Выпуклые многогранники и дискретная геометрия
Преподаватель: Айзенберг Антон Андреевич
Модуль: 1-4
Кредиты: 4
Аннотация:
В курсе будут пройдены различные красивые сюжеты, связанные выпуклыми многогранниками и частично дискретной геометрией. У меня нет цели построить какую-то сложную теорию с кучей формальных определений и теорем. Курс будет состоять из небольших блоков, посвященных отдельным темам. Иногда блоки окажутся связанными, но в целом, пропуск отдельного блока не сильно критичен. Мы начнем с трехмерных многогранников и сюжетов, в принципе, доступных старшеклассникам: основы сферической геометрии, жесткость и изгибаемость многогранников, дискретная кривизна, третья проблема Гильберта. Потом, когда у первокурсников (которым warm welcome) появятся необходимые знания из линейной алгебры, мы переключимся на n-мерные многогранники, и обсудим, какая от них бывает польза в математике и естественных науках. Поговорим и про сложные открытые вопросы в теории многогранников.
План занятий:
1 семестр
Тут достаточно (около)школьных знаний. 3-мерные многогранники:
1) Комбинаторика многогранников, формула Эйлера.
2-3) Основные метрические результаты: сферическая геометрия, полярные телесные углы, теорема Коши о жесткости, дискретная теорема Гаусса-Бонне, теорема Минковского о еже.Теорема Коши-Александрова.
4-5) 3-я проблема Гильберта и теорема Дена.
6) Линейное программирование-1. Пошел линал. n-мерные многогранники.
7) Определения выпуклых многогранников, формализм.
8) Линейное программирование-2. Гипотеза Хирша.
9) Объемы. Определитель Кэли-Менгера, изгибаемые многогранники, теоремы Сабитова и Гайфуллина.
10) Формула Пика. Многочлены Эрхарта, закон взаимности Эрхарта-Макдональда. Примеры конкретных
комбинаторных задач, сводящихся к подсчету точек в многограннике.
12) Сумма Минковского, примеры использования (алгоритм Гилберта-Джонсона-Кирти в физических движках). Сумма многогранника с шаром.
13) Смешанный объем. Системы полиномиальных уравнений и теорема Кушниренко-Бернштейна.
2 семестр (потенциально)
1) Разбиения Вороного и триангуляции Делоне. Алгоритм с параболоидом.
2) Решетки и параллелоэдры. Геометрические свойства параллелоэдров.
3) Комбинаторные многогранники. Общая формула Эйлера. Симплициальные, простые, f-векторы. h-числа, соотношения Дена-Соммервилля.
4) Формулировка g-теоремы. Открытые комбинаторные гипотезы, например, 3^d-гипотеза Калая, и описание комбинаторики 4-мерных многогранников.
5) Смежностные многогранники. Циклический многогранник.
6) Преобразование двойственности Гейла, основные свойства. Связь с химией: вещества - векторы, реакции - линейные зависимости.
7) Нерациональный комбинаторный многогранник Перлеса. Классификация симплициальных многогранников с малым числом вершин.
8-9) Классификация правильных многогранников: матрицы Картана, диаграмы Дынкина-Кокстера, и прочие сопутствующие темы.
10) Пермутоэдр и его замечательные свойства.
11) Вторичные многогранники. Ассоциэдр и его свойства.
Формула оценивания:
Оценка формируется из экзаменов (планируется их 2 - после 2 модуля и после 4 модуля) и листков с задачами, сдаваемых в течение семестра. Сдача по умолчанию письменная, но иногда я буду устраивать устный прием.
Для получения 9-10 баллов нужно будет проявить какую-то экстраординарную активность: сделать на семинаре доклад по статье или главе учебника, решать задачи со звездочкой, запилить какую-нибудь модельку (виртуально или физически) и т.д.
Предположительно, формула итоговой оценки будет
Итог=MIN(0.5*Экзамен+0.5*Накоп, 8+Экстра), округление арифметическое.
При этом итоговая оценка за Экзамен и Накоп будет усредняться по семестрам с весами 0.45 (за 1-й семестр) и 0.55 (за 2-й).
Пререквизиты:
Поначалу хорошее воображение и знание школьной стереометрии. Потом нужно будет понимать основы линейной алгебры. Сюжеты довольно разнообразные, и перечислить все знания, которые могут оказаться полезными, тут тяжело (это могут быть комплексные числа, биномиальные коэффициенты, функциональные уравнения, производящие функции, может даже градиенты). Но, думаю, что все недостающие знания можно будет добрать уже в процессе.
Для кого: бакалавриат, магистратура ФКН, Матфак, любые технически-математические направления