Математический семинар

Математический семинар ФКН объединяет математиков разных специальностей, а доклады доступны широкому кругу слушателей, включая аспирантов и заинтересованных студентов. Каждому выступающему предложено сформулировать для участников семинара актуальные задачи.

Заседания проходят раз в две недели по пятницам, с 18:10 до 19:30.

Бюро семинара:

• Аржанцев Иван Владимирович

• Устинов Алексей Владимирович

• Вялый Михаил Николаевич

• Максаев Артем Максимович

• Промыслов Валентин Валерьевич

21 марта 2025 в 18:10

Докладчик: Павел Соколов, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Теория типов и альтернативные основания математики

Аннотация:

Теория типов — сравнительно молодая область на стыке математической логики, теории категорий и компьютерных наук. Появившись как один из вариантов разрешения парадоксов наивной теории множеств, системы типов нашли неожиданное применение в языках программирования как средство легковесной верификации как пользовательского кода, так и программных оптимизаций. Кроме этого, системы типов естественным образом обеспечивают конструктивный и, более того, синтетический подход к математике (синтетическая (дифференциальная) геометрия, синтетическая топология, синтетическая теория гомотопий и т.д.) В особенности, гомотопическая теория типов (HoTT) претендует на статус альтернативного основания (конструктивной) математики.

В рамках данного доклада будет изложена история становления теории типов как самостоятельной дисциплины с изложением основных математических результатов, начиная с Principia Mathematica Бертрана Рассела и заканчивая сегодняшними наиболее активными направлениями исследований.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

2025

41) 21 февраля, Лев Беклемишев: Циклические доказательства

21 февраля 2025 в 18:10

Докладчик: Лев Беклемишев, Факультет математики НИУ ВШЭ, Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук

Тема: Циклические доказательства

Аннотация:

В последние годы в математической логике получили распространение формальные системы, основанные на циклических и нефундированных доказательствах. Они оказались удобными для аксиоматизации логических языков с разнообразными формами индукции, рекурсии или неподвижных точек. Они применяются как для анализа свойств таких языков, так и для задач автоматизации поиска доказательств.

В циклическом доказательстве логические правила вывода существенно не отличаются от обычных, однако помимо аксиом имеются дополнительные гипотезы, которые обосновываются ссылками на идентичные утверждения, получаемые в выводе *позже* этих гипотез. Для того, чтобы такие доказательства не приводили к порочному кругу, на ссылки накладываются дополнительные условия, и правильная формулировка таких условий представляет собой в каждом конкретном случае нетривиальную задачу.

Мы расскажем о совместной работе с Д.С. Шамкановым и И.Н. Смирновым, в которой разработаны новые циклические системы для классической арифметики Пеано и ее основных фрагментов.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R205.

40) 7 февраля, Матвей Смирнов: Вычислительные проблемы в теории римановых поверхностей

7 февраля 2025 в 18:10

Докладчик: Матвей Смирнов, ФКН НИУ ВШЭ, Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ

Тема: Вычислительные проблемы в теории римановых поверхностей

Аннотация:

Общая теория компактных римановых поверхностей и алгебраических кривых в последние десятилетия стала активно применяться в прикладных задачах. Применения теории эллиптических кривых (или, даже точнее будет сказать, теории эллиптических функций) известны еще с 19-го века, однако многие из этих применений и соответствующих методов допускают обобщение на случай кривых высокого рода. Отдельно можно отметить применения алгебраических кривых в криптографии, но так же известен набор аналитических задач, допускающих решение с помощью методов римановых поверхностей, среди которых решение некоторых дифференциальных уравнений, нахождение конформных отображений и построение аппроксимаций чебышевского типа. На семинаре планируется сделать обзор приложений теории римановых поверхностей. Мы поговорим об основных объектах (спецфункциях и не только), ассоциированных с римановыми поверхностями и их пространствами модулей, применяющихся при решении прикладных задач. И, наконец, я расскажу о проблемах вычислительной математики, связанных с римановыми поверхностями, в частности о моей работе по применению изогений многообразий Якоби для получения эффективных методов в случае кривых рода 1 и 2.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R205.

39) 24 января, Дмитрий Пионтковский: Степень свободы систем дифференциальных уравнений и коммутативная алгебра

24 января 2025 в 18:10

Докладчик: Дмитрий Пионтковский, департамент математики ФЭН НИУ ВШЭ

Тема: Степень свободы систем дифференциальных уравнений и коммутативная алгебра

Аннотация:

Предположим, что система дифференциальных уравнений в частных производных описывает классическую теорию поля. Эйнштейн предложил определить "силу" и число степеней свободы теории через асимпотику числа свободных коэффициентов данного порядка в ряде Тейлора общего решения системы. Прямое вычисление этой величины нетривиально. Предлагаемый подход к этой задаче основан на применении методов коммутативной алгебры.

Посмотрим на матрицу системы как на линейное отображение свободных модулей над кольцом дифференциальных многочленов. Тогда можно получить представить число степеней свободы как кратность некоторого модуля над кольцом многочленов. Значит, эту величину можно явно вычислить с помощью стандартных средств компьютерной алгебры для любой конкретной системы. Более того, мы доказали (для однородных и некоторых более общих систем) другую явную формулу для той же величины, выражающую ее через количество и порядок высших калибровочных симметрий и тождеств. Интересное следствие --- совпадение числа степеней свободы для пары эрмитово сопряженных систем. Кроме этих результатов, планируется обсудить примеры и возникающие здесь алгебраические вопросы.

Доклад основан на совместной работе с Семеном Ляховичем.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R205.

2024

38) 20 декабря, Яков Верёвкин: Градуированные компоненты присоединённой алгебры Ли прямоугольной группы Кокстера

37) 6 декабря, Артем Лобода: Решение стохастического уравнения, описывающего марковскую аппроксимацию эволюции открытой квантовой системы

6 декабря 2024 в 18:10

Докладчик: Артем Лобода, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Решение стохастического уравнения, описывающего марковскую аппроксимацию эволюции открытой квантовой системы

Аннотация:

На семинаре будет рассказано, как получается уравнение, описывающее эволюцию квантовой системы, взаимодействующей с окружающей средой, и почему оно является стохастическим. Мы рассмотрим несколько разных типов таких уравнений, получающихся при измерениях различных характеристик квантовой системы.
Мы обсудим несколько подходов к получению решений таких уравнений. В этой части будет проведён небольшой обзор того, как развивалась эта тематика, какие идеи возникали при решении нестохастических уравнений, как это связано с теорией меры на функциональных пространствах, какие возникают сложности при решении стохастических уравнений. Будут приведены интегральные представления решений некоторых из этих уравнений.
Будут обсуждаться подходы к изучению свойств этих решений и методы, которые могут использоваться для получения численных решений.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

36) 22 ноября, Ольга Маркова: Функция длины матричных алгебр

22 ноября 2024 в 18:10

Докладчик: Ольга Маркова, Механико-математический факультет МГУ

Тема: Функция длины матричных алгебр

Аннотация:

Под длиной конечной системы порождающих конечномерной алгебры над произвольным полем понимается наименьшее положительное целое число k, такое, что произведения длины, не превышающей k, порождают
эту алгебру (как векторное пространство). Длиной алгебры называется максимальная длина среди всех систем порождающих этой алгебры.

Эту характеристику непросто найти даже в случае классических алгебр. Так, например, существует гипотеза Паза 1984г. о том, что длина любого порождающего множества алгебры матриц порядка n не превышает 2n-2, которая является открытой проблемой. В докладе будут представлены некоторые известные оценки для длины полной матричной алгебры и разных классов её систем порождающих, а также будут рассмотрены такие подалгебры матричной алгебры, для которых длина вычислена как функция от порядка матриц.

На примере задачи проверки триангулизуемости матричного семейства будет рассказано о применении функции длины для оценки сложности алгоритмов в вычислительной теории матриц.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

35) 8 ноября, Игорь Шейпак: Спектральная задача для сингулярной струны. Приложения к константам вложения в пространствах Соболева и построению воспроизводящих ядер

34) 25 октября, Федор Попеленский: Геометрические потоки и их дискретные аналоги

25 октября 2024 в 18:10

Докладчик: Федор Попеленский, Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ, Механико-математический факультет МГУ

Тема: Геометрические потоки и их дискретные аналоги

Аннотация:

Поток Риччи, который стал широко известен после работ Г.Я.Перельмана и Р.Гамильтона по доказательству гипотезы Пуанкаре, является одним из представителей так называемых геометрических потоков.

В докладе будет рассказано о некоторых из них , а также об их дискретных аналогах, которые, по всей видимости. должны иметь самостоятельное значение, в том числе и в приложениях.

Эти потоки делятся на два типа:

внешние, которые деформируют вложение геометрического объекта в объемлющее пространство (поток, сокращающий длину кривой; поток средней кривизны)
внутренние, которые изменяют длины кривых (метрику) на самом геометрическом объекте, при этом не предполагается, что этот объект куда-то вложен (потоки Риччи и Ямабе, их комбинаторные аналоги)

Будет рассказано об известных результатах в этой области, а также о некоторых открытых вопросах и потенциальных приложениях.

Доклад рассчитан на широкую аудиторию.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

33) 11 октября, Олег Герман: О геометрии диофантовых приближений

32) 27 сентября, Роман Стасенко: Представления алгебр Ли и модули Ли-Йордан

27 сентября 2024 в 18:10

Докладчик: Р оман Стасенко, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Представления алгебр Ли и модули Ли-Йордан

Аннотация: Пусть S — произвольная редуктивная алгебраическая группа. Назовем S-структурой на алгебре Ли g гомоморфизм Φ : S → Aut(g). S-структуры ранее изучались различными авторами, в том числе Э.Б. Винбергом.

В докладе рассматриваются SL2-структуры. SL2-структуру назовем короткой, если представление Φ группы SL2 разлагается на неприводимые представления размерностей 1, 2 и 3. Если рассматривать неприводимые представления размерностей только 1 и 3, то получится известная конструкция Титса-Кантора-Кехера, устанавливающая взаимно-однозначное соответствие между простыми йордановыми алгебрами и простыми алгебрами Ли определенного вида.

Аналогично теореме Титса–Кантора–Кехера в случае коротких SL2-структур можно установить взаимно-однозначное соответствие между простыми алгебрами Ли с такой структурой и так называемыми простыми симплектическими структурами Ли-Йордана.

Пусть на алгебре Ли g задана SL2-структура и отображение ρ : g → gl(U) — линейное представление. Гомоморфизм Ψ : S → GL(U) называется SL2-структурой на лиевском g-модуле U, если

Ψ(s)ρ(ξ)Ψ(s) ⁻¹ = ρ(Φ(s)ξ), ∀s ∈ S, ξ ∈ g.

Подобная конструкция имеет интересные приложения к теории представлений йордановых алгебр, о которых будет рассказано в докладе. Также в докладе будет представлена полная классификация неприводимых коротких g-модулей для простых алгебр Ли.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R407.

31) 31 мая, Тихон Красовицкий: Проблема единственности вероятностного решения стационарного уравнения Колмогорова

31 мая 2024 в 18:10

Докладчик: Тихон Красовицкий, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Проблема единственности вероятностного решения стационарного уравнения Колмогорова

Аннотация: Уравнение Колмогорова, играющее важную роль в теории диффузионных процессов, было получено в 1931 году А.Н. Колмогоровым в его статье "Об аналитических методах в теории вероятностей". В той же статье были поставлены вопросы о существовании и единственности решения в классе вероятностных плотностей. С тех пор эти вопросы активно исследуются, но до сих пор многие принципиальные вопросы остаются открытыми. В частности, не решена проблема единственности вероятностного решения уравнения Колмогорова. В общем случае неизвестна размерность симплекса вероятностных решений.
В нашем докладе будет дан обзор проблемы единственности вероятностного решения уравнения Колмогорова. Мы представим последние результаты о единственности и неединственности вероятностных решений стационарного уравнения Колмогорова в двумерном случае. А также обсудим новый подход к построению примеров неединственности, основанный на применении теории вырожденных эллиптических уравнений.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R506.

30) 17 мая, Владлен Тиморин: Конечно аддитивные инварианты многогранников: геометрия и динамика

29) 26 апреля, Ирина Резвякова: О плотнейших упаковках шаров

12 апреля: Математический блиц II

28) 29 марта, Валентина Кириченко: Последовательности квадратичных вычетов и невычетов

27) 15 марта, Анастасия Оноприенко: От интуиционистской логики к логике задач

15 марта 2024 в 18:10

Докладчик: Анастасия Оноприенко, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: От интуиционистской логики к логике задач

Аннотация: На рубеже XIX-XX веков случился кризис оснований математики.
Брауэр видел в качестве возможного варианта разрешения этой проблемы пересмотр смысла логических связок и кванторов и отказ от рассмотрения абстрактных объектов, существующих лишь в нашей, порой противоречивой, фантазии. По Брауэру, математика - не абстрактная теория или система правил, а весьма существенная часть человеческой деятельности и потому математические рассуждения должны быть интуитивно ясными и убедительными.
В докладе будет рассмотрена формализация интуиционистской логики, основанная на семантике типа Крипке. Используя эту семантику, мы докажем несколько интересных свойств интуиционистской логики.
С другой стороны, доводы Браэура принимали не все математики. В частности, он столкнулся с резкой оппозицией со стороны Гильберта. Колмогоров поставил перед собой цель примирить взгляды Гильберта и Брауэра и объяснить интуиционистское направление с точки зрения классической математики. По замыслу Колмогорова, интуиционистская математика укладывается в рамки классической, если интерпретировать высказывания интуиционистской логики как задачи. В докладе будут рассмотрены варианты формализации логики задач.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.

26) 1 марта, Максим Королёв: Дизайны на окружности

1 марта 2024 в 18:10

Докладчик: Максим Королев, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Дизайны на окружности

Аннотация: Нанесём на окружность q точек, разбивающих её на дуги равной длины и пронумеруем их числами от 0 до q-1. Возьмём некоторое целое число a, не делящееся на q, и соединим точку, имеющую номер k, с точкой номер m, где m =ak (mod q). Проделав это для всех k, мы получим рисунок из линий, который иногда называется "дизайном на окружности" или "круговым дизайном". Круговые дизайны - объекты, давно и хорошо известные и любителям, и профессионалам. Одна из причин - в том, что они обладают несомненной эстетической привлекательностью.

Кроме того, картинки, возникающие в ходе такой процедуры, можно реализовать в виде вещественных конструкций из нитей. Техника, основанная на создании изображений с помощью нитей, именуется "string art", "изонить", "вышивка по картону". Кроме того, на основе таких картинок можно объяснять физические явления, с которыми мы сталкиваемся повседневно, каждый раз, как берём в руки чашку с кофе или чаем.

Пусть задано число q, а радиус окружности равен (для простоты) единице. Сколько потребуется нити для реализации такой конструкции для заданного a? Известно, что если a-1 и q взаимно просты, то такая длина L = L(q,a) не зависит от a (это - школьное упражнение, но, кажется, этот факт был отмечен совсем недавно).

А что будет, если соединять точки не по "линейному" правилу k→ak (mod q), а по более сложному: k→ af(k) (mod q)? Визуальная красота, как правило, разрушается. Но можно поставить, например, тот же вопрос о поведении суммарной длины L(q,a) нити при фиксированном q и изменении a.

В докладе планируется познакомить слушателей с результатами численных экспериментов, отвечающих разным арифметическим функциям f, высказать некоторые предположения и сформулировать в виде утверждений то немногое, что удаётся строго доказать.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R204.

25) 16 февраля, Тома Ферник: Замощение, упаковка и оптимизация

24) 2 февраля, Юлия Зайцева: Аффинные моноиды и их алгебраические свойства

23) 19 января, Александра Скрипченко: Перекладывания отрезков и их родственники

19 января 2024 в 18:10

Докладчик: Александра Скрипченко, Факультет математики НИУ ВШЭ

Тема: Перекладывания отрезков и их родственники

Аннотация: Перекладывания отрезков - это отображение отрезка единичной оси в себя, которое в ограничении на заданные подотрезки исходного отрезка является сдвигом, а эти подотрезки меняет местами в соответствии с некоторой перестановкой. Этот простой комбинаторный объект позволяет описать поведение слоев измеримого слоения на ориентируемой поверхности или, например, траекторий бильярда в рациональном многоугольнике, поэтому динамические свойства перекладываний отрезков (минимальность, эргодичность, перемешивание) и специального потока над ними - потока Тейхмюллера - являются предметом активного изучения в теории динамических систем в последние 40 лет.

Оказывается, что в ряде задач естественно рассмотреть обобщения этого понятия - например, отказаться от требования сохранения ориентации или даже от условия, чтобы сдвигаемые подотрезки задавали разбиение исходного отрезка. В докладе мы обсудим, какие свойства перекладываний и потоков сохраняются для таких обобщений, а какие - заменяются на противоположные.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R505.

2023

22) 15 декабря, Владимир Бобков: Собственные значения и функции p-Лапласа

21) 1 декабря, Тарас Панов: Двойные гомологии момент-угол-комплексов и биградуированные персистентные модули

1 декабря 2023 в 18:10

Докладчик: Тарас Панов, ФКН НИУ ВШЭ, Факультет математики НИУ ВШЭ, МГУ

Тема: Двойные гомологии момент-угол-комплексов и биградуированные персистентные модули

Аннотация: Для конечного псевдометрического пространства X фильтрация Виеториса-Рипса представляет собой последовательность R(X,t) вложенных флаговых симплициальных комплексов, ассоциированных с X. Симплициальные гомологии комплексов R(X,t) используются для определения основных персистентных модулей в топологическом анализе данных - персистентных гомологий пространства X.

В торической топологии рассматривается более тонкий гомологический инвариант симплициального комплекса K - биградуированные гомологии момент-угол-комплекса ZK, ассоциированного с K. Момент-угол-комплекс ZK представляет собой пространство с действием тора, составленное из произведений дисков и окружностей, параметризованных симплексами в K. На ZK задано биградуированное клеточное разбиение, и соответствующие биградуированные группы гомологий H_{-i,2j}(ZK) содержат гомологии H_n(K) в качестве прямого слагаемого. Алгебраически биградуированные модули гомологии H_{-i,2j}(ZK) являются биградуированными компонентами Tor-модулей кольца Стэнли-Райснера k[K] и могут быть представлены в виде суммы приведённых симплициальных групп гомологии всех полных подкомплексов K_I в K.

На основе биградуированных гомологий момент-угол-комплексов ZR(X,t), связанных с фильтрацией Вьеториса-Рипса {R(X,t)}, можно определить биградуированные персистентные модули и биградуированные бар-коды облака точек (набора данных) X. Простые примеры показывают, что биградуированные персистентные гомологии могут различать облака точек, которые неразличимы обычными персистентными гомологиями.

Двойные гомологии HH*(ZK) определяются как гомологии цепного комплекса CH*(ZK)=(H*(ZK),d'), получаемого путём введения второго дифференциала d' на биградуированных гомологиях ZK. Биградуированные двойные гомологии существенно меньше, чем обычные биградуированные гомологии момент-угол-комплексов, и поэтому могут быть более доступными с вычислительной точки зрения. Что более важно, модули персистентных гомологий, определённые на основе биградуированных двойных гомологий фильтрации Вьеториса-Рипса, обладают свойством стабильности, т.е., грубо говоря, устойчивости к малым изменениям входных данных.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206.

20) 17 ноября, Михаил Вялый: Игры вычитания и полулинейные множества

19) 3 ноября, Артем Радомский: О теореме Романова и некоторых смежных вопросах

3 ноября 2023 в 18:10

Докладчик: Артем Радомский, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: О теореме Романова и некоторых смежных вопросах

Аннотация: Н. П. Романов доказал, что для каждого натурального числа a > 1 плотность натуральных чисел вида p+a n положительна (p пробегает все простые числа, n натуральные). Мы обобщаем теорему Романова в следующем направлении. При определенных условиях на последовательность {ak} ∞ k=1 мы получаем оценку снизу для количества натуральных чисел n ≤ x, представимых в виде n = p + ak. В частности, мы получаем точный порядок количества натуральных чисел n ≤ x, представимых в виде n = p + ak в случаях, когда ak = a R(k) , где R(k) — многочлен с целыми коэффициентами, принимающий положительные значения на множестве натуральных чисел, и когда aq = #E(Fq), где E(Fq) — эллиптическая кривая над полем Fq. Также в докладе мы планируем поговорить про количество простых чисел в кортежах {L1(n), . . . , Lk(n)}, где все Li(n) = ain + bi — линейные функции с натуральными коэффициентами, (ai , bi) = 1. В качестве следствия мы получаем количественные результаты для обобщенных функций Романова fA(n) = #{a ∈ A : n − a ∈ P}, где A — подмножество в N, а P — множество простых чисел.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206.

18) 20 октября, Роман Авдеев: Системы корней и связанные с ними комбинаторные задачи

17) 6 октября, Михаил Игнатьев: Представления нильпотентных алгебр Ли

6 октября 2023 в 18:10

Докладчик: Михаил Игнатьев, ФКН НИУ ВШЭ; Международная лаборатория теории представлений и математической физики ВШЭ – Сколтех

Тема: Представления нильпотентных алгебр Ли

Аннотация: Теория представлений полупростых конечномерных комплексных алгебр Ли - классический раздел теории представлений, многие вопросы в котором имеют красивые и точные ответы. В частности, конечномерные неприводимые представления полностью классифицированы и описываются с помощью комбинаторики старших весов системы корней данной полупростой алгебры Ли.

Совершенно другая картина открывается при переходе от полупростых к нильпотентным алгебрам Ли. Для начала, по очевидным соображениям нетривиальных конечномерных неприводимых представлений у таких алгебр не бывает, поэтому интерес представляет изучение бесконечномерных представлений. Более того, относительно несложно объяснить (и я сделаю это в докладе), почему нет почти никаких шансов полностью классифицировать неприводимые представления данной нильпотентной алгебры Ли: это связано с представлениями алгебры Вейля.

Тем не менее, в исследовании представлений нильпотентных алгебр Ли удаётся продвинуться довольно далеко. Ключевая идея заключается в том, чтобы изучать не сами представления, а их аннуляторы в универсальной обёртывающей алгебре - так называемые примитивные идеалы. Я расскажу, как эти идеалы описываются с помощью алгебраической версии метода орбит, и сформулирую ряд открытых проблем в этой области вместе с возможными подходами к их решению.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206.

16) 22 сентября, Валентин Овсиенко: q-деформированные числа и представления Бюрау

15) 8 сентября, Виктор Бухштабер: n- значные группы в разных областях математики

8 сентября 2023 в 18:10

Докладчик: Виктор Бухштабер, Международная лаборатория алгебраической топологии и её приложений НИУ ВШЭ, Математический институт им. В.А. Стеклова

Тема: n- значные группы в разных областях математики

Аннотация: В n- значных группах произведением пары точек является n-мультимножество, т.е. не упорядоченное множество из n точек, возможно с повторениями. Теория n- значные групп (конечных, дискретных, топологических, алгебраических, алгебро-геометрических ) развивается благодаря взаимосвязям с различными областями математики и математической физики. В докладе будут введены основные определения, ключевые примеры и конструкции этой теории.
Мы обсудим фундаментальные результаты классической теории групп и их представлений, комбинаторной теории групп, теории действия конечных групп на многообразиях, теории динамических систем дискретного времени, которые привели в важным результатам и приложениям теории n- значных групп.Будут сформулированы классификационные результаты и нерешенные актуальные задачи.
Доклад ориентирован на широкую аудиторию.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

14) 23 июня, Александр Перепечко: Числа Маркова, гипотеза единственности и бирациональные преобразования

13) 9 июня, Алексей Таламбуца: Об орбитах наборов линейных функций и свободных полугруппах целочисленных матриц

9 июня 2023 в 18:10

Докладчик: Алексей Таламбуца, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Об орбитах наборов линейных функций и свободных полугруппах целочисленных матриц

Аннотация: Доклад будет посвящён двум задачам из разных областей, которые сравнительно просто формулируются, остаются нерешёнными уже несколько десятилетий и оказываются тесно связанными друг с другом.

Первый вопрос относится к арифметической комбинаторике и возник в 1970-х годах в связи с решением проблемы Эйлера о существовании латинских квадратов нечётных размеров. А именно, пусть f1, f2, ..., fk — набор линейных функций с неотрицательными целыми коэффициентами. При каких условиях на набор функций, множество всех образов числа 1, к которому итерированно применяются функции f1, f2, ..., fk, имеет положительную плотность как подмножество натурального ряда? Этой задачей занимались такие известные специалисты как П.Эрдёш, Д.Кнут, Р.Радо, Р.Ривест, Д.Кларнер и Д.Копперсмит, однако полного её решения до сих пор не найдено.

Другая задача относится к области алгоритмических проблем в алгебре. В 1991 году Д.Кларнер, Ж.-К. Бирже и У.Саттерфилд рассмотрели задачу проверки, является ли данный на вход набор квадратных целочисленных матриц базисом свободной полугруппы. Они доказали, что эта задача алгоритмически неразрешима для размера 3x3 и больше, а вот для матриц 2x2 этот вопрос с тех пор открыт. Интересным образом, для большого числа других алгоритмических вопросов про полугруппы матриц, в случае размера 3x3 также установлена неразрешимость, а для размера 2x2 проблема является открытой.

Будет рассказано о том, почему эти задачи связаны, а также о результатах, полученных в направлении их решения.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

12) 26 мая, Сергей Кузнецов: Решётки замкнутых множеств: понятия и импликативные зависимости

11) 12 мая, Артем Максаев: Автоморфизмы тотального графа матриц над конечным полем

10) 28 апреля, Виктор Лопаткин: Гомологии и их комбинаторный вид

28 апреля 2023 в 18:10

Докладчик: Виктор Лопаткин, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Гомологии и их комбинаторный вид

Аннотация: В данном докладе планируется показать, что такое понятие как (ко)гомология появляется самым естественным образом в классических задачах. Мы начнём с разговора о том, как расширять группы и потом увидим, что сложение в столбик, которому нас учили, это чисто гомологическое понятие. Мы поговорим про дальнейшие расширения и что их можно “умножать” и получать новые “расширения”. Далее, мы поговорим про резольвенты и поймём, что это тоже очень естественный объект, который в первом приближении нужно понимать как нечто такое, которое изучает отношения, потом отношения между отношениями, потом отношения между отношениями между отношениями и.т.д. В заключении планируется рассказать, как гомологии чувствуют изменения в группе, про подход Ромы Михайлова к проблеме Капланского о делителях нуля, а также универсальный алгоритм как их вычислять у ассоциативных алгебр, которые заданы через образующие и соотношения.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R406.

10 апреля: Математический блиц

9) 31 марта, Степан Кузнецов: Алгебраические логики с итерацией Клини

31 марта 2023 в 18:10

Докладчик: Степан Кузнецов, ФКН НИУ ВШЭ; МИАН им. В.А. Стеклова.

Тема: Алгебраические логики с итерацией Клини

Аннотация: Итерация, или звёздочка Клини — это одна из наиболее интересных алгебраических операций, используемых в теоретической информатике. Алгебраические структуры с итерацией Клини, развившиеся из известной алгебры регулярных выражений, широко используются для описания формальных языков и для моделирования вычислительных процессов. В связи с этим интерес представляют алгебраические логики для структур с итерацией — т.е. логические исчисления, описывающие тождества, истинные в таких структурах — их алгоритмическая разрешимость и сложность. Эти логики оказываются неклассическими (точнее, субструктурными) вариантами логики высказываний, однако, за счёт индуктивной природы звёздочки Клини, приобретают некоторые черты намного более сильных систем, таких как формальная арифметика. В докладе будет дан обзор результатов об алгебраических логиках с итерацией Клини, как ранее известных, так и принадлежащих докладчику.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

8) 17 марта, Николай Верещагин: Полудуплексная коммуникационная сложность

17 марта 2023 в 18:10

Докладчик: Николай Верещагин, ФКН НИУ ВШЭ, Мехмат МГУ, Яндекс

Тема: Полудуплексная коммуникационная сложность

Аннотация: В классической модели коммуникационной сложности, введённой Эндрю Яо в 1979 году, рассматривается игра для двух игроков, Алисы и Боба, которые хотят вычислить f(x,y) для некоторой функции f, причём Алисе известно только значение x, а Бобу - только значение y. Для решения этой задачи Алиса и Боб могут общаться, посылая друг другу битовые сообщения по одному биту за раунд. Важное свойство этой коммуникационной модели заключается в том, что на каждом раунде общения один из игроков посылает некоторое битовое сообщение, а другой игрок обязательно его принимает. Коммуникационная сложность функции определяется как минимальное количество битов, которые нужно передать, чтобы вычислить f(x,y) для всех возможных пар x,y.
Эта модель была обобщена в 2018 году Гувером, Импальяццо, Михайлиным и Смалем до модели, описывающей общение по так называемому полудуплексному каналу. Широко известный пример полудуплексного канала в обычной жизни - это общение при помощи раций: для передачи сообщения по рации нужно зажать кнопку передачи (принцип «push-to-talk»), в то же время на принимающей стороне в этот момент кнопка должна быть отпущена. Если два человека пытаются передавать сообщения одновременно (т.е. у обоих рации находятся в режиме передачи), то они не слышат друг друга. Есть разные модели полудуплексных коммуникационных протоколов: модель с тишиной (если оба пытаются принять сообщения, то они получают специальный символ "тишина"), модель с нулем (они принимают нулевой бит) и модель с противником (они принимают произвольные биты, выбираемые противником). Для большинства функций коммуникационная сложность с тишиной и с нулем меньше классической коммуникационной сложности. Однако до сих пор было неизвестным, различается ли коммуникационная сложность с противником от классической. Мы приведем пример функции, для которой полудуплексная коммуникационная сложность с противником строго меньше классической коммуникационной сложности.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

7) 3 марта, Григорий Кабатянский: Разделение секрета – многочлены над конечными полями, комбинаторика, коды и матроиды

3 марта 2023 в 18:10

Докладчик: Григорий Кабатянский ФКН НИУ ВШЭ, Сколтех

Тема: Разделение секрета – многочлены над конечными полями, комбинаторика, коды и матроиды

Аннотация: Доклад будет посвящен некоторым математическим задачам, возникающим при изучении так называемого разделения секрета. Саму задачу можно сформулировать так: надо «разделить» секрет между n участниками таким образом, что разрешенные коалиции участников могли бы найти секрет, а любые неразрешенные не знали о секрете ничего «дополнительного», т.е. кроме априорных сведений. Самый популярный и изученный пример – пороговые схемы, т.е. разрешенные коалиции это все коалиции из t или более участников, и никакие больше. Эта задача связана, в частности, со следующей гипотезой, известной в комбинаторике, теории кодирования и даже алгебраической геометрии – пусть множество из n r-мерных векторов над конечным полем из q элементов таково, что любые r из них линейно независимы. Тогда n<q+2 (два исключения в характеристике 2). Гипотеза недавно доказана для простых полей.
А еще мы обсудим задачу о построении семейств k-мерных подпространств в n-мерном пространстве со свойством «все или ничего», то есть линейная оболочка любого множества этих подпространств пересекается с фиксированным k-мерным подпространством либо по вектору 0, либо содержит это фиксированное подпространство целиком. А отсюда уже рукой подать до матроидов!

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.

6) 17 февраля, Дмитрий Шабанов: Пороговые вероятности в случайных графах и гиперграфах

5) 3 февраля, Алексей Ремизов: Восстановление изображений математическими методами

4) 20 января, Иван Аржанцев: Образы аффинного пространства

2022

3) 11 ноября, Валентин Промыслов: Гипотеза о соответствиях Джека

2) 28 октября, Александр Калмынин: Суммы двух квадратов и модулярные формы

28 Октября 2022 в 18:10

Докладчик: Александр Калмынин, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Суммы двух квадратов и модулярные формы

Аннотация: Множество натуральных чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, можно рассматривать как множество, промежуточное между простыми числами и множеством всех натуральных чисел. В этом контексте естественно решать задачи, представляющие интерес в случае простых чисел. Некоторые из них, такие как задача о числах-близнецах, оказываются тривиальными, а некоторые остаются настолько же сложными. Мы поговорим об одном из примеров последнего явления, а именно о распределении сумм двух квадратов в коротких интервалах. Задачи из этого направления оказываются тесно связаны со свойствами функции от двух переменных, которая проявляет некоторые из свойств автоморфных форм Якоби. В разложении Тейлора данной функции появляется последовательность одномерных модулярных форм, которая сводится к некоторой линейной дифференциальной рекуррентной последовательности многочленов. Все необходимые определения из теории модулярных форм будут даны в докладе.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R406.

1) 14 октября, Алексей Устинов: Скрытые теоремы сложения