Семинар по теории чисел

28 мая в 17:45, G406 состоялся двадцать седьмой семинар

Докладчик: Арзамасов Александр

Тема: Распределение длин отрезков в задаче о трёх расстояниях

Аннотация: На семинаре обсудим геометрическое доказательство задачи о трёх расстояниях и выведем формулы для длин получившихся отрезков. Можно также задаться вопросом, как распределены длины отрезков. Мы выведем для них функцию распределения и докажем, что при n → ∞ существует предел по распределению.

21 мая в 17:45, G406 состоялся двадцать шестой семинар

Докладчик: Гайфулин Дмитрий Радиславович

Тема: О геодезических на поликвадратных областях.

Аннотация: Назовём геодезическую на двумерном многообразии суперплотной, если для любого начального отрезка длины n её плотность, то есть супремум расстояния от точек многообразия до геодезической >> 1/n. Нетрудно видеть, что величину 1/n ни для какой геодезической нельзя заменить на более медленно убывающую функцию. Из теоремы Чебышёва следует, что геодезическая на двумерном торе суперплотна тогда и только тогда, когда её крутизна (тангенс угла наклона) есть иррациональное плохо приближаемое число. Мы обсудим принадлежащее Беку и Чену обобщение этого результата, когда область склеена из произвольного конечного числа квадратов с отождествлёнными по некоторым правилам границами.

14 мая в 17:45, D102 состоялся двадцать пятый семинар

Докладчик: Кучерявый Пётр

Тема: Перестановки, реализуемые движением с целыми скоростями по окружности.

Аннотация: Пусть n бегунов начинают бежать из точки старта по круговому стадиону длины 1 с фиксированными различными ненулевыми целыми скоростями. Обозначим через A набор их скоростей. В каждый момент времени будем смотреть, в каком порядке они расположены на беговой дорожке, считая началом точку старта. Этот порядок задаёт перестановку n элементов в любой иррациональный момент времени, так как тогда никакие два бегуна не находятся в одной точке и ни один не находится в точке старта. Таким образом, по набору целых чисел A мы получаем отображение из иррациональных чисел в группу перестановок n элементов. Нас будет интересовать, каков образ этого отображения в зависимости от A.

Хорошо известен в литературе случай A = (1, 2, ..., n). Тогда перестановки в образе называются перестановками Шош и были впервые изучены Верой Шош в связи с теоремой о трёх промежутках. 

Мы поговорим о том, при каких A это отображение сюръективно, и обсудим некоторые случаи, когда удаётся посчитать явно размер образа.

23 апреля в 17:45, D102 состоялся двадцать четвёртый семинар

Докладчик: Дмитриев Михаил

Тема: Шашки Фейнмана с поглощением: вероятности и пределы.

Аннотация: Шашки Фейнмана — одна из простейших моделей, описывающих движение электрона. Доклад посвящён её модификации, когда электрон поглощается, достигая заранее заданной точки. Одна из нерешённых проблем, связанных с моделью — нахождение универсальной формулы для вероятностей поглощения в различных точках. В докладе мы получим такую формулу в интегральном виде. Помимо этого будет рассказан результат о слабом пределе при поглощении в 0.

16 апреля в 17:45, D102 состоялся двадцать третий семинар

Докладчик: Овсиенко Валентин Юрьевич

Тема: Квантованные тройки чисел: от троек Пифагора до троек Маркова и назад к Пифагору!

Аннотация: На семинаре будет рассказано, как применять понятие q-деформированных рациональных чисел для построения q-деформаций других объектов. Подход основан на действии группы PSL(2,Z).

9 апреля в 17:45, D102 состоялся двадцать второй семинар

Докладчик: Устинов Алексей Владимирович

Тема: О произведениях последовательностей Сомос-4

Аннотация: Майкл Сомос привёл пример двух последовательностей Сомоса-4, произведение которых также является последовательностью Сомоса-4. В докладе будет рассказано о природе подобных примеров.

2 апреля в 17:45, D102 состоялся двадцать первый семинар

Докладчик: Ожегов Фёдор

Тема: Вокруг шашек Фейнмана с электромагнитным полем

Аннотация: Шашки Фейнмана — одна из простейших моделей для описания движения электрона по прямой. Эта модель была представлена Фейнманом в 1940х годах. Сегодня эта модель и некоторые её модификации известны под названием квантовых блужданий и активно изучаются. Я постараюсь ввести основные определения в этой модели и рассказать о некоторых новых результатах, полученных для модификации модели с полем.

26 марта в 17:45, D202 состоялся двадцатый семинар

Докладчик: Гундарин Роман

Тема: Последовательность Сомос-4 и определители Ганкеля

Аннотация: В 2000 году М. Сомос заметил, что при рассмотрении определителей Ганкеля ряда y(z), заданного уравнением эллиптической кривой y² - y = z³ - z, получается последовательность Сомос-4 (1, 2, 3, 7, 23, 59, ...). Позже было доказано, что любая, с точностью до некоторых преобразований, последовательность Сомос-4 является последовательностью определителей Ганкеля некоторого ряда. Мы приведём новое доказательство этого факта и покажем, что последовательность сдвинутых определителей Ганкеля того же ряда является эллиптической последовательностью.

19 марта в 17:45, G405 состоялся девятнадцатый семинар

Докладчик: Александр Борисович Калмынин

Тема: Мажоранта Бёрлинга-Сельберга (продолжение)

Аннотация: На прошлом докладе мы построили функцию B(z) и показали одно из её применений: оценку для среднего значения полинома Дирихле. Мы продолжим изучать приложения данной конструкции в аналитической теории чисел, а именно построим тригонометрический полином Ваалера, приближающий функцию дробной части, и докажем неравенство большого решета для тригонометрических сумм. Также планируется обсудить приложения большого решета: оценки для количества простых чисел в коротком интервале, количества чисел-близенцов, не превосходящих данной величины и несколько других похожих задач.

12 марта в 17:45, D101 состоялся восемнадцатый семинар

Докладчик: Александр Борисович Калмынин

Тема: Мажоранта Бёрлинга-Сельберга

Аннотация: Мажорантой Бёрлинга-Сельберга называется целая функция B(z) экспоненциального типа 2π, для которой на вещественной прямой выполнено B(x)≥sgn(x) и значение интеграла по всей прямой от B(x)-sgn(x) минимально. Функция B(z) и линейные комбинации её сдвигов естественным образом возникают в применениях анализа Фурье к теории чисел. В частности, формула суммирования Пуассона позволяет строить тригонометрические многочлены, мажорирующие функцию дробной части. Мы построим мажоранту Бёрлинга-Сельберга и докажем её основные свойства, а затем будем двигаться в сторону приложений. В конце мы обсудим неравенства большого решета.

5 марта в 17:45, D102 состоялся семнадцатый семинар

Докладчик: Илларионов Андрей Анатольевич

Тема: Пустые и почти пустые целочисленные симплексы

Аннотация: Многогранник называется целочисленным, если его вершины – целочисленные точки. Целочисленный многогранник называется пустым, если он не содержит целочисленных точек, кроме  своих вершин. Пусть P – пустой целочисленный n-мерный симплекс. Если n=2, то площадь P равна 1/2. Если n>2, то объём P может  быть сколь угодно большим.
В докладе мы обсудим эти факты, рассмотрим теорему Уайта о пустых трёхмерных симплексах, а также поговорим о новом результате об объёме целочисленного симплекса, содержащего ровно одну целочисленную точку, отличную от своих вершин.
Доклад основан на совместной работе с О.Н. Германом.

26 февраля в 18:10, K417 состоялся шестнадцатый семинар

Докладчик: Пелевин Фёдор

Тема: Об одном отношении эквивалентности на множестве последовательностей и функций конечного ранга

Аннотация: Пара не равных тождественно нулю целых функций (числовых последовательностей) называется гиперэллиптической системой конечного ранга, если она удовлетворяет функциональному уравнению типа теорем сложения тэта-функций. Будем считать, что функции (последовательности) эквивалентны, если они образуют гиперэллиптическую систему. Доклад посвящен доказательству того, что рассматриваемое отношение действительно является отношением эквивалентности.

19 февраля в 18:10, K417 состоялся пятнадцатый семинар

Докладчик: Кучерявый Пётр

Тема: Теорема Пойа-Карлсона и её обобщения

Аннотация: Теорема Пойа-Карлсона утверждает, что если функция голоморфна в круге |z| < 1 и имеет целые коэффициенты в разложении в ряд Тейлора в 0, то она либо рациональна, либо не продолжается за границу единичного круга. На докладе мы обсудим красивое обобщение этой теоремы, найденное Пойа в 1921 году.
Чтобы сформулировать это обобщение, нам понадобится понятие конформного радиуса, которое мы также обсудим.

12 февраля в 18:10, N507 состоялся четырнадцатый семинар

Докладчик: Арзамасов Александр

Тема: Оценка числа точек модулярной гиперболы xy = l (mod q) под графиком линейной функции (окончание)

5 февраля в 18:10, N509 состоялся тринадцатый семинар

Докладчик: Арзамасов Александр

Тема: Оценка числа точек модулярной гиперболы xy = l (mod q) под графиком линейной функции (продолжение)

Аннотация: На семинаре мы займёмся оценкой остаточного члена, который получится из вычисленных на прошлом семинаре преобразований Фурье. Для этого оценим возникающие тригонометрические суммы, вспомним свойства арифметических функций.

29 января в 18:10 в аудитории S324 состоялся двенадцатый семинар

Докладчик: Арзамасов Александр

Тема: Оценка числа точек модулярной гиперболы xy = l (mod q) под графиком линейной функции

Аннотация: На семинаре обсудим задачу о подсчете числа точек модулярной гиперболы в областях, как она связана с суммами Клостермана и докажем оценку для области под графиком линейной функции.
Доказательство будет основано на применении формулы суммирования Пуассона и оценке возникающих тригонометрических сумм.

17 декабря в 16:20

Докладчик: Хитрин Глеб

Тема: Оценка числа точек на гиперэллиптической кривой над полем из p элементов (продолжение)

Аннотация: На прошлом семинаре мы определили путь доказательства оценки Гречникова числа точек на гиперэллиптической кривой над полем из p элементов. Был выбран многочлен, для которого абсциссы точек, лежащих на кривой, но не на оси ординат, являются корнями высокой кратности. Глобальной целью является снижение степени этого многочлена с помощью различных преобразований и операций, одной из которых было нахождение аппроксимации Паде многочлена, полученного на одном из этапов.
На этом семинаре будет получен многочлен, удовлетворяющий выдвинутым условиям, но имеющий не очень высокую степень. Мы найдём эту степень и докажем, что в рассматриваемом поле многочлен не является нулевым. Благодаря этому, будет получена оценка числа точек на кривой.

10 декабря в 16:20

Докладчик: Хитрин Глеб

Тема: Оценка числа точек на гиперэллиптической кривой над полем из p элементов

Аннотация: На семинаре мы обсудим задачу об оценке числа точек на гиперэллиптической кривой над полем из p элементов.
Одним из подходов к этой задаче является определение специального многочлена не слишком большой степени, который имеет корнями высокой кратности все абсциссы точек кривой. На этой идее основан метод С.А. Степанова, в котором требуемые полиномы находятся с помощью леммы Зигеля. Н.М. Коробов использовал иной подход с явной конструкцией для построения многочленов.
В докладе будет дана интерпретация метода Коробова в терминах аппроксимаций Паде, проясняющая природу используемых для оценки многочленов.

3 декабря в 16:20

Докладчик: Солунов Данила

Тема: Минимальные системы векторов в решётках (окончание)

26 ноября в 16:20

Докладчик: Солунов Данила

Тема: Минимальные системы векторов в решётках (продолжение)

Аннотация: На этом семинаре мы докажем, что систему векторов решётки можно эффективно проверять на минимальность и рассмотрим различные алгоритмы для осуществления такой проверки.

19 ноября в 16:20

Докладчик: Солунов Данила

Тема: Минимальные системы векторов в решётках

Аннотация: Систему векторов неприводимой решётки будем называть минимальной, если наименьший центрально-симметричный относительно начала координат параллелепипед с гранями, параллельными координатным гиперплоскостям и содержащий все векторы этой системы, не содержит во внутренности ненулевых точек решётки.
Минимальные системы играют ключевую роль в конструкции цепных дробей Вороного-Минковского – геометрической интерпретации классических цепных дробей, которая естественным образом обобщается на многомерный случай.
В докладе будет дано введение в основные результаты о минимальных системах векторов решёток, а также рассмотрены полиномиальные алгоритмы проверки минимальности системы в решётках фиксированной размерности.

12 ноября в 16:20

Докладчик:  Пелевин Фёдор

Тема: Последовательность Сомос-4 и её тени  (продолжение)

Аннотация: На предыдущем семинаре были сформулированы результаты об общем решении и ранге теней последовательности Сомос-4. В рамках настоящего доклада будет подробно представлено их доказательство. Также мы покажем, что аналогичные результаты могут быть получены, если рассматривать элементы последовательности Сомос-4 как формальные степенные ряды.

5 ноября в 16:20

Докладчик: Пелевин Фёдор

Тема: Последовательность Сомос-4 и её тени

Аннотация: Первым нетривиальным примером последовательности Сомоса является последовательность Сомос-4. Она обладает множеством свойств: целочисленность, лорановость, конечность ранга, а её общее решение выражается в терминах сигма-функции Вейерштрасса.
Доклад посвящён теням последовательности Сомос-4  — последовательностям, связанным с ней некоторым линейным рекуррентным соотношением. Мы покажем, что их общее решение также выражается в терминах эллиптических функций Вейерштрасса и докажем, что их ранг не превосходит восьми. Также мы рассмотрим более широкий класс последовательностей, связанных с последовательностью Сомос-4 различными рекуррентными соотношениями и наследующих свойства лорановости и конечности ранга.

22 октября в 16:20

Докладчик: Гундарин Роман

Тема: О 𝑞-деформациях металлических сечений (окончание)

Аннотация: На этом семинаре мы докажем периодичность структуры C-таблицы 𝑞-деформации золотого сечения и обсудим другие связанные результаты и гипотезы.

15 октября в 16:20

Докладчик: Гундарин Роман

Тема: О 𝑞-деформациях металлических сечений (продолжение)

Аннотация: На прошлом семинаре были разобраны необходимые свойства C-таблиц из теории аппроксимаций Паде. Теперь мы займёмся непосредственно 𝑞-деформациями чисел и структурой C-таблиц 𝑞-деформаций металлических сечений. Знание содержания предыдущего семинара не требуется: все необходимые формулировки будут напомнены.

8 октября в 16:20

Докладчик: Гундарин Роман

Тема: О 𝑞-деформациях металлических сечений

Аннотация: 𝑞-деформации чисел — это ряды с целыми коэффициентами, связанные с разложением в цепную дробь. Доклад будет посвящен описанию структуры нулей в таблицах определителей Ганкеля 𝑞-деформаций золотого и серебряного сечений. Попутно будут рассказаны построение 𝑞-деформаций чисел и необходимые сведения из теории аппроксимаций Паде.

Michael Somos
"Somos Sequences Diophantine Solutions"

Some classic Diophantine equations have solutions given by general Somos sequences. I give some examples. They include the congruent number problem, x^3 + y^3 = Az^3, and Fermat rational triangle problem from 1643.