Дополнительные главы теории вероятностей

Преподаватель:  Шабанов Дмитрий Александрович

Курс посвящен изучению различных вероятностных моделей, относящихся к теории случайных процессов. Будут рассмотрены классические модели, как с дискретным, так и непрерывным временем, а также их применения в вероятностной комбинаторике. От слушателей потребуется знание базового курса теории вероятностей ( в любом варианте ). Примерное содержание и темы курса:

1. Простейшее случайное блуждание на прямой .

Вероятность возвращения в исходную точку в симметричном и несимметричном случае, среднее время проводимое блужданием в нуле, закон повторного логарифма, случайное блуждание в многомерных пространствах.

2. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона .

Уравнение для вероятности вырождения ветвящегося процесса, теорема о корнях данного уравнения, общее число частиц в ветвящемся процессе.

3. Случайные графы .

Биномиальная модель случайного графа, фазовый переход в случайном графе, теорема о гигантской компоненте связности, связность случайного графа.

4. Пуассоновский процесс .

Пуассоновский процесс как простейшая модель массового обслуживания, процессы восстановления, явная конструкция пуассоновского процесса, модель страхования Крамера-Лундберга.

5. Процесс броуновского движения .

Броуновское движение как вероятностная модель хаотического движения, два эквивалентных определения броуновского движения, основные свойства траекторий броуновского движения, моменты остановки, строго марковское свойство и принцип отражения.

6. Мартингалы .

Мартингалы, теорема об остановке (невозможность разумной выигрышной стратегии при игре с «нулевой суммой»), мартингальный подход к задаче о разорении игрока, теорема об остановке для непрерывного времени, оценка вероятности разорения в модели страхования Крамера-Лундберга.

Для кого: 2-4 курсы бакалавриата

Расписание: понедельник 18:10 с 24 января очно