Введение в дискретную дифференциальную геометрию

Преподаватели: Бекетов Максим Евгеньевич, Чернышев Всеволод Леонидович

Модуль: 1-2

Кредиты: 2

Аннотация: 

Данный спецкурс представляет собой введение в дискретную дифференциальную геометрию – науку о дискретных аналогах понятий дифференциальной геометрии. Сама дифференциальная геометрия — это математическая дисциплина, изучающая геометрию гладких форм и пространств, также известных как гладкие многообразия, с использованием методов дифференциального исчисления, интегрального исчисления и линейной алгебры. Направление берет свое начало в изучении сферической геометрии еще в античности, поскольку она связана с астрономией и геодезией Земли. Простейшими примерами гладких многообразий являются плоские и пространственные кривые и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, и изучение этих форм легло в основу развития современной дифференциальной геометрии в 18—19 вв. Дифференциальная геометрия находит применение в математике и естественных науках. Язык дифференциальной геометрии использовался Альбертом Эйнштейном в его общей теории относительности, а затем физиками при разработке квантовой теории поля и стандартной модели физики элементарных частиц. Помимо физики, дифференциальная геометрия находит применение в химии, экономике, технике, теории управления, компьютерной графике и компьютерном зрении, а в последнее время — в машинном обучении.
В нашем курсе вместо гладких кривых и поверхностей рассматриваются полигональные сетки и симплициальные комплексы, для них определяются кривизна и прочие понятия. Дискретная дифференциальная геометрия активно применяется в современной компьютерной графике, а некоторые темы активно применяются и в анализе данных, потому курс имеет практическую направленность – каждое занятие подразумевает, помимо теоретических задач, также и программные примеры и упражнения. Стоит также сказать, что в современной математике результаты ДДГ активно применяются, например, в топологической комбинаторике.

План занятий:

1) Комбинаторные поверхности
1. Абстрактные симплициальные комплексы
2. Звезды, замыкания и границы
3. Симплициальные поверхности
4. Матрицы смежности
5. Полуребра и перестановки

2) Введение в дифференциальную геометрию
1. Геометрия поверхностей
2. Производные и касательные вектора
3. Геометрия кривых
4. Геометрия поверхностей
5. Геометрия в координатах

3) Введение в внешний анализ
1. Внешняя алгебра (алгебра Грассмана)
2. Вектора и 1-формы
3. Дифференциальные формы и внешнее произведение
4. Двойственность Ходжа
5. Дивергенция, градиент, ротор
6. Теорема Стокса
7. Дискретный внешний анализ

4) Кривизна дискретных поверхностей
1. Градиент площади
2. Градиент объема
3. Теорема Гаусса-Бонне
4. Численные методы

5) Лапласиан
1. Дискретизация (поверхностей) методом конечных элементов
2. Дискретизация методами дискретного внешнего анализа
3. Полигональные сетки (меши)
4. Уравнение Пуассона
5. Поток средней кривизны

6) Параметризация поверхностей
1. Конформная структура
2. Уравнения Коши - Римана
3. Дифференциальные формы на римановой поверхности
4. Конформная параметризация
5. Собственные числа и вектора, оптимизация

7) Векторные поля
1. Разложение Ходжа
2. Базис в гомологиях и гармонический базис
3. Связность и параллельный перенос

Формула оценивания:

В курсе предполагается две домашние контрольные работы (после 5 и 10 недель).
Формула оценивания:
Итог =0,5*ДКР1+0,5*ДКР2

Пререквизиты: Начала анализа (производные). Знакомство с “многомерным анализом” (частные производные, градиент и тп.) будет полезным, но необязательно – все будет введено в курсе. Линейная алгебра (нужно помнить, что такое собственные числа и векторы). Базовые навыки программирования, в том числе объектно-ориентированного. Программные упражнения реализованы на кастомном фреймворке на C++, но в достаточно простой форме, чтобы знания любого языка программирования было достаточно для их решения.

Для кого:  Студенты 3+ курса бакалавриата технических дисциплин (см. пререквизиты). Студенты магистратуры. Аспиранты.