Дополнительные главы теории вероятностей 3
Преподаватель: Шабанов Дмитрий Александрович
Модуль: 1-2
Кредиты: 3
Аннотация:
Курс посвящен изучению ряда направлений, связанных со случайными процессами с непрерывным временем. От слушателей потребуется знание курса теории вероятностей в продвинутом варианте, предполагается знание основных случайных процессов (винеровский, пуассоновский, мартингалы).
Примерный план занятий:
1. Сходимость по распределению случайных процессов .
Слабая сходимость вероятностных мер в метрических пространствах, борелевская сигма-алгебра в метрическом пространстве. Теорема Александрова. Цилиндрическая и борелевская сигма-алгебры на C[0,1]. Сходимость по распределению случайных процессов с непрерывными траекториями на [0,1], наследование сходимости при взятии непрерывной функции. Принцип инвариантности Донскера-Прохорова (б/д).
2. Критерий Колмогорова в математической статистике .
Критерии согласия в непрерывном случае. Теорема Колмогорова (формулировка) и распределение Колмогорова. Доказательство первой части теоремы Колмогорова: доказательство независимости распределения статистики от вида истинной функции распределения. Критерий Колмогорова и его свойства. Лемма о сходимости статистики в теореме Колмогорова по распределению к максимуму модуля броуновского моста на [0,1]. Броуновский мост, его распределение как предел условных распределений винеровского процесса. Нахождение распределения максимума модуля броуновского моста с помощью перехода к случайному блужданию.
3. Простейшие линейные преобразования
Стохастическая непрерывность и непрерывность в среднем квадратичном случайного процесса. Критерий непрерывности в среднем квадратичном L2-процесса в терминах ковариационной функции. Дифференцирование случайных процессов по вероятности и в среднем квадратичном. Интегрирование случайных процессов в среднем квадратичном, критерий интегрируемости.
4 . Стационарные случайные процессы
Стационарные случайные процессы: стационарность в узком и широком смыслах. Ортогональные случайные меры на измеримых пространствах. Стохастический интеграл по ортогональной случайной мере. Определение и свойства стохастического интеграла от простых функций. Построение стохастического интеграла в общем случае. Теорема об его основных свойствах. Спектральное представление. Теорема Карунена. Теорема Герглотца. Теорема о спектральном представлении стационарной в широком смысле последовательности. Теорема Бохнера - Хинчина. Спектральное представление стационарного в широком смысле случайного процесса на прямой.
5. Введение в стохастическое исчисление
Стохастический интеграл Ито. Понятие винеровского процесса относительно фильтрации, построение интеграла Ито с помощью ортогональных случайных мер. Основные свойства интеграла Ито. Лемма о вычислении интеграла Ито для простых функций. Предсказуемые процессы. Процесс Ито для предсказуемых L2-процессов. Лемма о вычислении интеграла Ито по конечному отрезку. Теорема о процессе Ито. Стохастический дифференциал, формула замены переменных Ито. Понятие сильного решения стохастического дифференциального уравнения, теорема о существовании и единственности сильного решения.
Для кого: 3-4 курсы ПМИ, магистратура ФКН
Расписание: четверг 18:10-19:30 с 17 сентября (онлайн)