Математический семинар

13 февраля 2026 в 18:10

Докладчик: Субин Пулари, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: When Normality Meets Automata: Dimension, Selection, and Randomization

Аннотация: 

Finite-state dimension—a finite-state analogue of classical Hausdorff dimension—quantifies the density of information in an infinite sequence over a finite alphabet, as measured using finite-state automata. The Schnorr–Stimm dichotomy theorem (1972) gives a key connection between dimension and normality: an infinite sequence has finite-state dimension 1 if and only if it is (Borel) normal.

Many classical results about normal sequences—i.e., sequences having finite-state dimension 1—have been shown to be special cases of more general theorems concerning finite-state dimension. In 2012, Jack Lutz proposed the Normality–Dimension Thesis: every theorem about Borel normality is a special case of a theorem about finite-state dimension. In this talk, we revisit the thesis and review its validity in the context of known results involving finite-state dimension, including very recent progress in joint work with Bienvenu, Gimbert, and Nandakumar. We conclude this part by highlighting a broader program of questions and promising directions for further testing—and potentially extending—the Normality–Dimension Thesis.

Complementing this dimension-theoretic perspective, I will ask what changes when the automaton model itself is enriched: does giving a finite automaton access to internal randomness make it better at exploiting a normal sequence? In joint work with Bienvenu and Gimbert, we show that allowing internal randomness inside a finite automaton does not make it better at exploiting a normal sequence: two classical automata-theoretic characterizations of normality—Agafonov’s subsequence-selection theorem and the Schnorr–Stimm finite-state gambling theorem—extend from deterministic finite automata to probabilistic finite automata, even when transition probabilities are arbitrary reals. Informally, even if the machine can flip coins while reading the stream, it still cannot systematically select a “less random” subsequence or turn normal digits into profit; normality remains indistinguishable to such bounded-memory predictors. We end by discussing the next natural question raised by these results: where is the computational threshold beyond which randomness inside the model does begin to add power?

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R306.

30 января 2026 в 18:10

Докладчик: Дмитрий Гайфулин, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Суммы множеств цепных дробей с ограниченными неполными частными

Аннотация: 

Множества цепных дробей, элементы которых равномерно ограничены сверху или снизу, обладают рядом причудливых свойств. Они имеют сложную фрактальную структуру и нецелую размерность Хаусдорфа. Со времён прорывной работы М. Холла 1947 года, люди исследуют следующий вопрос: пусть F_n – множество цепных дробей, неполные частные которых ограничены сверху числом n. Что можно сказать о сумме F_n+F_m, где n и m – (возможно, одинаковые) натуральные числа? Тот же вопрос можно задать и о цепных дробях, элементы которых ограничены снизу. Я хотел бы рассказать о новых результатах в этой области, принадлежащих Н. Шульге и о своей совместной работе с Э. Нешаримом. Будут затронуты и открытые вопросы, часть из которых очень трудные, а некоторые, вероятно, вполне постижимые.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R306.

12 декабря 2025 в 18:10

Докладчик: Иван Бельдиев, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Алгебры Ли полиномиальных векторных полей на аффинных алгебраических многообразиях

Аннотация: 

В теории гладких (соответственно, комплексных) многообразий стандартным объектом являются гладкие (соответственно, голоморфные) векторные поля. В алгебраической геометрии естественно рассматривать аналог этого объекта — полиномиальные, или алгебраические, векторные поля на алгебраических многообразиях, причём особый интерес представляет случай аффинных многообразий. Полиномиальные векторные поля на аффинном многообразии с обычной операцией коммутатора образуют бесконечномерную алгебру Ли, структура которой в общем виде пока во многом не исследована. В то же время известен ряд ярких результатов, описывающих эту алгебру, как в общем случае, так и для некоторых конкретных аффинных многообразий. Например, в некоторых случаях доказано, что, несмотря на бесконечномерность, данная алгебра конечно порождена как алгебра Ли. Об этом и других её свойствах, а также о результатах автора, пойдёт речь в докладе.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R306.

28 ноября 2025 в 18:10

Докладчик: Владимир Медведев, факультет математики НИУ ВШЭ

Тема: Спектры и минимальные подмногообразия

Аннотация: 

В докладе рассматриваются две центральные задачи геометрического анализа:

1.  оптимизация собственных значений геометрических операторов — таких как оператор Лапласа–Бельтрами на римановых многообразиях;
2.  описание минимальных подмногообразий заданного риманова многообразия.

Эти задачи играют важную роль как в чистой математике и математической физике, так и в прикладных областях, включая компьютерные науки. Ключевым примером связи между ними служит классическая теорема Такахаси: замкнутое подмногообразие стандартной сферы является минимальным тогда и только тогда, когда его вложение задаётся собственными функциями оператора Лапласа–Бельтрами, соответствующими одному и тому же собственному значению. Позднее Надирашвили разработал общий подход к задаче оптимизации собственных значений на замкнутых многообразиях, опираясь, в том числе, на эту теорему. Важным частным случаем является задача максимизации первого собственного значения — так называемого фундаментального тона риманова многообразия. В дальнейшем эти результаты были обобщены (в том числе автором доклада) на компактные многообразия с краем и на минимальные подмногообразия со свободной границей в геодезических шарах модельных пространств — евклидова пространства, сферы и пространства Лобачевского. Доклад рассчитан на широкую математическую аудиторию: все необходимые понятия и факты будут кратко напомнены.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R306.

14 ноября 2025 в 18:10

Докладчик: Николай Долбилин, ведущий научный сотрудник Математического интститута им. В. А.Стеклова РАН

Тема: От многогранника к развертке и обратно

Аннотация: 

Будут обсуждены две известные, нерешенные проблемы в теории многогранников.

Одна из них, т.н. проблема Дюрера о существовании у всякого выпуклого многогранника реберной связной развертки. Здесь имеется ряд результатов и предположений. В частности, будет сформулирована "Анти-Дюрер" гипотеза.  

Другая проблема связана со знаменитой теоремой А. Д. Александрова о необходимых и достаточных условиях того, чтобы данная развертка была разверткой выпуклого многогранника, причем единственного с точностью до конгруэнтности. Проблема состоит в том, как по заданной развертке восстановить этот многогранник. Это очень трудная, по мнению самого А. Д. Александрова, проблема. В докладе будет рассказано о том, как восстановить многогранник по развертке, у  которой не больше 5 вершин положительной кривизны. Этот результат получен совместно с М. И. Штогриным.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R306.

31 октября 2025 в 18:10

Докладчик: Антон Шафаревич, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Группа автоморфизмов торальных многообразий

Аннотация: 

Группа автоморфизмов аффинного алгебраического многообразия — очень сложный объект, притягивающий внимание многих математиков. В отличие от проективных многообразий, группа автоморфизмов аффинного алгебраического многообразия может быть бесконечномерной. Несмотря на наличие отдельных красивых результатов, какой-то удовлетворительной структурной теории группы автоморфизмов аффинных многообразий на сегодня нет. Поэтому отдельный интерес представляют классы аффинных многообразий, для которых группу автоморфизмов можно описать. Одним из таких классов являются подмногообразия в алгебраическом торе — торальные многообразия.

В своем докладе я расскажу о некоторых важных результатах, связанных с автоморфизмами аффинных алгебраических многообразий, а также о строении группы автоморфизмов торальных многообразий.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R306.

17 октября 2025 в 18:10

Докладчик: Виталий Юделевич, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Об итеративном разложении натуральных чисел

Аннотация: 

Для каждого натурального числа наряду с его каноническим разложением на простые множители можно рассмотреть каноническое разложение показателей, с которыми простые входят в это разложение. Полученные показатели, в свою очередь, также можно разложить на простые и продолжать эту процедуру до тех пор, пока на некотором шаге все показатели не станут равны 1.
Такое разложение (называемое prime tower factorization) порождает ряд интересных задач.

В докладе будут представлены некоторые мои результаты, а также результаты других исследователей, связанные с этой конструкцией. Кроме того, будут сформулированы несколько интересных открытых вопросов.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R306.

3 октября 2025 в 18:10

Докладчик: Бруно Баувенс, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Algorithmic probability and the information distance

Аннотация: 

The conditional Kolmogorov complexity of a string x given a string y is the minimal length of a program that on input y prints x and halts. Andrei Kolmogorov promoted the study of this notion in 1964 to find a theory that could somehow justify his famous axioms of probability. But to connect to probability, one should use a variant of complexity, which is based on self delimiting programs. This notion can be defined in 4 different ways, one of which is the logarithm of algorithmic probability (in discrete form). This probability was introduced by Solomonoff in 1960 to describe learning in a very general way. 

In various applications, there is a need for a symmetric notion of conditional complexity. The first proposal from 1998 is to consider the minimal length of a program that prints x on input y and also prints y on input x. The authors also prove that the other symmetrized definitions of conditional complexity are close to each other, but conjecture that they do not coincide. Recently, I have proven this conjecture and also showed that the 4 definitions only differ in strange corner cases (for example, one string needs to be exponentially more complex than the other). 

In this talk, I will briefly discuss applications of algorithmic probability and the algorithmic information distance to machinelearning. Then I will prove the coding theorem and its approximate bidirectional variant. Finally, I discuss recent results.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R306.

6 июня 2025 в 18:10

Докладчик: Сергей Семаков, профессор, доктор физико-математических наук ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Первое достижение границ случайным процессом

Аннотация: 

Рассматривается задача о выходе случайного процесса на границу области: требуется найти вероятность того, что первый выход процесса на границу области произойдёт в какой-либо момент из заданного промежутка времени, причем этот выход произойдет на заданную часть границы. Такие задачи возникают при исследовании стохастических систем в тех случаях, когда штатное функционирование системы соответствует положению изображающей её точки в заданной области пространства состояний системы, причем последствия выхода точки из указанной области зависят от того, через какую часть границы области произошёл этот выход. В докладе будет рассказано о некоторых результатах автора и – кратко – о приложении полученных результатов к решению задачи оценки точности и безопасности посадки самолёта.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R408.

16 мая 2025 в 18:10

Докладчик: Дмитрий Фроленков, ФКН НИУ ВШЭ, Базовая кафедра Математического института им В.А. Стеклова РАН (МИАН)

Тема: О целых точках в треугольной области под гиперболой

Аннотация: 

В докладе речь пойдет о целых точках в области {d₁d₂≤ x, α^-1d₁≤d₂≤ αd₁} или, что тоже самое, об обобщенной функции числа делителей: d(n, α)=|{n=d₁d₂; α^-1 d₁≤ d₂≤ α d₁}|.

Мы обсудим связь данной задачи с классическими задачами о числе целых точек под гиперболой и о средних значениях дробных долей линейной функции. Также мы обсудим поведение средних Рисса обобщенной функции числа делителей.

Доклад основан на совместной работе с О.Балкановой и У.Дьюком.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

11 апреля 2024 в 15:30

Математический блиц

В рамках кратких 10-минутных сообщений сотрудники ФКН расскажут о яркой и понятной широкой математической аудитории открытой проблеме, которая связана с научной работой докладчика.

Приглашаются все желающие. Приходите, будет интересно!

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R404.

4 апреля 2025 в 18:10

Докладчик: Аркадий Алиев, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Гипотеза Малера и несепарабельные решетки

Аннотация: 

Пусть K  ℝⁿ – центрально симметричное выпуклое тело. Определим объем Малера тела K как произведение объема 𝐾 и объема его полярно двойственного тела K°. Гипотеза Малера заключается в оценке объема Малера снизу через объем Малера куба и представляет собой центральную открытую проблему в области выпуклой геометрии. На данный момент гипотеза доказана полностью только в размерности два и три.

Решеткой называется образ ℤⁿ под действием элемента группы 𝐺𝐿(𝑛, ℝ). Для данного тела K  ℝⁿ можно рассмотреть все его переносы вдоль некоторой решетки Λ. Если любое аффинное (𝑛 − 1)-мерное подпространство пересекает одну из копий 𝐾, то решетка трансляций Λ + 𝐾 называется несепарабельной.

На семинаре мы рассмотрим свойства объема Малера, способы получения нижних и верхних оценок этого объема и его связь с оценками плотности несепарабельных решеток.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R308.

21 марта 2025 в 18:10

Докладчик: Павел Соколов, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Теория типов и альтернативные основания математики

Аннотация: 

Теория типов — сравнительно молодая область на стыке математической логики, теории категорий и компьютерных наук. Появившись как один из вариантов разрешения парадоксов наивной теории множеств, системы типов нашли неожиданное применение в языках программирования как средство легковесной верификации как пользовательского кода, так и программных оптимизаций. Кроме этого, системы типов естественным образом обеспечивают конструктивный и, более того, синтетический подход к математике (синтетическая (дифференциальная) геометрия, синтетическая топология, синтетическая теория гомотопий и т.д.) В особенности, гомотопическая теория типов (HoTT) претендует на статус альтернативного основания (конструктивной) математики.

В рамках данного доклада будет изложена история становления теории типов как самостоятельной дисциплины с изложением основных математических результатов, начиная с Principia Mathematica Бертрана Рассела и заканчивая сегодняшними наиболее активными направлениями исследований.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

21 февраля 2025 в 18:10

Докладчик: Лев Беклемишев, Факультет математики НИУ ВШЭ, Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук

Тема: Циклические доказательства

Аннотация: 

В последние годы в математической логике получили распространение формальные системы, основанные на циклических и нефундированных доказательствах. Они оказались удобными для аксиоматизации логических языков  с разнообразными формами индукции, рекурсии или неподвижных точек. Они применяются как для анализа свойств таких языков, так и для задач автоматизации поиска доказательств.

 В циклическом доказательстве логические правила вывода существенно не отличаются от обычных, однако помимо аксиом имеются дополнительные гипотезы, которые обосновываются ссылками на идентичные утверждения, получаемые в выводе *позже* этих гипотез. Для того, чтобы такие доказательства не приводили к порочному кругу, на ссылки накладываются дополнительные условия, и правильная формулировка таких условий представляет собой в каждом конкретном случае нетривиальную задачу. 

Мы расскажем о совместной работе с Д.С. Шамкановым и И.Н. Смирновым, в которой разработаны новые циклические системы для классической арифметики Пеано и ее основных фрагментов.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R205. 

7 февраля 2025 в 18:10

Докладчик: Матвей Смирнов, ФКН НИУ ВШЭ, Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ

Тема: Вычислительные проблемы в теории римановых поверхностей

Аннотация: 

Общая теория компактных римановых поверхностей и алгебраических кривых в последние десятилетия стала активно применяться в прикладных задачах. Применения теории эллиптических кривых (или, даже точнее будет сказать, теории эллиптических функций) известны еще с 19-го века, однако многие из этих применений и соответствующих методов допускают обобщение на случай кривых высокого рода.  Отдельно можно отметить применения алгебраических кривых в криптографии, но так же известен набор аналитических задач, допускающих решение с помощью методов римановых поверхностей, среди которых решение некоторых дифференциальных уравнений, нахождение конформных отображений и построение аппроксимаций чебышевского типа. На семинаре планируется сделать обзор приложений теории римановых поверхностей. Мы поговорим об основных объектах (спецфункциях и не только), ассоциированных с римановыми поверхностями и их пространствами модулей, применяющихся при решении прикладных задач. И, наконец, я расскажу о проблемах вычислительной математики, связанных с римановыми поверхностями, в частности о моей работе по применению изогений многообразий Якоби для получения эффективных методов в случае кривых рода 1 и 2.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R205.

24 января 2025 в 18:10

Докладчик: Дмитрий Пионтковский, департамент математики ФЭН НИУ ВШЭ

Тема: Степень свободы систем дифференциальных уравнений и коммутативная алгебра

Аннотация: 

Предположим, что система дифференциальных уравнений в частных производных описывает классическую теорию поля. Эйнштейн предложил определить "силу" и число степеней свободы теории через асимпотику числа свободных коэффициентов данного порядка в ряде Тейлора общего решения системы. Прямое вычисление этой величины нетривиально. Предлагаемый подход к этой задаче основан на применении методов коммутативной алгебры. 

Посмотрим на матрицу системы как на линейное отображение свободных модулей над кольцом дифференциальных многочленов. Тогда можно получить представить число степеней свободы как кратность некоторого модуля над кольцом многочленов. Значит, эту величину можно явно вычислить с помощью стандартных средств компьютерной алгебры для любой конкретной системы. Более того, мы доказали (для однородных и некоторых более общих систем) другую явную формулу для той же величины, выражающую ее через количество и порядок высших калибровочных симметрий и тождеств. Интересное следствие --- совпадение числа степеней свободы для пары эрмитово сопряженных систем. Кроме этих результатов, планируется обсудить примеры и возникающие здесь алгебраические вопросы. 

Доклад основан на совместной работе с Семеном Ляховичем.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R205.

20 декабря 2024 в 18:10

Докладчик: Яков Верёвкин, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Градуированные компоненты присоединённой алгебры Ли прямоугольной группы Кокстера

Аннотация: 

Прямоугольная группа Кокстера racg_K является группой с m образующими g_1,...,g_m соотношениями g_i^2=1 для всех i \in {1,...,m}, а также соотношениям  g_ig_j=g_jg_i для некоторых пар {i,j}. Такую группу можно задать графом K^1 с m вершинами, где если соответствующие образующие коммутируют, то пара вершин соединяется ребром. Также представляет интерес нижний центральный ряд группы, с помощью которого строится присоединённая алгебра Ли (группы).

Будет рассмотрен нижний центральный ряд прямоугольной группы Кокстера racg_K и соответствующая присоединённая градуированная алгебра Ли L(racg_K). Будет рассмотрен базис четвёртой градуированной компоненты L(racg_K) для некоторого класса групп.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305. 

6 декабря 2024 в 18:10

Докладчик: Артем Лобода, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Решение стохастического уравнения, описывающего марковскую аппроксимацию эволюции открытой квантовой системы

Аннотация: 

На семинаре будет рассказано, как получается уравнение, описывающее эволюцию квантовой системы, взаимодействующей с окружающей средой, и почему оно является стохастическим. Мы рассмотрим несколько разных типов таких уравнений, получающихся при измерениях различных характеристик квантовой системы.
Мы обсудим несколько подходов к получению решений таких уравнений. В этой части будет проведён небольшой обзор того, как развивалась эта тематика, какие идеи возникали при решении нестохастических уравнений, как это связано с теорией меры на функциональных пространствах, какие возникают сложности при решении стохастических уравнений. Будут приведены интегральные представления решений некоторых из этих уравнений.
Будут обсуждаться подходы к изучению свойств этих решений и методы, которые могут использоваться для получения численных решений.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

22 ноября 2024 в 18:10

Докладчик: Ольга Маркова, Механико-математический факультет МГУ

Тема: Функция длины матричных алгебр

Аннотация: 

Под длиной конечной системы порождающих  конечномерной алгебры над произвольным полем понимается наименьшее положительное целое число k, такое, что произведения длины, не превышающей k, порождают
эту алгебру (как векторное пространство). Длиной алгебры называется максимальная длина среди всех систем порождающих этой алгебры.
 
Эту характеристику непросто найти даже в случае классических алгебр. Так, например, существует гипотеза Паза 1984г. о том, что длина любого порождающего множества алгебры матриц порядка n не превышает 2n-2, которая является открытой проблемой. В докладе будут представлены некоторые известные оценки для длины полной матричной алгебры и разных классов её систем порождающих, а также будут рассмотрены такие подалгебры матричной алгебры, для которых длина вычислена как функция от порядка матриц.
 
На примере задачи проверки триангулизуемости матричного семейства будет рассказано о применении функции длины для оценки сложности  алгоритмов в вычислительной теории матриц.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

8 ноября 2024 в 18:10

Докладчик: Игорь Шейпак, Механико-математический факультет МГУ

Тема: Спектральная задача для сингулярной струны. Приложения к константам вложения в пространствах Соболева и построению воспроизводящих ядер

Аннотация: 

Доклад посвящен задаче об асимптотике собственных значений оператора, связанного с задачей колебания сингулярной струны.

Будут установлены связи этой задачи с задачами о точных константах в теоремах вложения в пространствах Соболева и построению воспроизводящих ядер.

В качестве приложения мы обсудим применение воспроизводящих ядер к задачам машинного обучения и метрическим алгоритмам.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

25 октября 2024 в 18:10

Докладчик: Федор Попеленский, Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ, Механико-математический факультет МГУ

Тема: Геометрические потоки и их дискретные аналоги

Аннотация: 

Поток Риччи, который стал широко известен после работ Г.Я.Перельмана и Р.Гамильтона по доказательству гипотезы Пуанкаре, является одним из представителей так называемых геометрических потоков. 

В докладе будет рассказано о некоторых из них , а также об их дискретных аналогах, которые, по всей видимости. должны иметь самостоятельное значение, в том числе и в приложениях.

Эти потоки делятся на два типа:  

• внешние, которые деформируют вложение геометрического объекта в объемлющее пространство (поток, сокращающий длину кривой; поток средней кривизны)
• внутренние, которые изменяют длины кривых (метрику) на самом геометрическом объекте, при этом не предполагается, что этот объект куда-то вложен (потоки Риччи и Ямабе, их комбинаторные аналоги)

Будет рассказано об известных результатах в этой области, а также о некоторых открытых вопросах и потенциальных приложениях.

Доклад рассчитан на широкую аудиторию.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

11 октября 2024 в 18:10

Докладчик: Олег Герман, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: О геометрии диофантовых приближений

Аннотация: Все знакомы с принципом Дирихле. Но не все знают, что называться этот принцип в честь Дирихле стал после того, как он использовал его для доказательства простого, но весьма содержательного утверждения, из которого по сути выросла современная теория диофантовых приближений - наука, изучающая вопросы, связанные с приближением вещественных чисел рациональными. Как показал впоследствии Минковский, теорему Дирихле можно доказывать число геометрическими методами. Геометрическим методам в теории диофантовых приближений и будет посвящён доклад. Мы поговорим о геометрии чисел, диофантовых экспонентах, принципе переноса, геометрии цепных дробей и их многомерных обобщений, а также коснёмся некоторых открытых вопросов, таких как гипотеза Литтлвуда и гипотеза Касселса-Суиннертона-Дайера-Маргулиса.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

27 сентября 2024 в 18:10

Докладчик: Роман Стасенко, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Представления алгебр Ли и модули Ли-Йордан

Аннотация: Пусть S — произвольная редуктивная алгебраическая группа. Назовем S-структурой на алгебре Ли g гомоморфизм Φ : S → Aut(g). S-структуры ранее изучались различными авторами, в том числе Э.Б. Винбергом.

В докладе рассматриваются SL2-структуры. SL2-структуру назовем короткой, если представление Φ группы SL2 разлагается на неприводимые представления размерностей 1, 2 и 3. Если рассматривать неприводимые представления размерностей только 1 и 3, то получится известная конструкция Титса-Кантора-Кехера, устанавливающая взаимно-однозначное соответствие между простыми йордановыми алгебрами и простыми алгебрами Ли определенного вида.

Аналогично теореме Титса–Кантора–Кехера в случае коротких SL2-структур можно установить взаимно-однозначное соответствие между простыми алгебрами Ли с такой структурой и так называемыми простыми симплектическими структурами Ли-Йордана.

Пусть на алгебре Ли g задана SL2-структура и отображение ρ : g → gl(U) — линейное представление. Гомоморфизм Ψ : S → GL(U) называется SL2-структурой на лиевском g-модуле U, если

Ψ(s)ρ(ξ)Ψ(s) ⁻¹ = ρ(Φ(s)ξ),  ∀s ∈ S, ξ ∈ g.

Подобная конструкция имеет интересные приложения к теории представлений йордановых алгебр, о которых будет рассказано в докладе. Также в докладе будет представлена полная классификация неприводимых коротких g-модулей для простых алгебр Ли.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R407.

31 мая 2024 в 18:10

Докладчик: Тихон Красовицкий, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Проблема единственности вероятностного решения стационарного уравнения Колмогорова

Аннотация: Уравнение Колмогорова, играющее важную роль в теории диффузионных процессов, было получено в 1931 году А.Н. Колмогоровым в его статье "Об аналитических методах в теории вероятностей". В той же статье были поставлены вопросы о существовании и единственности решения в классе вероятностных плотностей. С тех пор эти вопросы активно исследуются, но до сих пор многие принципиальные вопросы остаются открытыми. В частности, не решена проблема единственности вероятностного решения уравнения Колмогорова. В общем случае неизвестна размерность симплекса вероятностных решений.
В нашем докладе будет дан обзор проблемы единственности вероятностного решения уравнения Колмогорова. Мы представим последние результаты о единственности и неединственности вероятностных решений стационарного уравнения Колмогорова в двумерном случае. А также обсудим новый подход к построению примеров неединственности, основанный на применении теории вырожденных эллиптических уравнений.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R506.

17 мая 2024 в 18:10

Докладчик: Владлен Тиморин, Факультет математики НИУ ВШЭ

Тема: Конечно аддитивные инварианты многогранников: геометрия и динамика

Аннотация: Конечно-аддитивные инварианты многогранников (такие, как объем, площадь поверхности, эйлерова характеристика и проч.) возникли при решении задач равносоставленности. Один из самых известных примеров - инвариант Дена, решающий третью проблему Гильберта. Из этого примера выросла большая самостоятельная теория, имеющая тесные связи с гомологической алгеброй. Но я планирую поговорить не столько про саму эту теорию, сколько про ее связи с другими областями математики, такими как алгебраическая геометрия и динамические системы. Классы динамических систем, для которых применение конечно-аддитивных инвариантов доказало свою полезность, включают перекладывания многогранников (в т.ч. перекладывания отрезков) и внешние бильярды.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

26 апреля 2024 в 18:10

Докладчик: Ирина Резвякова, Математический институт им. В.А.Стеклова РАН

Тема: О плотнейших упаковках шаров

Аннотация: Доклад будет посвящен оптимальным  упаковкам шаров в n-мерном пространстве. Мы коснёмся результатов Г. Кона и Н. Элкиса 2001 года о верхних оценках на плотность оптимальных упаковок в малых размерностях. Оказалось, что эти оценки в размерностях 8 и 24 практически совпадают с предполагаемыми плотностями, соответствующими решеткам Коркина — Золотарева в размерности 8 и решетке Лича в размерности 24. Будет рассказано о прорывной идее М. Вязовской 2016 года, позволившей с помощью модулярных форм дать окончательное решение задачи о плотнейшей упаковке в размерностях 8 и 24. В заключении будут сформулированы задачи, которые возникают при попытках найти плотнейшие упаковки в других размерностях.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.

12 апреля 2024 в 16:00

Математический блиц

В рамках кратких 10-минутных сообщений сотрудники ФКН расскажут о ярких и понятных широкой математической аудитории результатах, к получению которых они не причастны, но хотели бы быть причастны.

Приглашаются все желающие. Приходите, будет интересно!

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R401.

29 марта 2024 в 18:10

Докладчик: Валентина Кириченко, Факультет математики НИУ ВШЭ

Тема: Последовательности квадратичных вычетов и невычетов

Аннотация: Возьмём простое число p и заменим числа от 1 до p-1 на буквы R и N  в зависимости от того, является ли число квадратом по модулю p или нет. Получится последовательность длины p-1 из двух букв, в которой на первый взгляд нет никаких закономерностей. Например, для p=17 получится слово RRNRNNNRRNNNRNRR, а для p=23  – слово RRRRNRNRRNNRRNNRNRNNNN. Такие последовательности активно изучаются с конца позапрошлого века, о них многое известно и ещё больше – неизвестно. Например, сколько раз встретится в последовательности фрагмент RRR? Встретится ли фрагмент из миллиона букв R подряд, если p достаточно велико? Как оценить вероятность, с которой данный фрагмент встречается в последовательности при больших p? Я расскажу об известных результатах – давних и недавних, об их связи с современной теорией чисел и алгебраической геометрией, и сформулирую открытые вопросы. 

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.

15 марта 2024 в 18:10

Докладчик: Анастасия Оноприенко, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: От интуиционистской логики к логике задач

Аннотация: На рубеже XIX-XX веков случился кризис оснований математики.
Брауэр видел в качестве возможного варианта разрешения этой проблемы пересмотр смысла логических связок и кванторов и отказ от рассмотрения абстрактных объектов, существующих лишь в нашей, порой противоречивой, фантазии. По Брауэру, математика - не абстрактная теория или система правил, а весьма существенная часть человеческой деятельности и потому математические рассуждения должны быть интуитивно ясными и убедительными.
В докладе будет рассмотрена формализация интуиционистской логики, основанная на семантике типа Крипке. Используя эту семантику, мы докажем несколько интересных свойств интуиционистской логики.
С другой стороны, доводы Браэура принимали не все математики. В частности, он столкнулся с резкой оппозицией со стороны Гильберта. Колмогоров поставил перед собой цель примирить взгляды Гильберта и Брауэра и объяснить интуиционистское направление с точки зрения классической математики. По замыслу Колмогорова, интуиционистская математика укладывается в рамки классической, если интерпретировать высказывания интуиционистской логики как задачи. В докладе будут рассмотрены варианты формализации логики задач.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.

1 марта 2024 в 18:10

Докладчик: Максим Королев, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Дизайны на окружности

Аннотация: Нанесём на окружность q точек, разбивающих её на дуги равной длины и пронумеруем их числами от 0 до q-1. Возьмём некоторое целое число a, не делящееся на q, и соединим точку, имеющую  номер k, с точкой номер m, где m =ak (mod q). Проделав это для всех k, мы получим рисунок из линий, который иногда называется "дизайном на окружности" или "круговым дизайном". Круговые дизайны - объекты, давно и хорошо известные и любителям, и профессионалам. Одна из причин - в том, что они обладают несомненной эстетической привлекательностью.

Кроме того, картинки, возникающие в ходе такой процедуры, можно реализовать в виде вещественных конструкций из нитей. Техника, основанная на создании изображений с помощью нитей, именуется "string art", "изонить", "вышивка по картону". Кроме того, на основе таких картинок можно объяснять физические явления, с которыми мы сталкиваемся повседневно, каждый раз, как берём в руки чашку с кофе или чаем.

Пусть задано число q, а радиус окружности равен (для простоты) единице. Сколько потребуется нити для реализации такой конструкции для заданного a? Известно, что если a-1 и q взаимно просты, то такая длина L = L(q,a) не зависит от a (это - школьное упражнение, но, кажется, этот факт был отмечен совсем недавно).

А что будет, если соединять точки не по "линейному" правилу k→ak (mod q), а по более сложному: k→ af(k) (mod q)? Визуальная красота, как правило, разрушается. Но можно поставить, например, тот же вопрос о поведении суммарной длины L(q,a) нити при фиксированном q и изменении a. 

В докладе планируется познакомить слушателей с результатами численных экспериментов, отвечающих разным арифметическим функциям f, высказать некоторые предположения и сформулировать в виде утверждений то немногое, что удаётся строго доказать.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R204.

16 февраля 2024 в 18:10

Докладчик: Тома Ферник, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Замощение, упаковка и оптимизация

Аннотация: Мы рассмотрим две небольшие задачи, мотивированные центральным вопросом
материаловедения: как локальные напряжения между элементарными составляющими материала могут повлиять на его общую структуру?

Первая заключается в облицовке ванной комнаты двумя видами плитки, показанными ниже, при этом квадратная плитка должна использоваться как можно реже.

Вторая задача заключается в том, чтобы расставить на столе как можно больше бутылок, учитывая, что есть два типа бутылок с разными диаметрами.

Математические понятия, необходимые для понимания этого доклада, просты и доступны широкой аудитории.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R204.

2 февраля 2024 в 18:10

Докладчик: Юлия Зайцева, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Аффинные моноиды и их алгебраические свойства

Аннотация: Аффинным алгебраическим многообразием X называется множество решений полиномиальной системы уравнений от нескольких переменных. Будем говорить, что на X введена структура аффинного алгебраического моноида, если задана полиномиальная ассоциативная бинарная операция на X, обладающая нейтральным элементом. Общей классификации таких моноидов нет, но известны результаты в некоторых случаях в зависимости от группы обратимых элементов. Я расскажу про полученные классификации таких моноидов и их свойства.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R204.

19 января 2024 в 18:10

Докладчик:  Александра Скрипченко, Факультет математики НИУ ВШЭ

Тема: Перекладывания отрезков и их родственники

Аннотация: Перекладывания отрезков - это отображение отрезка единичной оси в себя, которое в ограничении на заданные подотрезки исходного отрезка является сдвигом, а эти подотрезки меняет местами в соответствии с некоторой перестановкой. Этот простой комбинаторный объект позволяет описать поведение слоев измеримого слоения на ориентируемой поверхности или, например, траекторий бильярда в рациональном многоугольнике, поэтому динамические свойства перекладываний отрезков (минимальность, эргодичность, перемешивание) и специального потока над ними - потока Тейхмюллера - являются предметом активного изучения в теории динамических систем в последние 40 лет. 

Оказывается, что в ряде задач естественно рассмотреть обобщения этого понятия - например, отказаться от требования сохранения ориентации или даже от условия, чтобы сдвигаемые подотрезки задавали разбиение исходного отрезка. В докладе мы обсудим, какие свойства перекладываний и потоков сохраняются для таких обобщений, а какие - заменяются на противоположные. 

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R505.

15 декабря 2023 в 18:10

Докладчик: Владимир Бобков, Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН

Тема: Собственные значения и функции p-Лапласа 

Аннотация: Оператор p-Лапласа является нелинейным вариационным обобщением классического дифференциального оператора второго порядка - лапласиана, и исследованию задач, содержащих такой оператор, посвящено колоссальное число работ. Несмотря на модельность и простоту определения, многие фундаментальные и даже базовые вопросы, хорошо разработанные в линейной теории, остаются для p-Лапласа открытыми. Мы поговорим о задаче на собственные значения p-Лапласа в таких простейших областях, как круг и шар. В ней красиво переплетаются теория дифференциальных уравнений, вариационные методы, теория критических точек, и топология. Мы обсудим некоторые результаты о "почти кратности" собственных значений p-Лапласа и узнаем, причём здесь бутылка Клейна.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R504. 

1 декабря 2023 в 18:10

Докладчик: Тарас Панов, ФКН НИУ ВШЭ, Факультет математики НИУ ВШЭ, МГУ

Тема: Двойные гомологии момент-угол-комплексов и биградуированные персистентные модули 

Аннотация: Для конечного псевдометрического пространства X фильтрация Виеториса-Рипса представляет собой последовательность R(X,t) вложенных флаговых симплициальных комплексов, ассоциированных с X. Симплициальные гомологии комплексов R(X,t) используются для определения основных персистентных модулей в топологическом анализе данных - персистентных гомологий пространства X.

В торической топологии рассматривается более тонкий гомологический инвариант симплициального комплекса K - биградуированные гомологии момент-угол-комплекса ZK, ассоциированного с K. Момент-угол-комплекс ZK представляет собой пространство с действием тора, составленное из произведений дисков и окружностей, параметризованных симплексами в K. На ZK задано биградуированное клеточное разбиение, и соответствующие биградуированные группы гомологий H_{-i,2j}(ZK) содержат гомологии H_n(K) в качестве прямого слагаемого. Алгебраически биградуированные модули гомологии H_{-i,2j}(ZK) являются биградуированными компонентами Tor-модулей кольца Стэнли-Райснера k[K] и могут быть представлены в виде суммы приведённых симплициальных групп гомологии всех полных подкомплексов K_I в K.

На основе биградуированных гомологий момент-угол-комплексов ZR(X,t), связанных с фильтрацией Вьеториса-Рипса {R(X,t)}, можно определить биградуированные персистентные модули и биградуированные бар-коды облака точек (набора данных) X. Простые примеры показывают, что биградуированные персистентные гомологии могут различать облака точек, которые неразличимы обычными персистентными гомологиями.

Двойные гомологии HH*(ZK) определяются как гомологии цепного комплекса CH*(ZK)=(H*(ZK),d'), получаемого путём введения второго дифференциала d'  на биградуированных гомологиях ZK. Биградуированные двойные гомологии существенно меньше, чем обычные биградуированные гомологии момент-угол-комплексов, и поэтому могут быть более доступными с вычислительной точки зрения. Что более важно, модули персистентных гомологий, определённые на основе биградуированных двойных гомологий фильтрации Вьеториса-Рипса, обладают свойством стабильности, т.е., грубо говоря, устойчивости к малым изменениям входных данных.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206. 

17 ноября 2023 в 18:10

Докладчик: Михаил Вялый, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Игры вычитания и полулинейные множества

Аннотация: Игры вычитания - широкий класс беспристрастных игр. Основной темой рассказа будет алгоритмическая сложность решения игр вычитания. По сути речь идет о сложности вычисления функций, заданных рекуррентными соотношениями особого вида. Известно, что для некоторых игр эта задача трудна, а для некоторых проста. Во втором случае и появляются полулинейные множества - многомерный аналог арифметических прогрессий. Граница между "трудными" и "простыми" играми пока неясна. Будут предложены некоторые гипотезы, уточняющие эту границу.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206. 

3 ноября 2023 в 18:10

Докладчик: Артем Радомский, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: О теореме Романова и некоторых смежных вопросах

Аннотация: Н. П. Романов доказал, что для каждого натурального числа a > 1 плотность натуральных чисел вида p+a n положительна (p пробегает все простые числа, n натуральные). Мы обобщаем теорему Романова в следующем направлении. При определенных условиях на последовательность {ak} ∞ k=1 мы получаем оценку снизу для количества натуральных чисел n ≤ x, представимых в виде n = p + ak. В частности, мы получаем точный порядок количества натуральных чисел n ≤ x, представимых в виде n = p + ak в случаях, когда ak = a R(k) , где R(k) — многочлен с целыми коэффициентами, принимающий положительные значения на множестве натуральных чисел, и когда aq = #E(Fq), где E(Fq) — эллиптическая кривая над полем Fq. Также в докладе мы планируем поговорить про количество простых чисел в кортежах {L1(n), . . . , Lk(n)}, где все Li(n) = ain + bi — линейные функции с натуральными коэффициентами, (ai , bi) = 1. В качестве следствия мы получаем количественные результаты для обобщенных функций Романова fA(n) = #{a ∈ A : n − a ∈ P}, где A — подмножество в N, а P — множество простых чисел.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206. 

20 октября 2023 в 18:10

Докладчик: Роман Авдеев, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Системы корней и связанные с ними комбинаторные задачи

Аннотация: Система корней — это конечный набор векторов евклидова пространства, обладающий большой группой симметрий и удовлетворяющий определённым условиям целочисленности. Системы корней играют важную роль в теории полупростых групп и алгебр Ли; в частности, они классифицируют все комплексные полупростые алгебры Ли. Ввиду этой взаимосвязи решение тех или иных задач про группы или алгебры Ли иногда сводится к чисто комбинаторным задачам о системах корней, которые могут представлять и самостоятельный интерес. Одна из таких задач, для которой на данный момент неизвестно полное решение, заключается в вычислении так называемого индекса разделения систем корней. В докладе планируется дать краткий обзор теории систем корней и рассказать об известных результатах про индексы разделения.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206. 

6 октября 2023 в 18:10

Докладчик: Михаил Игнатьев, ФКН НИУ ВШЭ; Международная лаборатория теории представлений и математической физики ВШЭ – Сколтех

Тема: Представления нильпотентных алгебр Ли

Аннотация: Теория представлений полупростых конечномерных комплексных алгебр Ли - классический раздел теории представлений, многие вопросы в котором имеют красивые и точные ответы. В частности, конечномерные неприводимые представления полностью классифицированы и описываются с помощью комбинаторики старших весов системы корней данной полупростой алгебры Ли.

Совершенно другая картина открывается при переходе от полупростых к нильпотентным алгебрам Ли. Для начала, по очевидным соображениям нетривиальных конечномерных неприводимых представлений у таких алгебр не бывает, поэтому интерес представляет изучение бесконечномерных представлений. Более того, относительно несложно объяснить (и я сделаю это в докладе), почему нет почти никаких шансов полностью классифицировать неприводимые представления данной нильпотентной алгебры Ли: это связано с представлениями алгебры Вейля.

Тем не менее, в исследовании представлений нильпотентных алгебр Ли удаётся продвинуться довольно далеко. Ключевая идея заключается в том, чтобы изучать не сами представления, а их аннуляторы в универсальной обёртывающей алгебре - так называемые примитивные идеалы. Я расскажу, как эти идеалы описываются с помощью алгебраической версии метода орбит, и сформулирую ряд открытых проблем в этой области вместе с возможными подходами к их решению.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R206. 

22 сентября 2023 в 18:10

Докладчик: Валентин Овсиенко, CNRS, Лаборатория математики, Университет Реймса

Тема: q-деформированные числа и представления Бюрау

Аннотация: В докладе будут описаны понятия  q-деформированных рациональных (и иррациональных) чисел и описаны их основные свойства. Будет также объяснена связь теории q-чисел с классическим представлением Бюрау групп кос. Эта связь позволяет дать ответ на открытую  проблему классификации точных комплексных специализаций этого представления.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305. 

8 сентября 2023 в 18:10

Докладчик: Виктор Бухштабер, Международная лаборатория алгебраической топологии и её приложений НИУ ВШЭ, Математический институт им. В.А. Стеклова

Тема: n- значные группы в разных областях математики

Аннотация: В  n- значных группах произведением пары точек является n-мультимножество, т.е. не упорядоченное множество из  n точек, возможно с повторениями. Теория n- значные групп (конечных, дискретных, топологических, алгебраических, алгебро-геометрических ) развивается благодаря взаимосвязям с различными областями математики  и математической физики. В докладе будут введены основные определения, ключевые примеры и конструкции этой теории.
Мы обсудим фундаментальные результаты классической теории групп и их представлений, комбинаторной теории групп, теории действия конечных групп на многообразиях, теории динамических систем дискретного времени, которые привели в важным результатам и приложениям теории n- значных групп.Будут сформулированы классификационные результаты и нерешенные актуальные задачи.
Доклад ориентирован на широкую аудиторию.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R305.

23 июня 2023 в 18:10

Докладчик: Александр Перепечко, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Числа Маркова, гипотеза единственности и бирациональные преобразования

Аннотация: Тройки Маркова - это решения диофантова уравнения x^2+y^2+z^2=3xyz, образующие бинарное дерево относительно трёх инволюций. Знаменитая гипотеза единственности гласит, что старшие элементы троек Маркова не повторяются. Мы обсудим идею, почему она может оказаться неразрешимой.

Также обсудим автоморфизмы соответствующих уравнению Маркова алгебраических поверхностей и возникающую комбинаторику взвешенных графов.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

9 июня 2023 в 18:10

Докладчик: Алексей Таламбуца, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Об орбитах наборов линейных функций и свободных полугруппах целочисленных матриц

Аннотация: Доклад будет посвящён двум задачам из разных областей, которые сравнительно просто формулируются, остаются нерешёнными уже несколько десятилетий и оказываются тесно связанными друг с другом.

Первый вопрос относится к арифметической комбинаторике и возник в 1970-х годах в связи с решением проблемы Эйлера о существовании латинских квадратов нечётных размеров. А именно, пусть f1, f2, ..., fk — набор линейных функций с неотрицательными целыми коэффициентами. При каких условиях на набор функций, множество всех образов числа 1, к которому итерированно применяются функции f1, f2, ..., fk, имеет положительную плотность как подмножество натурального ряда? Этой задачей занимались такие известные специалисты как П.Эрдёш, Д.Кнут, Р.Радо, Р.Ривест, Д.Кларнер и Д.Копперсмит, однако полного её решения до сих пор не найдено.

Другая задача относится к области алгоритмических проблем в алгебре. В 1991 году Д.Кларнер, Ж.-К. Бирже и У.Саттерфилд рассмотрели задачу проверки, является ли данный на вход набор квадратных целочисленных матриц базисом свободной полугруппы. Они доказали, что эта задача алгоритмически неразрешима для размера 3x3 и больше, а вот для матриц 2x2 этот вопрос с тех пор открыт. Интересным образом, для большого числа других алгоритмических вопросов про полугруппы матриц, в случае размера 3x3 также установлена неразрешимость, а для размера 2x2 проблема является открытой.

Будет рассказано о том, почему эти задачи связаны, а также о результатах, полученных в направлении их решения.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

26 мая 2023 в 18:10

Докладчик: Сергей Кузнецов, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Решётки замкнутых множеств: понятия и импликативные зависимости

Аннотация: В докладе рассматривается представление алгебраических решёток (lattice) решётками замкнутых множеств, называемыми также решётками понятий или решётками Галуа. Каждая такая решётка задаётся с помощью антимонотонного соответствия Галуа на некотором бинарном отношении. Множества элементов таких решёток, называемых (формальными) понятиями, могут служить основой различных методов кластеризации и классификации. Решётка понятий задаёт множество т.н. импликаций и приближённых импликаций (ассоциативных правил), по которым, в свою очередь, можно восстановить решётку понятий и исходное бинарное отношение. Будут рассмотрены некоторые проблемы подсчёта размера решёток понятий и базисов импликаций.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

12 мая 2023 в 18:10

Докладчик: Артем Максаев, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Автоморфизмы тотального графа матриц над конечным полем

Аннотация: Тотальный граф кольца квадратных матриц над полем - это граф, вершинами которого являются все n x n матрицы над заданным полем, а ребрами соединяются те матрицы, сумма которых вырождена. Одним из важных вопросов при изучении графа является описание его автоморфизмов - биекций на множестве вершин графа, строго сохраняющих отношение смежности вершин. На сегодняшний день, для тотального графа матриц эта задача полностью решена, для любого поля и порядка матриц. В докладе мы обсудим методы решения этой задачи: в основном, для случая конечного поля, где задача интересным образом сводится к комбинаторным соображениям и вычислениям определенных чисел, связанных с матрицами. Но также затронем и случай бесконечного поля, и обсудим связи с другими задачами теории отображений, сохраняющих матричные инварианты.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

28 апреля 2023 в 18:10

Докладчик: Виктор Лопаткин, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Гомологии и их комбинаторный вид

Аннотация: В данном докладе планируется показать, что такое понятие как (ко)гомология появляется самым естественным образом в классических задачах. Мы начнём с разговора о том, как расширять группы и потом увидим, что сложение в столбик, которому нас учили, это чисто гомологическое понятие. Мы поговорим про дальнейшие расширения и что их можно “умножать” и получать новые “расширения”. Далее, мы поговорим про резольвенты и поймём, что это тоже очень естественный объект, который в первом приближении нужно понимать как нечто такое, которое изучает отношения, потом отношения между отношениями, потом отношения между отношениями между отношениями и.т.д. В заключении планируется рассказать, как гомологии чувствуют изменения в группе, про подход Ромы Михайлова к проблеме Капланского о делителях нуля, а также универсальный алгоритм как их вычислять у ассоциативных алгебр, которые заданы через образующие и соотношения.  

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R406.

10 апреля 2023 в 15:00

Математический блиц

В рамках Дней компьютерных наук сотрудники ФКН выступят с короткими сообщениями, в которых расскажут о ярких и понятных широкой математической аудитории результатах, к получению которых они причастны.

Приглашаются все желающие. Приходите, будет интересно!

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R201.

31 марта 2023 в 18:10

Докладчик: Степан Кузнецов, ФКН НИУ ВШЭ; МИАН им. В.А. Стеклова.

Тема: Алгебраические логики с итерацией Клини

Аннотация: Итерация, или звёздочка Клини — это одна из наиболее интересных алгебраических операций, используемых в теоретической информатике. Алгебраические структуры с итерацией Клини, развившиеся из известной алгебры регулярных выражений, широко используются для описания формальных языков и для моделирования вычислительных процессов. В связи с этим интерес представляют алгебраические логики для структур с итерацией — т.е. логические исчисления, описывающие тождества, истинные в таких структурах — их алгоритмическая разрешимость и сложность. Эти логики оказываются неклассическими (точнее, субструктурными) вариантами логики высказываний, однако, за счёт индуктивной природы звёздочки Клини, приобретают некоторые черты намного более сильных систем, таких как формальная арифметика. В докладе будет дан обзор результатов об алгебраических логиках с итерацией Клини, как ранее известных, так и принадлежащих докладчику.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405. 

17 марта 2023 в 18:10

Докладчик: Николай Верещагин, ФКН НИУ ВШЭ, Мехмат МГУ, Яндекс

Тема: Полудуплексная коммуникационная сложность

Аннотация: В классической модели коммуникационной сложности, введённой Эндрю Яо в 1979 году, рассматривается игра для двух игроков, Алисы и Боба, которые хотят вычислить f(x,y) для некоторой функции f, причём Алисе известно только значение x, а Бобу - только значение y. Для решения этой задачи Алиса и Боб могут общаться, посылая друг другу битовые сообщения по одному биту за раунд. Важное свойство этой коммуникационной модели заключается в том, что на каждом раунде общения один из игроков посылает некоторое битовое сообщение, а другой игрок обязательно его принимает. Коммуникационная сложность функции определяется как минимальное количество битов, которые нужно передать, чтобы вычислить f(x,y) для всех возможных пар x,y.
Эта модель была обобщена в 2018 году Гувером, Импальяццо, Михайлиным и Смалем до модели, описывающей общение по так называемому полудуплексному каналу. Широко известный пример полудуплексного канала в обычной жизни - это общение при помощи раций: для передачи сообщения по рации нужно зажать кнопку передачи (принцип «push-to-talk»), в то же время на принимающей стороне в этот момент кнопка должна быть отпущена. Если два человека пытаются передавать сообщения одновременно (т.е. у обоих рации находятся в режиме передачи), то они не слышат друг друга. Есть разные модели полудуплексных коммуникационных протоколов: модель с тишиной (если оба пытаются принять сообщения, то они получают специальный символ "тишина"), модель с нулем (они принимают нулевой бит) и модель с противником (они принимают произвольные биты, выбираемые противником). Для большинства функций коммуникационная сложность с тишиной и с нулем меньше классической коммуникационной сложности. Однако до сих пор было неизвестным, различается ли коммуникационная сложность с противником от классической. Мы приведем пример функции, для которой полудуплексная коммуникационная сложность с противником строго меньше классической коммуникационной сложности.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

3 марта 2023 в 18:10

Докладчик: Григорий Кабатянский ФКН НИУ ВШЭ, Сколтех

Тема: Разделение секрета – многочлены над конечными полями, комбинаторика, коды и матроиды

Аннотация: Доклад будет посвящен некоторым математическим задачам, возникающим при изучении так называемого разделения секрета. Саму задачу можно сформулировать так: надо «разделить» секрет между  n участниками таким образом, что разрешенные коалиции участников могли бы найти секрет, а любые неразрешенные не знали о секрете ничего «дополнительного», т.е. кроме априорных сведений.  Самый популярный и изученный пример – пороговые схемы, т.е. разрешенные коалиции это все коалиции из t или более участников, и никакие больше. Эта задача связана, в частности, со следующей гипотезой, известной в комбинаторике, теории кодирования и даже алгебраической геометрии – пусть множество из n r-мерных векторов над конечным полем из q элементов таково, что любые r из них линейно независимы. Тогда n<q+2 (два исключения в характеристике 2). Гипотеза недавно доказана для простых полей.
А еще мы обсудим задачу о построении семейств k-мерных подпространств в n-мерном пространстве со свойством «все или ничего», то есть линейная оболочка любого множества этих подпространств пересекается с фиксированным k-мерным подпространством либо по вектору 0, либо содержит это фиксированное подпространство целиком. А отсюда уже рукой подать до  матроидов!

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.

17 февраля 2023 в 18:10

Докладчик: Дмитрий Шабанов, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Пороговые вероятности в случайных графах и гиперграфах

Аннотация: Одно из основных направлений исследований в теории случайных подмножеств связано с поиском так называемых пороговых вероятностей. В биномиальной модели случайного подмножества Γ(n,p) данный эффект может быть кратко описан следующим образом: для каждого монотонного возрастающего свойства существует такая функция q(n), что при p=o(q) вероятность наличия свойства у случайного подмножества стремится к нулю, а при p=ω(q), наоборот, стремится к единице. Особенный интерес для изучения представляет ситуация, когда пороговая вероятность является точной.
В докладе будет дан краткий обзор общих результатов о пороговых вероятностях, а также представлены недавние результаты докладчика с соавторами об оценках пороговых вероятностей для свойств раскрасок случайных гиперграфов.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

3 февраля 2023 в 18:10

Докладчик: Алексей Ремизов, кафедра высшей математики, МФТИ

Тема: Восстановление изображений математическими методами 

Аннотация: Доклад посвящен прикладной задаче - восстановлению поврежденных изображений (inpainting). Существует большое число подходов к этой задаче, основанных на различных идеях. В докладе планируется рассказать о методе восстановления, основанном на использовании геометрической модели зрения, восходящей к работам нобелевских лауреатов Хьюбеля и Визеля, согласно которой плоское изображение, воспринимаемое сетчаткой глаза, обрабатывается нейронами коры головного мозга и "поднимается" на трехмерное многообразие - проективизированное касательное расслоение плоскости. Кроме того, планируется обсудить ситуации, в которых этот метод не работает и требуется придумать что-то совсем другое. Доклад носит ярко выраженный прикладной характер, будет много эмпирических данных, но не доказано ни одной теоремы.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.  

20 января 2023 в 18:10

Докладчик: Иван Аржанцев, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Образы аффинного пространства

Аннотация: В докладе изучаются алгебраические многообразия над полем комплексных чисел. Мы расскажем, что такое аффинное, проективное и абстрактное алгебраическое многообразие, и определим морфизмы между ними. Затем мы перейдем к вопросу о том, какие алгебраические многообразия можно реализовать как образы аффинного пространства. Оказывается, таких многообразий очень много. Используя понятие гибкого многообразия и конструкцию фактор-пространства, мы докажем, что для любого невырожденного торического многообразия X существует сюръективный морфизм из аффинного пространства в X. Аналогичный результат справедлив для однородных пространств и для многообразий, покрытых аффинными пространствами. Также в докладе будут сформулированы пять открытых вопросов, над которыми могут работать слушатели, знакомые лишь с основами алгебраической геометрии.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R405.

11 ноября 2022 в 18:10

Докладчик: Валентин Промыслов, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Гипотеза о соответствиях Джека

Аннотация: Структурные константы Джека были введены в 1996 Гулденом и Джексоном как коэффициенты некоторых рядов, зависящие от параметра α и обобщающие структурные константы двух классических коммутативных подалгебр групповой алгебры симметрической группы, а именно, алгебры классов сопряжённости (при α = 1) и алгебры двойных смежных классов (при α = 2).
Структурные константы двух указанных алгебр (соответствующие значениям α = 1, 2) имеют интересные комбинаторные и топологические интерпретации в терминах паросочетаний на графах, вложенных в локально ориентируемые поверхности. Исходя из этой интерпретаций Гулден и Джексон выдвинули гипотезу о комбинаторном смысле структурных констант Джека. Рассказ будет посвящен этой гипотезе, а также рекуррентным формулам, позволяющим доказать её в некоторых частных случаях.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.

28 Октября 2022 в 18:10

Докладчик: Александр Калмынин, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Суммы двух квадратов и модулярные формы

Аннотация: Множество натуральных чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, можно рассматривать как множество, промежуточное между простыми числами и множеством всех натуральных чисел.  В этом контексте естественно решать задачи, представляющие интерес в случае простых чисел. Некоторые из них, такие как задача о числах-близнецах, оказываются тривиальными, а некоторые остаются настолько же сложными. Мы поговорим об одном из примеров последнего явления, а именно о распределении сумм двух квадратов в коротких интервалах. Задачи из этого направления оказываются тесно связаны со свойствами функции от двух переменных, которая проявляет некоторые из свойств автоморфных форм Якоби. В разложении Тейлора данной функции появляется последовательность одномерных модулярных форм, которая сводится к некоторой линейной дифференциальной рекуррентной последовательности многочленов. Все необходимые определения из теории модулярных форм будут даны в докладе.

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R406.
 

14 октября 2022 в 18:10

Докладчик: Алексей Устинов, ФКН НИУ ВШЭ

Тема: Скрытые теоремы сложения

Аннотация: Скрытые теоремы сложения

Место проведения: Покровский бульвар 11, аудитория R503.