциальной рекуррентной последовательности многочленов. Все необходимые определения из теории модулярных форм будут даны в докладе.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R406.

1) 14 октября, Алексей Устинов: Скрытые теоремы сложения