Семинар по теории чисел

29 января в 18:10 в аудитории S324 состоится двенадцатый семинар

Докладчик: Арзамасов Александр

Тема: Оценка числа точек модулярной гиперболы xy = l (mod q) под графиком линейной функции

Аннотация: На семинаре обсудим задачу о подсчете числа точек модулярной гиперболы в областях, как она связана с суммами Клостермана и докажем оценку для области под графиком линейной функции.
Доказательство будет основано на применении формулы суммирования Пуассона и оценке возникающих тригонометрических сумм.

17 декабря в 16:20

Докладчик: Хитрин Глеб

Тема: Оценка числа точек на гиперэллиптической кривой над полем из p элементов (продолжение)

Аннотация: На прошлом семинаре мы определили путь доказательства оценки Гречникова числа точек на гиперэллиптической кривой над полем из p элементов. Был выбран многочлен, для которого абсциссы точек, лежащих на кривой, но не на оси ординат, являются корнями высокой кратности. Глобальной целью является снижение степени этого многочлена с помощью различных преобразований и операций, одной из которых было нахождение аппроксимации Паде многочлена, полученного на одном из этапов.
На этом семинаре будет получен многочлен, удовлетворяющий выдвинутым условиям, но имеющий не очень высокую степень. Мы найдём эту степень и докажем, что в рассматриваемом поле многочлен не является нулевым. Благодаря этому, будет получена оценка числа точек на кривой.

10 декабря в 16:20

Докладчик: Хитрин Глеб

Тема: Оценка числа точек на гиперэллиптической кривой над полем из p элементов

Аннотация: На семинаре мы обсудим задачу об оценке числа точек на гиперэллиптической кривой над полем из p элементов.
Одним из подходов к этой задаче является определение специального многочлена не слишком большой степени, который имеет корнями высокой кратности все абсциссы точек кривой. На этой идее основан метод С.А. Степанова, в котором требуемые полиномы находятся с помощью леммы Зигеля. Н.М. Коробов использовал иной подход с явной конструкцией для построения многочленов.
В докладе будет дана интерпретация метода Коробова в терминах аппроксимаций Паде, проясняющая природу используемых для оценки многочленов.

3 декабря в 16:20

Докладчик: Солунов Данила

Тема: Минимальные системы векторов в решётках (окончание)

26 ноября в 16:20

Докладчик: Солунов Данила

Тема: Минимальные системы векторов в решётках (продолжение)

Аннотация: На этом семинаре мы докажем, что систему векторов решётки можно эффективно проверять на минимальность и рассмотрим различные алгоритмы для осуществления такой проверки.

19 ноября в 16:20

Докладчик: Солунов Данила

Тема: Минимальные системы векторов в решётках

Аннотация: Систему векторов неприводимой решётки будем называть минимальной, если наименьший центрально-симметричный относительно начала координат параллелепипед с гранями, параллельными координатным гиперплоскостям и содержащий все векторы этой системы, не содержит во внутренности ненулевых точек решётки.
Минимальные системы играют ключевую роль в конструкции цепных дробей Вороного-Минковского – геометрической интерпретации классических цепных дробей, которая естественным образом обобщается на многомерный случай.
В докладе будет дано введение в основные результаты о минимальных системах векторов решёток, а также рассмотрены полиномиальные алгоритмы проверки минимальности системы в решётках фиксированной размерности.

12 ноября в 16:20

Докладчик:  Пелевин Фёдор

Тема: Последовательность Сомос-4 и её тени  (продолжение)

Аннотация: На предыдущем семинаре были сформулированы результаты об общем решении и ранге теней последовательности Сомос-4. В рамках настоящего доклада будет подробно представлено их доказательство. Также мы покажем, что аналогичные результаты могут быть получены, если рассматривать элементы последовательности Сомос-4 как формальные степенные ряды.

5 ноября в 16:20

Докладчик: Пелевин Фёдор

Тема: Последовательность Сомос-4 и её тени

Аннотация: Первым нетривиальным примером последовательности Сомоса является последовательность Сомос-4. Она обладает множеством свойств: целочисленность, лорановость, конечность ранга, а её общее решение выражается в терминах сигма-функции Вейерштрасса.
Доклад посвящён теням последовательности Сомос-4  — последовательностям, связанным с ней некоторым линейным рекуррентным соотношением. Мы покажем, что их общее решение также выражается в терминах эллиптических функций Вейерштрасса и докажем, что их ранг не превосходит восьми. Также мы рассмотрим более широкий класс последовательностей, связанных с последовательностью Сомос-4 различными рекуррентными соотношениями и наследующих свойства лорановости и конечности ранга.

22 октября в 16:20

Докладчик: Гундарин Роман

Тема: О 𝑞-деформациях металлических сечений (окончание)

Аннотация: На этом семинаре мы докажем периодичность структуры C-таблицы 𝑞-деформации золотого сечения и обсудим другие связанные результаты и гипотезы.

15 октября в 16:20

Докладчик: Гундарин Роман

Тема: О 𝑞-деформациях металлических сечений (продолжение)

Аннотация: На прошлом семинаре были разобраны необходимые свойства C-таблиц из теории аппроксимаций Паде. Теперь мы займёмся непосредственно 𝑞-деформациями чисел и структурой C-таблиц 𝑞-деформаций металлических сечений. Знание содержания предыдущего семинара не требуется: все необходимые формулировки будут напомнены.

8 октября в 16:20

Докладчик: Гундарин Роман

Тема: О 𝑞-деформациях металлических сечений

Аннотация: 𝑞-деформации чисел — это ряды с целыми коэффициентами, связанные с разложением в цепную дробь. Доклад будет посвящен описанию структуры нулей в таблицах определителей Ганкеля 𝑞-деформаций золотого и серебряного сечений. Попутно будут рассказаны построение 𝑞-деформаций чисел и необходимые сведения из теории аппроксимаций Паде.

Michael Somos
"Somos Sequences Diophantine Solutions"

Some classic Diophantine equations have solutions given by general Somos sequences. I give some examples. They include the congruent number problem, x^3 + y^3 = Az^3, and Fermat rational triangle problem from 1643.