Практикум по линейной алгебре

Преподаватель: Максаев Артем Максимович

Модуль: 1-2

Кредиты: 2

Аннотация:

Линейная алгебра — базовый предмет, без освоения которого невозможна успешная научная или прикладная деятельность. Приложения линейной алгебры повсеместно всречаются практически во всех разделах математики, а также в экономике, физике, анализе данных, методах машинного обучения и многих других прикладных отраслях. Курс рассчитан на студентов 1 курса, слушающих параллельно обязательный курс по линейной алгебре и геометрии. Цель «практикума по линейной алгебре» — дать дополнительную возможность студентам освоить теорию и методы решения задач по линейной алгебре. По сравнению с обязательным курсом, нет цели пройти большее количество материала. Напротив, цель — проиллюстрировать материал обязательного курса большим количеством примеров и отточить навыки решения типовых задач. Курс будет полезен для тех, кто нуждается в дополнительной подготовке для успешной сдачи обязательного курса.

План занятий: 

1. Системы линейных уравнений
   Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Алгоритм Гаусса. Существование ненулевого решения у однородной системы, когда число неизвестных больше числа уравнений.

2. Операции над матрицами
   Матрицы и операции над ними. Свойства умножения матриц, единичная матрица. Транспонирование матриц, матричные единицы. Решение матричных уравнений AX=B, XA=B, связь с СЛУ.

3. Перестановки и определитель
   Определение и умножение перестановок. Циклы. Знак перестановки. Три подхода к определителям: (I) согласованность с умножением, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) явная формула с помощью перестановок. Способы вычисления определителей, разложение по строке и столбцу.

4. Обратная матрица
   Определение и свойства обратной матрицы. Критерии обратимости матрицы в терминах ступенчатого вида и определителя. Явная формула и практический способ вычисления обратной матрицы.

5. Комплексные числа
   Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (основная теорема алгебры). Алгебраическая и тригонометрческая форма комплексного числа, геометрический смысл. Корни из комплексных чисел.

6. Линейная зависимость и независимость векторов, базис
   Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость, линейная оболочка, базисы, ФСР однородной системы линейных уравнений.

7. Ранг матрицы
   Эквивалентные определения ранга матрицы: строчный, столбцовый, факториальный, минорный. Теорема Кронекера-Капелли. Основные свойства и способы вычисления ранга матрицы

Формула оценивания:

Итоговая оценка = 0,5 О_сем + 0,5 О_экз, где

О_сем - работа на семинарах, О_экз - оценка за экзамен

Для кого: 1 курс ПМИ и ПИ

Расписание: пятница 16:20 очно с 24 сентября