Дополнительные главы теории вероятностей
Преподаватель: Шабанов Дмитрий Александрович
Модуль: 3-4
Кредиты: 3
Формат проведения занятий: очно
Экзамен: в 4-м модуле
Аннотация:
Курс посвящен изучению различных вероятностных моделей, относящихся к теории случайных процессов. Будут рассмотрены классические модели, как с дискретным, так и непрерывным временем, а также их применения в вероятностной комбинаторике.
План занятий:
1. Простейшее случайное блуждание на прямой .
Вероятность возвращения в исходную точку в симметричном и несимметричном случае, среднее время проводимое блужданием в нуле, закон повторного логарифма, случайное блуждание в многомерных пространствах.
2. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона .
Уравнение для вероятности вырождения ветвящегося процесса, теорема о корнях данного уравнения, общее число частиц в ветвящемся процессе.
3. Случайные графы .
Биномиальная модель случайного графа, фазовый переход в случайном графе, теорема о гигантской компоненте связности, связность случайного графа.
4. Пуассоновский процесс .
Пуассоновский процесс как простейшая модель массового обслуживания, процессы восстановления, явная конструкция пуассоновского процесса, модель страхования Крамера Лундберга.
5. Мартингалы .
Мартингалы, теорема об остановке (невозможность разумной выигрышной стратегии при игре с «нулевой суммой»), мартингальный подход к задаче о разорении игрока, теорема об остановке для непрерывного времени, оценка вероятности разорения в модели страхования Крамера-Лундберга.
6. Процесс броуновского движения .
Броуновское движение как вероятностная модель хаотического движения, два эквивалентных определения броуновского движения, основные свойства траекторий броуновского движения, моменты остановки, строго марковское свойство и принцип отражения.
Формула оценивания: Домашнее задание – вес 0,8 Экзамен – вес 0,2 В домашнем задании накопительная система, каждая задача весит 0,4 балла.
Пререквизиты: Знание базового курса теории вероятностей..
Для кого: Студенты ФКН.