Дополнительные главы теории вероятностей 2

Курс посвящен изучению различных вероятностных моделей, относящихся к теории случайных процессов и математической статистике. Будут рассмотрены классические модели, как с дискретным, так и непрерывным временем, а также их применения в математической статистике.От слушателей потребуется знание базового курса теории вероятностей и математической статистики (в любом варианте). Примерное содержание и темы курса:

1. Марковские цепи с дискретным временем.

Марковские цепи с дискретным временем, стационарные распределения и эргодическая теорема, классификация состояний марковской цепи, критерий возвратности состояния, задача о «разборчивой невесте» - марковский подход.

2. Марковские цепи с непрерывным временем.

Марковские цепи с непрерывным временем, свойства переходных вероятностей. Инфинитезимальная матрица марковской цепи. Дифференциальные уравнения Колмогорова, эргодическая теорема. Процессы размножения, проблема «ухода на бесконечность за конечное время».

3. Энтропия.

Энтропия случайной величины и вектора, условная энтропия, их основные свойства. Неравенство Ширера. Применение энтропии в комбинаторике: теорема Кана о числе независимых множеств в регулярном двудольном графе.

4. Начала последовательного анализа

Постановка задачи последовательного анализа. Построение критерия для проверки двух простых гипотез. Среднее число измерений, необходимых для различения гипотез, сравнение с классическим вариантом.

5. Сходимость по распределению случайных процессов.

Слабая сходимость вероятностных мер в метрических пространствах, борелевская сигма-алгебра в метрическом пространстве. Теорема Александрова. Цилиндрическая и борелевская сигма-алгебры на C[0,1]. Сходимость по распределению случайных процессов с непрерывными траекториями на[0,1], наследование сходимости при взятии непрерывной функции. Принцип инвариантности Донскера-Прохорова (б/д).

6. Критерий Колмогорова в математической статистике.

Критерии согласия в непрерывном случае. Теорема Колмогорова (формулировка) и распределение Колмогорова. Доказательство первой части теоремы Колмогорова: доказательство независимости распределения статистики от вида истинной функции распределения. Критерий Колмогорова и его свойства. Лемма о сходимости статистики в теореме Колмогорова по распределению к максимуму модуля броуновского моста на [0,1]. Броуновский мост, его распределение как предел условных распределений винеровского процесса. Нахождение распределения максимума модуля броуновского моста с помощью перехода к случайному блужданию.

Преподаватель: Дмитрий Шабанов

По понедельникам в 12:10
1 модуль
с 16 сентября по 21 октября
с 12.10 до 13.30 – ауд.G119
2 модуль
c 28 октября по 23 декабря
с 12.10 до 13.30 – ауд.D108