Введение в дискретную дифференциальную геометрию

Преподаватель: Бекетов Максим Евгеньевич

Модуль: 1-2

Кредиты: 2

Аннотация:  

Данный спецкурс представляет собой введение в дискретную дифференциальную геометрию – науку о дискретных аналогах понятий дифференциальной геометрии. Сама дифференциальная геометрия — это математическая дисциплина, изучающая геометрию гладких форм и пространств, также известных как гладкие многообразия, с использованием методов дифференциального исчисления, интегрального исчисления и линейной алгебры. Направление берет свое начало в изучении сферической геометрии еще в античности, поскольку она связана с астрономией и геодезией Земли.

Простейшими примерами гладких многообразий являются плоские и пространственные кривые и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, и изучение этих форм легло в основу развития современной дифференциальной геометрии в 18—19 вв. Дифференциальная геометрия находит применение в математике и естественных науках. Язык дифференциальной геометрии использовался Альбертом Эйнштейном в его общей теории относительности, а затем физиками при разработке квантовой теории поля и стандартной модели физики элементарных частиц. Помимо физики, дифференциальная геометрия находит применение в химии, экономике, технике, теории управления, компьютерной графике и компьютерном зрении, а в последнее время — в машинном обучении. В нашем курсе вместо гладких кривых и поверхностей рассматриваются полигональные сетки и симплициальные комплексы, для них определяются кривизна и прочие понятия.

Дискретная дифференциальная геометрия активно применяется в современной компьютерной графике, а некоторые темы активно применяются и в анализе данных, потому курс имеет практическую направленность – каждое занятие подразумевает, помимо теоретических задач, также и программные примеры и упражнения. Стоит также сказать, что в современной математике результаты ДДГ активно применяются, например, в топологической комбинаторике.

Пререквизиты:

- Начала анализа (производные). Знакомство с “многомерным анализом” (частные производные, градиент и тп.) будет полезным, но не обязательно – все будет введено в курсе.

- Линейная алгебра (нужно помнить, что такое собственные числа и векторы).

- Базовые навыки программирования, в том числе объектно-ориентированного. Программные упражнения реализованы на кастомном фреймворке на C++, но в достаточно простой форме, чтобы знания любого языка программирования было достаточно для их решения.

Формула оценки:  

В курсе предполагается две домашние контрольные работы (после 5 и 10 недель). Формула оценивания: Итог =0,5*ДКР1+0,5*ДКР2.