Математические факультативы на ФКН

Pexels

В 2022/2023 году на факультете компьютерных наук была существенно расширена линейка математических факультативов. В этой статье преподаватели расскажут о том, какие занятия они проводят, а студенты о том, что нового и полезного они там узнали.

Математические факультативы на ФКН изучаются студентами в дополнение к основной образовательной программе, но в случае успешного завершения оценка за факультатив идет в диплом. Адаптационные факультативы направлены на то, чтобы помочь студентам освоить новые или сложные для них дисциплины. «Дополнительные главы» дисциплин проводятся для тех, кто хотел бы поглубже изучить заинтересовавшую его тематику. На факультативах от IT-компаний студенты из первых уст узнают о современных компьютерных технологиях. Набор на факультативы осуществляется два раза в год: в сентябре на факультативы осеннего семестра и в январе на факультативы весеннего семестра.

Максаев Артем Максимович
Департамент больших данных и информационного поиска: Заместитель руководителя департамента

Я провожу факультатив «Практикум по линейной алгебре» четвертый год, но он проводился и раньше. Некоторым студентам не хватает практики на семинарах обязательного курса линейной алгебры, а самостоятельно освоить материал непросто. На факультативе есть возможность отработать основные задачи и методы с преподавателем.

По большей части, программа факультатива повторяет программу обязательного курса. Упор делается на решении студентами задач и отработке основных методов под контролем преподавателя. Это особенно полезно для студентов, неуспевающих за темпом семинаров по линейной алгебре.

Конечно, если позволяет время, мы разбираем и более сложные задачи, и дополнительные методы, на которые не хватает времени в обязательном курсе. Методика — классическая: задачи преимущественно решаются студентами у доски и обсуждаются всеми участниками.

Говоря о пользе факультатива для студентов в будущем, хотелось бы сослаться на его аннотацию: «Линейная алгебра — базовый предмет, без освоения которого невозможна успешная научная или прикладная деятельность. Приложения линейной алгебры повсеместно встречаются практически во всех разделах математики, а также в экономике, физике, анализе данных, методах машинного обучения и многих других прикладных отраслях». Полностью разделяю это мнение.

Ксения Милорадова
3 курс ПИ

Одним из самых сложных предметов на первом курсе для меня стала линейная алгебра. О дополнительном курсе «Практикум по линейной алгебре» я узнала лишь ко второму семестру, поэтому в первом сражаться с «линалом» приходилось в одиночку — искать компанию уставшему во время поступления интроверту было сложно. Факультатив оказался востребованным: часть аудитории также была заполнена вольными слушателями. Более того, Артем Максаев не пересказывал учебник, он буквально передавал нам понимание принципов работы с матрицами и их свойствами, подкрепляя материал иллюстрациями из жизни (вот как выполняется сжатие фотографий!).

Благодаря факультативу я смогла на отлично сдать коллоквиум в конце учебного года. А благодаря тому, что на курсе поняла основы линейной алгебры, а не просто «зазубрила», уверена, что в любой момент легко смогу «поднять» изученный материал.

Айзенберг Антон Андреевич
Международная лаборатория алгебраической топологии и ее приложений: Старший научный сотрудник

Провести факультатив «Выпуклые многогранники и дискретная геометрия» было моей самостоятельной идеей. У меня есть несколько любимых тем, но я выбрал многогранники, потому что сюжеты в этой теме могут быть потенциально интересны самым разным людям. 

Во-первых, часть сюжетов — это хорошая олимпиадно-кружковая математика, в которой можно и «поскрипеть мозгами», и позаниматься рекреационным творчеством: поклеить бумажные модельки, например. Это будет интересно олимпиадникам-геометрам. 

Во-вторых, теория многогранников — это важная часть актуальной теоретической математики. Например, один из основных результатов Джуна Ха, филдсовского медалиста этого года, существенно опирается на свойства объемов многогранников — неравенство Брунна-Минковского. Кажется, что некоторые студенты ФКН проявляют интерес к научной математике: для таких людей многогранники могут стать отправной точкой для собственных серьезных исследований. 

Наконец, есть как минимум две ветки науки о многогранниках, которые имеют несомненное прикладное значение. Первая, классическая — это линейное программирование. В каком-то виде линейное программирование попадает в учебные программы ФКН, но хотелось бы, чтобы у студентов была хорошая теоретическая база и геометрическая интуиция, когда они с этим столкнутся. Вторая — это, конечно, 3D-графика. Метаверсы сейчас на хайпе, но объективно говоря, вся эта история далека от совершенства, там есть куда расти. Есть ощущение, что в ближайшие годы мы увидим множество удивительных алгоритмов на стыке геометрии и машинного обучения. Было бы здорово, если кто-то из слушателей вольется в этот процесс.

Мой курс состоит из разных микросюжетов, однако все они задумываются не как некое фундаментальное знание, без которого невозможно обойтись, а как дополнение к основной математической программе. Это красивые примеры, демонстрирующие и пользу от основных дисциплин, и их глубинные связи. Такой рекламный математический пробник. Например, мы доказали, что выпуклый многогранник, склеенный из бумаги, нельзя непрерывно деформировать: для этого нужна базовая дискретная математика, сферическая геометрия и основы комбинаторной топологии, или что нельзя разрезать кубик на конечное число кусочков и сложить из них пирамидку. Это одна из знаменитых 23 проблем Гильберта, — единственная, которая случайно оказалась доказана к моменту ее формулировки. Здесь уже нужны функциональные уравнения, комплексные числа, иррациональность и аксиоматика теории множеств. 

В обязательных программах этих сюжетов нет, потому что там они не нужны. Два вышеописанных сюжета студенты могли слышать в школе или на кружке. Однако позже у нас пойдут более серьезные университетские сюжеты, например, про то, как с помощью преобразования двойственности Гейла трактовать фазовые портреты в геохимии. Все эти сюжеты лишь дополняют основную программу, а не конкурируют с ней.

Хочется верить, что кто-то из студентов этими темами заинтересуется и начнет научную работу в этой области. А если нет, то останется какой-то общий интеллектуальный осадок с геометрическим душком. Угадать, где и как это пригодится, я не берусь.

Андрей Попов
1 курс ПАД

О курсе я узнал из общей рассылки. Я выбрал этот факультатив, потому что курс включает в себя плавный переход от школьной геометрии к изучению фигур многомерных пространств, понимание которых мне необходимо как студенту программы по Data Science. Именно возможность посмотреть на многомерные пространства с другой стороны была решающей при выборе. Надеюсь, это мне поможет лучше разобраться в алгоритмах обработки данных, включающих в себя результаты этого раздела математики. Данный курс позволил мне расширить представление о науке о данных и научиться решать более широкий спектр проблем.

Лимонченко Иван Юрьевич
Международная лаборатория алгебраической топологии и ее приложений: Заведующий лабораторией

Декан нашего факультета Иван Аржанцев высказал мысль о том, что студенты ФКН, интересующиеся математикой, могут ощущать нехватку математических курсов, которую можно было бы восполнить чтением факультативов по тем разделам математики и ее приложений, в которых работают сотрудники ФКН. По его предложению, как заведующий международной лабораторией алгебраической топологии и ее приложений, я решил прочитать годовой факультатив «Введение в топологию», приняв за образцы обязательные курсы, читаемые на матфаке ВШЭ и мехмате МГУ, а также первый семестр курса топологии в НМУ. Наконец, важную роль при выборе материала для факультатива сыграл обязательный курс «Introduction to Topology», который я прочитал летом прошлого года в Торонтском Университете.

Геометрия и топология не являются обязательными предметами для изучения на нашем факультете. Поэтому на основных программах, даже в рамках обязательных математических курсов, у студентов нет возможности познакомиться с основами топологии. В то же время, факультатив призван дать слушателям глубокое понимание и правильное представление о фундаментальных идеях, конструкциях и методах топологии, обобщающих понятия отображения, пространства, непрерывности, связности, компактности и их свойства, известные из анализа.

Знания, которые получат слушатели факультатива, необходимы как для понимания современной геометрии, алгебры и анализа, так и для успешной работы в приложениях. Среди последних можно назвать все актуальные направления исследований, которыми занимаются сотрудники МЛ Алгебраической топологии и ее приложений, а также наши коллеги в России и за рубежом: топологический анализ данных, топологические методы в нейронауках и робототехнике, геометрическое глубокое обучение.

Иван Мачуговский
1 курс ПМИ

Я еще со школы увлекался областями неолимпиадной математики, близкими к современной науке. В частности, топология меня заинтересовала еще давно: она с одной стороны применяется на практике, например, в физике, а с другой — сильно развивает нестандартное мышление и интуицию, заставляет переосмысливать очевидное — получается некоторая философская польза. Когда Вышка выложила список факультативов для ПМИ, мой взгляд сразу упал на топологию, и я решил пойти на нее, а не на курсы, прямо связанные с моей областью работы. Я сторонник получения всестороннего образования.

Прежде всего эти семинары доставляли мне удовольствие. Я не испытал каких-то проблем из-за того, что я учусь только на первом курсе. Больше всего меня, наверное, удивило, насколько плотно топология прилегает к другим областям математики. Если человек составляет представление о топологии по научно-популярным видео на ютубе, то у него складывается впечатление, что топология — это про исследование интуитивно понятных, но сложно формализуемых фактов, вроде нашумевшей в научно-популярных кругах гипотезы Пуанкаре. Однако на курсе мы, пользуясь топологическими методами, работали, например, с теорией чисел и функциональным анализом, которые на первый взгляд с ней никак не связаны. Полагаю, в подобных связях, которые можно заметить, только изучая многие науки сразу, человечество ожидает еще много открытий.

Знания из топологии уже можно применять в учебе, например, на матанализе. Если же говорить про неучебную деятельность, то, с моей точки зрения, этот курс по большому счету теоретический, и скорее дает основу для работы в других областях науки, которые я уже изучаю и планирую продолжить изучать.

Бекетов Максим Евгеньевич
Международная лаборатория алгебраической топологии и ее приложений: Стажер-исследователь

Мой факультатив – «Введение в дискретную дифференциальную геометрию». Я стараюсь активно следить за тем, что делают коллеги в зарубежных университетах в области разных приложений геометрии (и топологии). В дискретной дифференциальной геометрии есть по крайней мере две очень заметные группы – это группа Александра Бобенко в Берлине и группа Кинана Крейна (Keenan Crane) в Университете Карнеги-Меллона. В открытом доступе есть материалы курса Кинана, и я подумал, что было бы здорово, если бы где-то у нас читался курс по этой науке. Впрочем, что-то интересное и близкое делает Николай Богачев на Физтехе и, кажется, что-то происходит на кафедре дифференциальной геометрии Мехмата МГУ, но в Вышке такого курса до сих пор не было (есть курс Владимира Медведева, но он в основном про непрерывную, недискретную дифференциальную геометрию).

Дискретная дифференциальная геометрия – наука крайне полезная для приложений. Она естественным образом возникает в компьютерной графике (поскольку компьютерная графика работает с триангулированными поверхностями), 3D-проектировании и 3D-печати, архитектуре (если архитектору нужно построить, например, крышу здания «из стекла и бетона» – из кусков определенных форм), моделировании разных физических систем (в которых важны какие-то законы сохранения). Всем этим занимаются в группах Бобенко и Кинана Крейна. Я очень рекомендую посмотреть популярную лекцию Александра Ивановича «Дискретное очарование геометрии», она есть на канале Лектория СПбГУ на Youtube.

Сегодня геометрия очень активно приходит в анализ данных и машинное обучение – например, люди занимаются потоком (кривизны) Риччи для поиска сообществ в графах социальных сетей, но далеко не только это. Сейчас формируется такая область прикладной науки, как Geometric Deep Learning, ее известный апологет – Михаил Бронштейн, профессор в Имперском колледже Лондона, по совместительству директор по исследованиям в области графовых методов в Твиттере. Суть этой науки состоит в том, что многие объекты, на которых мы изучаем данные – будь то графы/просто дискретные сетки или какие-то 3D-формы – имеют под собой геометрическую структуру, которую наши модели должны «понимать» и «уважать». Тут без дифференциальных форм и кривизны никуда.

Конечно, все то, что хочется рассказать в рамках факультатива (например, выйти на когомологии и теорию Ходжа, а это уже близко темам, которыми мы занимаемся в МЛ топологии) – невозможно успеть по времени. Конечно, по-хорошему, материала тут на солидный семестровый курс.

С другой стороны, не все слушатели факультатива, наверное, станут исследователями в области Geometric Deep Learning (хотя я ни в коем случае в них не сомневаюсь и был бы очень горд!). Но наша программа включает такие вещи, как алгебры Грассмана и дифференциальные формы – это вещи, которые, по-хорошему, должны быть в курсах линейной алгебры и анализа, но рассказывают их обычно только математикам (даже физикам не всегда рассказывают).

Так что наш факультатив это еще и такой excuse, чтобы рассказать студентам компьютерных наук эти базовые вещи, поднять их уровень общей математической культуры. По большому счету, дифференциальная геометрия позволяет говорить о геометрических явлениях без привязки к какой-то системе координат. Студентам компьютерных наук она дает естественный язык для работы с разными свойствами форм. Применять это потом можно много где – я уже много примеров привел выше.

Александр Левин, ПМИ 4 курс

Я узнал о курсе из списка факультативов ФКН. Мне нравится компьютерная графика, а дискретная дифференциальная геометрия это, по сути, её основа. Лектор подготовил очень хорошие презентации, благодаря им и его пояснениям можно легко понять довольно сложные концепты, такие как звезда Ходжа или дифференциальные формы.

Знания, полученные на курсе, пригодились мне почти сразу же, потому что я пишу разные 3D-движки, а теоретическая база в таких проектах очень полезна. После курса я ещё больше убедился в том, что мне нравится это направление, и я захотел попробовать связать свою будущую карьеру именно с этой областью математики.

Трофимова Анастасия Алексеевна
Международная лаборатория стохастического анализа и его приложений: Научный сотрудник

Мне верится, что идея создания факультатива «Адаптационный курс по дискретной математике» пришла от студентов, а факультет её поддержал. Многие подобные предложения приходят от студентов старших курсов, которые делятся впечатлениями о пройденных предметах и трудностях, с которыми они столкнулись. Кстати говоря, именно иностранным студентам было сложнее всего осваивать дискретную математику, поэтому изначально курс было решено организовать на английском.

У факультатива есть несколько задач, тесно связанных с задачами самой программы анализа данных и курса Дискретная математика-1.

Первая — это помочь освоить дисциплину Дискретная математика-1, а это означает научить ребят работать с базовыми математическими объектами и утверждениями. Поэтому занятия во многом похожи на консультации, где в первую очередь разбираются вопросы студентов.

И вторая задача, более трудоемкая и продолжительная по выполнению, — это научить строить строгое рассуждение-доказательство. Конечно, в процессе изучения ДМ-1 студенты встречаются с разными типами доказательств и решают задачи. Но не так много, как хотелось бы, и немногим удаётся всё понять с первого раза. Поэтому на адаптационный курс многие приходят за дополнительной практикой.

Вообще я считаю, что математические курсы во многом прокачивают критическое мышление, и в качестве бонуса становится возможным самостоятельно прочитать профильную книгу и современную статью.

Ксения Важкая
1 курс ПАД

Я узнала о курсе во время публикации общего списка факультативов для ФКН. Для нашего направления (Прикладной анализ данных) 1 курса предлагается перечень адаптационных курсов, которые созданы, чтобы помочь студентам разобраться с основами того или иного нового для них предмета. 

Я решила пойти на факультатив по дискретной математике, потому что увидела, что его ведет наш преподаватель семинаров по этому предмету. К моменту начала записи на факультативы у нашей группы уже прошло несколько семинаров по дискретной математике, и я поняла, что мне будет полезно и приятно ходить на факультативы к Анастасии Трофимовой, даже если мне все понятно. Я смогу практиковаться в решении задач по ДМ и задавать интересующие меня вопросы относительно данного предмета. 

Также, формат, в котором мы занимаемся, предполагает решение сложных и непонятных для студентов задач. Каждый участник курса может предложить формат задания или конкретную задачу, решение которой он бы хотел разобрать на занятиях курса. Так что для меня факультатив оказался очень практичным.

Больше всего мне запомнилось, как студенты после 3-4 лекции стали приходить на занятия факультатива с большим количеством вопросов. По началу всем казалось, что ДМ — понятная и не такая уж сложная, и вообще больше похожа на философию. Но когда началось решение задач, многие поменяли свое мнение и стали приходить вольными слушателями на факультатив, который стал, кажется, самым популярным местом, куда можно пойти вечером в пятницу, особенно на неделе перед экзаменом.

Конечно, знания с курса мне уже успели пригодиться, например, на экзамене по ДМ. Полезным оказался разбор решения демоварианта вместе с Анастасией Алексеевной. Благодаря этому, на экзамене уже было понятно, как решать тот или иной тип задач.

Пока я не могу сказать ничего конкретного про дальнейшие карьерные планы и влияние данного курса на них. Однако, совершенно точно, этот факультатив в совокупности с лекциями и семинарами составили мое первое впечатление о дискретной математике. Предстоит еще многое узнать, чтобы точно определить свои карьерные планы. Кто знает, может быть дискретная математика займет отдельное место в моей жизни и спустя время я скажу, что это именно адаптационный курс по ДМ повлиял на мой выбор.