Публикации

Матрицей-стрелкой называется матрица с нулями вне главной диагонали, первой строки и первого столбца. В работе рассматривается пространство $M_{\St_n,\lambda}$ всех эрмитовых матриц-стрелок размера $(n+1)\times (n+1)$, имеющих заданный простой спектр $\lambda$. Доказано, что это пространство является гладким $2n$-многообразием, и его тип диффеоморфизма не зависит от спектра. На этом многообразии задано локально стандартное действие тора: мы описываем топологию и комбинаторику его пространства орбит. Если $n\geqslant 3$, пространство орбит $M_{\St_n,\lambda}/T^n$ не является многогранником, а значит $M_{\St_n,\lambda}$ не является квазиторическим многообразием. Тем не менее, на $M_{\St_n,\lambda}$ есть действие группы перестановок, которое продолжается до комбинированного действия полупрямого произведения $T^n\rtimes\Sigma_n$. Пространством орбит этого большого действия является простой многогранник $\B^n$. В работе описана структура этого многогранника. В случае $n=3$, пространство $M_{\St_3,\lambda}/T^3$ является полноторием, граница которого разбита регулярным образом на шестиугольники. Такое описание позволяет вычислить кольцо когомологий и эквивариантных когомологий 6-мерного многообразия $M_{\St_3,\lambda}$, используя общую теорию, развитую первым автором. Мы также применяем эту теорию к другому $6$-мерному многообразию, названному двойником $M_{\St_3,\lambda}$. Двойник также обладает действием тора половинной размерности, а также имеет нетривиальные касательное и нормальное расслоения.

В данной статье получены вычислимые оценки скорости сходимости нормированной статистики Пиллая к стандартному нормальному распределению при условии, что размерность данных возрастает пропорционально объёму выборки. Приведённый результат позволяет корректно вычислять p-значения в прикладных задачах многомерного анализа данных. Задачи в постановке, когда число анализируемых признаков сравнимо с объемом выборки, все чаще возникают в области обработки сигналов.

Aiming to understand the data complexity of answering conjunctive queries mediated by an axiom stating that a class is covered by the union of two other classes, we show that deciding their first-order rewritability is PSPACE-hard and obtain a number of sufficient conditions for membership in AC0, L, NL, and P. Our main result is a complete syntactic AC0/NL/P/CONP tetrachotomy of path queries under the assumption that the covering classes are disjoint.

A fast adaptive heuristic stochastic gradient descent method is proposed. It is shown that this algorithm has a higher convergence rate in practical problems than currently popular optimization methods. Furthermore, a justification of this method is given, and difficulties that prevent obtaining optimal estimates for the proposed algorithm are described.